广西百色市2018-2019学年高三理数摸底调研考试试卷

2019年桂林、百色、崇左五市高考数学理科模拟试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数3+4ii 2+的实部与虚部分别为（ ） A ．2，1 B ．2，i C ．11，2- D ．11，2i - 2．已知集合{}2310A x x x =+<，{}1B x x =>，则A B U 等于（ ） A ．{}12x x << B ．{}51x x -<< C ．{}1x x > D ．{}5x x >-3．圆M ：()2216x y ++=与直线30x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．2B ．4C ．4．612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．52B ．160C ．52- D ．160-5．若n ∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a >”是“31∏>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知变量x ，y 满足约束条件24,4312,1,y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为（ ）A ．12-B ．1C ．2-D ．1128．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()102mod4≡.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，8430S S =-≠，则412S S 的值为（ ） A ．13- B ．112- C ．112 D ．1310．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2B ．函数()f x 的值域为[]4,4-C ．函数()f x 的图象关于10,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象向左平移3π个单位后得到sin y A x ω=的图象 11．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，点0,3B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.若线段AB 的垂直平分线过右焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．．3 D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足不等式组12,11,x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则11y z x +=+的最大值是 ．14.已知1sin cos 5θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan θ= ．15.直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为 ．16.设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l ：20x y -=的距离为d ．当d 最小时，圆C 的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列2n n S n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：3n T <．18.某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销量y （单位：万件）之间的关系如表：（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数甲乙说明； （Ⅲ）建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？． 32.6≈ 2.24≈，41418i i i x y ==∑．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑，回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．19.如图，在正三棱柱111ABC A BC -中，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，且2EC FB =．（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）若2AB EC ==，求二面角C AF E --的余弦值． 20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e <．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点00(,)P x y 为椭圆C 上一点，直线l 的方程为0034120x x y y +-=，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．21.设函数()ln nf x m x x=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．（Ⅰ）求实数m ，n 的值； （Ⅱ）若1b a >>，()2a b Af +=，()()2f a f b B +=，()()1bf b af a C b a-=--，试判断A ，B ，C 三者是否有确定的大小关系，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()3πρθ+=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||2f x x a a=-+（0a ≠）． （Ⅰ）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （Ⅱ）当12a <时，函数()()|21|g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围．2019年桂林、百色、崇左五市高考数学理科模拟试卷一、选择题1-5:ADBAB 6-10:CCCBD 11、12：AA二、填空题 13.2 14.43- 15.2 16.2π 三、解答题17.（Ⅰ）解：根据题意，等差数列{}n a 中，设公差为d ，422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，10a >，即111132(),(3)16,a d a d a a d +=+⎧⎨⋅+=⎩解得12a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12a d ==，则2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+， ∴122n n n nS n b n +==⋅． ∴12323412222n n n T +=++++…，（*）2311231 22222n n n n n T ++=++++…，（**） ∴1231121111222222n n n n T ++=++++-…， ∴1121111(1)11111112222331222222212n n n n n n n n n n T ----+++=++++-=+-=--<-…．∴3n T <．18.解：（Ⅰ）作出散点图如图：（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑32.6≈，42130i i x ==∑，4441115()()418138732i i i i ii i i x x y y x y x y ===--=-=-⨯=∑∑∑，2.24===≈，4()()730.99962.2432.6iix x y y r --==≈⨯∑．∵y 与x 的相关系数近似为0.9996，说明y 与x 的线性相关程度相当大， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：52x =，692y =，41418i i i x y ==∑，42130i x ==∑，421()5i i x x =-=∑，1221735ni ii ni i x y nx yb x nx==-==-∑∑，697352252a y bx =-=-⨯=-， 故y 关于x 的回归直线方程为7325yx =-， 当5x =时，7352715y =⨯-=， 所以第5年的销售量约为71万件．19.（Ⅰ）证明：取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则12MG EC BF ==， 又////MG EC BF ，∴MBFG 是平行四边形，故//MB FG ．∵MB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =， ∴MB ⊥平面11ACC A ，而//BM FG ， ∴FG ⊥平面11ACC A ， ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）以MA 、MB 、MG 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,0,2)E -，F ，(2,0,0)AC =-，(1AF =-，(2,0,2)AE =-，设平面ACF 的一个法向量111(,,)m x y z =，则有0,0,m AC m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111120,0,x x z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令11y =，则(0,1,m =，设平面AEF 的一个法向量222(,,)n x y z =，则有0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即22222220,0,x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则(1,0,1)n =， 设二面角C AF E --的平面角θ，则|||3cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅-=<>===⋅．20.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题设条件知，48a =，2a =，1222c b ⨯⨯⨯=2224b c a +==，所以b =1c =，或1b =，c =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）当00y =时，由2200143x y +=，可得02x =±， 当02x =，00y =时，直线l 的方程为2x =，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)．当02x =-，00y =时，直线l 的方程为2x =-，直线l 与曲线C 有且只有一个交点(2,0)-．当00y ≠时，直线l 的方程为001234x x y y -=，联立方程组0022123,4 1.43x x y y x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得22220000(43)2448160y x x x x y +-+-=．①由点00(,)P x y 为曲线C 上一点，得2200143x y +=，可得22004312y x +=．于是方程①可以化简为220020x x x x -+=，解得0x x =， 将0x x =代入方程001234x x y y -=可得0y y =，故直线l 与曲线C 有且有一个交点00(,)P x y ，综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为00(,)P x y ．21.解：（Ⅰ）2'()m n f x x x=-． 由于(1)0,'(1)1,f n f m n ==⎧⎨=-=⎩所以1m =，0n =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln f x x =．（i）ln ln ln 1022a b a b A B ++-=-=≥=, 而a b ≠，故A B >．（ii ）ln ln ln(1)2a b b b a a A C b a +--=---1()ln ln ln 2a b b a b b a a b a b a +⎡⎤=--++-⎢⎥-⎣⎦． 设函数()()lnln ln 2x a g x x a x x a a x a +=--++-，(0,)x ∈+∞， 则'()ln 2x a x a g x x x a +-=++，2()''()()a x a g x x x a -=+． 当x a >时，''()0g x >，所以'()g x 在(,+)a ∞上单调递增； 又'()'()0g x g a >=，因此()g x 在(,)a +∞上单调递增． 又b a >，所以()()0g b g a >=，即0A C ->，即A C >．（iii ）ln ln ln ln 12b b a a a b C B b a -+-=---1(ln ln )22a b a b b a a b b a ++=-+--． 设()ln ln 22x a x a h x x a x a ++=--+，(0,)x ∈+∞． 则111'()ln ln 2222a h x x a x =+--，有2''()2x a h x x -=． 当x a >时，''()0h x >，所以'()h x 在(,)a +∞上单调递增，有'()'()0h x h a >=．所以()h x 在(,)a +∞上单调递增．又b a >，所以()()0h b h a >=，即0C B ->，故C B >． 综上可知：A C B >>．22.解：（Ⅰ）因为直线l的极坐标方程为cos()3πρθ+=，即1(cos )2ρθθ=0x -=． 曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α， 可得22193x y +=．（Ⅱ）设点(3cos )P αα为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离|)42d πα+-==， 故当cos()14πα+=-时，d23.解：（Ⅰ）1()||2f x m x m a a +=+-+． ∵()()||||||f x f x m x a x m a m -+=--+-≤， ∴()()1f x f x m -+≤恒成立当且仅当||1m ≤， ∴11m -≤≤，即实数m 的最大值为1． （Ⅱ）当12a <时，()()|21|g x f x x =+-1|||21|2x a x a=-+-+131,,2111,,221131,.22x a x a a x a a x a x a x a ⎧-+++<⎪⎪⎪=--++≤≤⎨⎪⎪-+->⎪⎩∴2min 11121()()02222a a g x g a a a-++==-+=≤， ∴210,2210,a a a ⎧<<⎪⎨⎪-++≤⎩或20,210,a a a <⎧⎨-++≥⎩ ∴102a -≤<， ∴实数a 的取值范围是1[,0)2-．。

广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =U （ ）A ．(02)，B ．(2)(0)-∞-+∞U ，， C．(2)+∞，D ．(2)(0)-∞-+∞U ，， 2.复数13ii-=+（ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i - 3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ） A ．M 的离心率为2 B ．M 的实轴长为2 C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =± 4.若角α 的终边经过点(123)-，，则tan()3πα+=（ ）A ．33-B ．3- C.33D ．3 5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．512 6.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A．12 B．13 C.15 D．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC△三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为222 2221[()]42a c bS a c+-=-.若2sin24sina C A=，2(sin sin)()(27)sina C B cb a A-+=-，则用“三斜求积公式”求得的S=（）A．3165B．155C.156D．1579.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]，内），将这些数据分成4组：[9095)，，[95100)，，[100105)，，[105110]，，得到如下两个频率分布直方图：已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为19509510011001052105ttytt-<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥.若以上面数据的频率作为概率，分别从用A配方和B配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0的概率为（）A．0.125 B．0.195 C.0.215 D．0.23510. 设38a=，0.5log0.2b=，4log24c=，则（）A．a c b<< B．a b c<< C.b a c<< D．b c a<<11. 将函数sin2cos2y x x=+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x的图象，若()f x在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，12.过圆P ：221(1)4x y ++= 的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =u u u r u u u r ，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A ．116 B ．2 C.136 D ．73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =u u u r ，，(21)BD =u u u r ，，(38)AD =u u u r，，则mn =． 14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为．15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a =．16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，AB =BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：（2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA =u u u u r u u u u r且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率32e =，直线310x y +-= 被以椭圆C 的短轴3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ 的取值范围. 21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+----（k ∈R ） （1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 230ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点(30)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩，即112a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-（2）由（1）知21n a n =-，∴2n S n =，∴416S =，836S =，又248n S S S =，∴22368116n ==，∴9n =，公比8494S q S == 18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种， 这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P ==（2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.X 的可能取值为0，1，2，22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===.所以X 的分布列为X12P11035310()012105105E X =⨯+⨯+⨯= 19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ，因为1=3B M MA u u u u r u u u r，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥，因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A I 平面11B EF B E = 所以1GM B E ∥，即1AN B E ∥，又1B N AE ∥，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点. （2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，则1(222B ，，），(210)E ，，，(021)F ，，，1(202)A ，，，可得1(012)B E =--u u u r，，，(211)EF =-u u u r，，， 设()m x y z =u r，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，令2z =，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==r u u u u r ，， 所以42cos 422221m n m n m n ⋅===⨯u r ru r r u r r ， 故所求锐二面角的余弦值为424220.解：（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以2221()2b +=（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)8120m y my +++=由22=6448(4)0m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+21122212(1)312(1)44m MA MB y m m λ+=⋅===-++由212m >，得2330416m <<+，所以39124λ<<.综上可得：39124λ<≤，即39(12]4λ∈， 21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+-，∴(0)11f '= 故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x -∈，，若23k -≥，2223(1)0k x +->，则()0f x '>，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >=. 若23k <-，令()0(01)f x x '=⇒=，，当(0x ∈时，()0f x '<，当1)x ∈ 时，()0f x '>，∴min ()(0)0f x f f =<= 则23k <-不合题意.故k 的取值范围为2[)3-+∞， 22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由2sin 0ρθθ-=得22sin cos 0ρθθ-= 所以曲线C的直角坐标方程为2y =（2）易得点P 在l，所以tan PQ k α===56πα= 所以l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y = 中，得21640t t ++=.设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==-，所以08PM t == 23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤，，13x <-≤ 所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-，（2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥，当且仅当32x -≤≤ 取等号， 所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5. 所以，当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，（方法二）设2()g x x a =-+，则max ()(0)g x g a ==，当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5， 所以当0x = 时，2()x f x + 取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(5]-∞，。

广西百色市高三年级2019届摸底调研考试数学理试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合)}1(log |{2+==x y x A ，}032|{≤-+∈=x xN x B ，则=B A （ ） A ．}2,1,0{ B ．)3,1(- C ．}3,2{ D ．}2,1{2．若)1)((1i i b ai ++=+（i R b a ,,∈为虚数单位），则复数i b a )4()1(-++在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数xx x x x f ----=4444)(的图象大致为（ ）4．已知}{n a 是等差数列，4)(log 1122=+a a ，则该数列的前14项的和=14S （ ） A ．52 B ．104 C ．56 D ．112 5．设函数)62sin()(π+=x x f 的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期是π2B ．图象C 关于直线6π=x 对称C ．图象C 可由函数x x g 2sin )(=的图象向左平移3π个单位长度得到 D ．函数)(x f 在区间)2,12(ππ-上是增函数 6．若nx x )2(32+展开式存在常数项，则n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（ ）A ．2B ．53+C ．21D ．55+ 8．在区间]8,0[上随机地选择一个数p ，则方程0932=-+-p px x 有一正根与一负根的概率为（ ） A ．41 B ．83 C ．21 D ．85 9．若直线l ：)0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则当ba 12+取最小值时直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．21C ．2D ．2210．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面⊥D PB 1平面ACD ； ②//1P A 平面1ACD ；③异面直线P A 1与1AD 所成角的取值范围是]3,0(π；④三棱锥APC D -1的体积不变.A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①④11．已知函数)0(|cos |)(≥=x x x f 的图象与过原点的直线恰有两个交点，设这两个交点的横坐标的最大值为θ（弧度），则=+θθθ2sin )1(2（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．212．已知函数))(1()(,53)(23R m x m x g x x x f ∈+=+-=，若存在唯一的正整数0x ，使得)()(00x g x f <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]45,0[ B ．]45,31[ C ．]45,31( D ．)31,0( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知4||=，2-=⋅，则向量在的方向上的投影为 .14．已知数列}{n a 为正项的递增等比数列，8251=+a a ，8142=⋅a a ，记数列}2{na 的前n 项和为n T ，则使不等式1|131|2019>-n T 成立的正整数n 的最大值为 .15．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥02022x y x x y ，则|3|y x z -=的最大值是 .16．已知椭圆方程为12222=+by a x ，双曲线的方程12222=-n y m x ，他们有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12||1=PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2121e e e e +的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数)(sin 212sin 3)(2R x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在AB C ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3=c ，2)2(=Cf ，A B sin 2sin =，求b a ,的值.18.如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为平行四边形，DAP ∆为直角三角形且DP DA =，ABP ∆是等边三角形.（1）求证：BD PA ⊥；（2）若2==BD BA ，求二面角B PC D --的正弦值.19．在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品进行改良，为了检查改良效果，从中随机抽取100件作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为]20,10[，]30,20(，]40,30(，]50,40(，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，估计样本中个体的重量的众数与平均值；（3）从这个样本中随机抽取3个个体，其中重量在]20,10[内的个体的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）20.已知抛物线C ：)0(2>=p px y 的焦点F 与椭圆Γ：13422=+y x 的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于B A ,两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在λ，使得λ=（R ∈λ），且40||||22≥+HB HA 都成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.21．设函数x x a x g eex x f x ln )1()(,1)(2--=-=（R a ∈，e 为自然对数的底数）. （1）证明：当1>x 时，0)(>x f ； （2）讨论)(x g 的单调性；（3）若不等式)()(x g x f <对),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为)0(cos )cos1(2>=-m m θθρ，倾斜角为4π的直线l 过在平面直角坐标坐标为)4,2(--的点P ，且直线l 与曲线C 相交于B A ,两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）若||||||||PB AB AB PA =，求m 的值.23．已知函数)(|3||2|)(R a x a x x f ∈++-=，1|3|)(+-=x x g . （1）解不等式3|)(|>x g ；（2）若对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.A2.D3.A4.D5.B6.C7.D8.B9.A 10.B 11.A 12.C 13. 21-因为4||=，2-=⋅，所以向量在的方向上的投影2142||cos ||-=-===θ. 14.6 数列}{n a 为正项的递增等比数列，8251=+a a ，814242=⋅=⋅a a a a ，即⎩⎨⎧=⋅=+81825151a a a a 解得⎩⎨⎧==81151a a ，则公比3=q ，∴13-=n n a ，则12323232`12-++++=n n T )311(33113112n n -=--⨯=， ∴1|131|2019>-n T ，即1312019>⨯n ，得20193<n，此时正整数n 的最大值为6.15.8 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令y x t 3-=，可得33tx y -=，平移直线33tx y -=，由图象可得，当直线经过可行域内的点)2,2(--A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时t 取得最大值，且4)2(32max =-⨯--=t ，当直线经过可行内的点)2,2(-B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时t 取得最小值，且8232min -=⨯--=t ，所以438≤-≤-y x ，故8|3|0≤-≤y x ，因此z 的最大值为8.16.)4,2( 由题意可知⎩⎨⎧=-=+m c a c 22122212则⎩⎨⎧-=+=c m ca 66，又由21F PF ∆三边关系，可得⎩⎨⎧<>+61222c c c 解得63<<c .由离心率的定义可得2121e e e e +c c c c c m a c m c a e e 12661121=-++=+=+=+=，因为63<<c ，所以31161<<c ，则4122<<c ，因此2121e e ee +的取值范围是)4,2(. 17.解：（1）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，周期为π=T . 因为)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ， 所以)(326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ， 所以所求函数的单调递减区间为)](32,6[Z k k k ∈++ππππ. （2）因为2)6sin(2)2(=+=πC C f ，又π<<C 0，所以3π=C ， 所以3,3cos2)3(22222=-+-+=ab b a ab b a π，①又因为A B sin 2sin =，由正弦定理可得，a b 2=，② 由①②可得2,1==b a .18.（1）证明：取AP 中点M ，连BM DM ,， ∵DP DA =，ABP ∆为等边三角形，∴BM PA DM PA ⊥⊥,，又M BM DM = ，∴⊥PA 平面DMB ，又∵⊂BD 平面DMB ，∴BD PA ⊥.（2）解：∵2==BD BA ，M 为AP 中点，结合题设条件可得3,1==BM DM ，∴222MD MB BD +=，∴MB MD ⊥.如图，以MD MB MP ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系， 则)1,0,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1(D P B A -，得)1,0,1(-=，)0,3,1(==，)0,3,1(-=，)1,0,1(== 设平面DPC 的一个法向量),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n 即⎩⎨⎧=+=-0301111y x z x ，∴)3,1,3(1--=n . 设平面PCB 的一个法向量),,(2222z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n BC n 即⎩⎨⎧=-=+0302222y x z x ，∴)3,1,3(2-=n . ∴><21,cos n n 71||||2121==n n . 设二面角B PC D --的平面角为α，则由图可知0s i n >α，∴734sin ==α. 19.解：（1）由题意，得110)018.0032.0021(.=⨯+++a ，解得03.0=a .（2）由最高矩形所对应区间中点的横坐标为25，可估计样本重量约为25，而100件样本重量的平均值为6.294518.0353.02532.0152.0=⨯+⨯+⨯+⨯=x （克）， 故估计样本中个体重量的平均值约为29.6克.（3）利用样本估计总体，该样本中个体的重量在]20,10[内的概率为0.2，则)51,3(~B X ，3,2,1,0=X ，12564)511()0(303=-⨯==C X P ，1254851)511()1(213=⨯-⨯==C X P ，12512)51()511()2(223=⨯-⨯==C X P ，1251)51()3(333=⨯==C X P∴X 的分布列为：即531251312512212511250)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 20.解：（1）依题意，椭圆Γ：13422=+y x 中，3,422==b a ， 得1222=-=b a c ，则)0,1(F ，得14=p，即4=p 故抛物线C 的方程为x y 42=.（2）设l ：1+=ty x ，),(11y x A ，),(22y x B ，联立方程⎩⎨⎧+==142ty x x y 消去x ，得0442=--y y ，∴⎩⎨⎧-==+442121y y ty y ①且⎩⎨⎧+=+=112211ty x ty x ，又FB AF λ=，则),1(),1(2211y x y x -=--λ，即21y y λ-=，代入①得⎩⎨⎧-=-=-44)1(222y t y λλ，消去2y 得2142-+=λλt ，易得)0,1(-H ，则2222212122)1()1(||||y x y x HB HA +++++=+ 22212122212)(2y y x x x x ++++++= 22212122212)2(2)1()1(y y ty ty ty ty +++++++++= 8)(4))(1(2122212+++++=y y t y y t164016844)816)(1(2422++=+⋅+++=t t t t t t由4016401624≥++t t ， 解得212≥t 或32-≤t （舍），将212≥t 代入2142-+=λλt 得041≥-+λλ，又由题意可得0>λ，所以解得320-≤<λ或32±≥λ. 故存在满足题意的实数λ，其范围是),32[]32,0(+∞+- .21.（1）证明：11)(---=x x xexe xf ， 令x e x s x -=-1)(，则1)('1-=-x e x s当1>x 时，0)('>x s ，所以)(x s 在),1(+∞上单调递增，又0)1(=s ，所以0)(>x s ， 从而1>x ，011)(1>-=-x ex x f . （2）解：)0(1212)('2>-=-=x xax x ax x g , 当0≤a 时，0)('<x g ，)(x g 在),0(+∞上单调递减，当0>a 时，由0)('=x g 得ax 21=. 当)21,0(ax ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减， 当),21(+∞∈ax 时，0)('>x g ，)(x g 单调递增. （3）解：由（1）知，当1>x 时，0)(>x f当0≤a ，1>x 时，0ln )1()(2<--=x x a x g故当)()(x g x f <在区间),1(+∞内恒成立时，必有0>a 当210<<a 时，121>a)(x g 在)21,1(a 上单调递减，0)1()21(=<g a g ，而0)21(>af ， 所以此时)()(xg x f <在区间),1(+∞内不恒成立 当21≥a 时，令)()()(x f x g x h -=（1≥x ） 当1>x 时，01212111112)('2223212>+->+-=-+->-+-=-xx x x x x x x x x e x x ax x h x ， 因此，)(x h 在区间),1(+∞上单调递增，又因为0)1(=h ，所以当1>x 时，0)()()(>-=x f x g x h ，即)()(x g x f <恒成立. 综上，a 的取值范围为),21[+∞.22.解：（1）由)0(cos )cos 1(2>=-m m θθρ，得)0(cos sin 22>=m m θρθρ， ∴曲线C 的直角坐标方程为mx y =2. ∵直线l 的倾斜角为4π且过点P ，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t t R ,∈为参数） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程mx y =2， 得0)8(4)8(22=+++-m t m t ，设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ， 则有)8(4),8(22121m t t m t t +=+=+ ∵||||||||PB AB AB PA =，∴2||||||AB PB PA =⋅，又0>m ，∴2212121)(||t t t t t t -==，即212215)(t t t t =+，∴0166),8(20)8(222=-++=+m m m m ，解得2=m 或8-=m （舍去），∴m 的值为2.23.解：（1）由3|1|3||>+-x ，得232|3|31|3|>-⇔>-⇔>+-x x x 或23-<-x ， 得5>x 或1<x ，所以不等式的解集为5|{>x x 或}1<x .（2）因为对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，所以)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|32||)3()2(||3||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，11|3|)(≥+-=x x g ， 所以1|32|≥+a ，解得1-≥a 或2-≤a ，所以实数a 的取值范围为),1[]2,(+∞---∞ .。

广西百色市高三年级2019届摸底调研考试理科综合试卷扫描版含答案参考答案观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

广西百色市数学高三下学期理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·林芝模拟) 已知集合A={x∈z|0≤x＜3}，B={x∈R|x2≤9}，则A∩B=（）A . {1，2}B . {0，1，2}C . {x|0≤x＜3}D . {x|0≤x≤3}2. （2分）若复数实部与虚部相等，则a的值等于（）A . -1B . 3C . -9D . 93. （2分）(2017·日照模拟) 已知点P（﹣3，5），Q（2，1），向量 =（2λ﹣1，λ+1），若∥ ，则实数λ等于（）A .B .C .D .4. （2分）等比数列的前n项和为Sn ，且成等差数列．若，则（）A . 7B . 8C . 15D . 165. （2分）已知双曲线 =1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2 ．则双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 26. （2分）已知数列满足，，且。

若函数，记，则的前9项和为（）A . 0B . -9C . 9D . 17. （2分） (2018高二下·重庆期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）若框图所给的程序运行结果为S=90．那么判断框中应填入后的条件是（）A . k=9B . k≤8C . k＜8D . k＞89. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . c＞b＞aD . a＞c＞b10. （2分）数列{an}的前n项和是Sn ，下列可以判断{an}是等差数列的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·厦门期末) 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为李明根据所学的椭圆知识，得到下列结论：①卫星向径的最小值为，最大值为；②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确结论的个数是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·石家庄模拟) 已知函数f（x）=sin（2x+ ），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A . [ ， ]B . [﹣， ]C . [﹣， ]D . [﹣， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·平谷月考) 给出以下四个说法：①将的图像向右平移个单位，得到的图像；②将的图像向右平移2个单位，可得到的图像；③将的图像向左平移2个单位，得到的图像；④函数的图像是由的图像向左平移个单位得到的．其中正确的说法是________．（将所有正确说法的序号都填上）14. （1分）(2017·太原模拟) （2x+ ﹣1）5的展开式中常数项是________．15. （1分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为________．16. （1分） (2017高二上·平顶山期末) 四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，A1A=AB=AD=1，则AC1=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2016·四川理) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 + = ．（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2= bc，求tanB．18. （10分） (2018高二下·陆川月考) 自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选1个同学，作为“保钓行动代言人”．（1）求选出的2个同学中恰有1个女生的概率；（2）设X为选出的2个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2017高一上·辽宁期末) 已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为的点的轨迹．（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；（2）过（﹣2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2 ，求直线l的方程．20. （10分） (2016高三上·承德期中) 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．21. （10分）已知点P是圆C：（x+）2+y2=16上任意一点，A（， 0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（2）设过点B（0，﹣2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．22. （10分）(2017·莆田模拟) 已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

广西百色市2019届高三摸底调研考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合)}1(log |{2+==x y x A ，}032|{≤-+∈=x xN x B ，则=B A （ ） A ．}2,1,0{ B ．)3,1(- C ．}3,2{ D ．}2,1{2．若)1)((1i i b ai ++=+（i R b a ,,∈为虚数单位），则复数i b a )4()1(-++在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数xx x x x f ----=4444)(的图象大致为（ ）4．已知}{n a 是等差数列，4)(log 1122=+a a ，则该数列的前14项的和=14S （ ） A ．52 B ．104 C ．56 D ．112 5．设函数)62sin()(π+=x x f 的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期是π2B ．图象C 关于直线6π=x 对称C ．图象C 可由函数x x g 2sin )(=的图象向左平移3π个单位长度得到 D ．函数)(x f 在区间)2,12(ππ-上是增函数 6．若nx x )2(32+展开式存在常数项，则n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（ ）A ．2B ．53+C ．21D ．55+ 8．在区间]8,0[上随机地选择一个数p ，则方程0932=-+-p px x 有一正根与一负根的概率为（ ） A ．41 B ．83 C ．21 D ．85 9．若直线l ：)0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则当ba 12+取最小值时直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．21C ．2D ．2210．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面⊥D PB 1平面ACD ； ②//1P A 平面1ACD ；③异面直线P A 1与1AD 所成角的取值范围是]3,0(π；④三棱锥APC D -1的体积不变.A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①④11．已知函数)0(|cos |)(≥=x x x f 的图象与过原点的直线恰有两个交点，设这两个交点的横坐标的最大值为θ（弧度），则=+θθθ2sin )1(2（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．212．已知函数))(1()(,53)(23R m x m x g x x x f ∈+=+-=，若存在唯一的正整数0x ，使得)()(00x g x f <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]45,0[ B ．]45,31[ C ．]45,31( D ．)31,0( 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知4||=a ，2-=⋅b a ，则向量b 在a 的方向上的投影为 .14．已知数列}{n a 为正项的递增等比数列，8251=+a a ，8142=⋅a a ，记数列}2{na 的前n 项和为n T ，则使不等式1|131|2019>-n T 成立的正整数n 的最大值为 .15．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥02022x y x x y ，则|3|y x z -=的最大值是 .16．已知椭圆方程为12222=+by a x ，双曲线的方程12222=-n y m x ，他们有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12||1=PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2121e e e e +的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数)(sin 212sin 3)(2R x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在AB C ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3=c ，2)2(=Cf ，A B sin 2sin =，求b a ,的值.18.如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为平行四边形，DAP ∆为直角三角形且DP DA =，ABP ∆是等边三角形.（1）求证：BD PA ⊥；（2）若2==BD BA ，求二面角B PC D --的正弦值.19．在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品进行改良，为了检查改良效果，从中随机抽取100件作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为]20,10[，]30,20(，]40,30(，]50,40(，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，估计样本中个体的重量的众数与平均值；（3）从这个样本中随机抽取3个个体，其中重量在]20,10[内的个体的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）20.已知抛物线C ：)0(2>=p px y 的焦点F 与椭圆Γ：13422=+y x 的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于B A ,两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在λ，使得λ=（R ∈λ），且40||||22≥+HB HA 都成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.21．设函数x x a x g eex x f x ln )1()(,1)(2--=-=（R a ∈，e 为自然对数的底数）.（1）证明：当1>x 时，0)(>x f ； （2）讨论)(x g 的单调性；（3）若不等式)()(x g x f <对),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为)0(cos )cos 1(2>=-m m θθρ，倾斜角为4π的直线l 过在平面直角坐标坐标为)4,2(--的点P ，且直线l 与曲线C 相交于B A ,两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若||||||||PB AB AB PA =，求m 的值.23．已知函数)(|3||2|)(R a x a x x f ∈++-=，1|3|)(+-=x x g . （1）解不等式3|)(|>x g ；（2）若对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.A2.D3.A4.D5.B6.C7.D8.B9.A 10.B 11.A 12.C 13. 21-因为4||=，2-=⋅，所以向量在的方向上的投影2142||cos ||-=-===θ. 14.6 数列}{n a 为正项的递增等比数列，8251=+a a ，814242=⋅=⋅a a a a ，即⎩⎨⎧=⋅=+81825151a a a a 解得⎩⎨⎧==81151a a ，则公比3=q ，∴13-=n n a ，则12323232`12-++++=n n T )311(33113112n n -=--⨯=，∴1|131|2019>-n T ，即1312019>⨯n ，得20193<n ，此时正整数n 的最大值为6.15.8 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令y x t 3-=，可得33tx y -=，平移直线33tx y -=，由图象可得，当直线经过可行域内的点)2,2(--A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时t 取得最大值，且4)2(32max =-⨯--=t ，当直线经过可行内的点)2,2(-B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时t 取得最小值，且8232min -=⨯--=t ，所以438≤-≤-y x ，故8|3|0≤-≤y x ，因此z 的最大值为8.16.)4,2( 由题意可知⎩⎨⎧=-=+m c a c 22122212则⎩⎨⎧-=+=c m ca 66，又由21F PF ∆三边关系，可得⎩⎨⎧<>+61222c c c 解得63<<c .由离心率的定义可得2121e e e e +c c c c c m a c m c a e e 12661121=-++=+=+=+=，因为63<<c ，所以31161<<c ，则4122<<c ，因此2121e e ee +的取值范围是)4,2(. 17.解：（1）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，周期为π=T . 因为)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ，所以)(326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ， 所以所求函数的单调递减区间为)](32,6[Z k k k ∈++ππππ. （2）因为2)6sin(2)2(=+=πC C f ，又π<<C 0，所以3π=C ， 所以3,3cos2)3(22222=-+-+=ab b a ab b a π，①又因为A B sin 2sin =，由正弦定理可得，a b 2=，② 由①②可得2,1==b a .18.（1）证明：取AP 中点M ，连BM DM ,， ∵DP DA =，ABP ∆为等边三角形，∴BM PA DM PA ⊥⊥,，又M BM DM = ，∴⊥PA 平面DMB ，又∵⊂BD 平面DMB ，∴BD PA ⊥.（2）解：∵2==BD BA ，M 为AP 中点，结合题设条件可得3,1==BM DM ，∴222MD MB BD +=，∴MB MD ⊥.如图，以MD MB MP ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系， 则)1,0,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1(D P B A -，得)1,0,1(-=，)0,3,1(==，)0,3,1(-=，)1,0,1(== 设平面DPC 的一个法向量),,(1111z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n 即⎩⎨⎧=+=-0301111y x z x ，∴)3,1,3(1--=n .设平面PCB 的一个法向量),,(2222z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n 即⎩⎨⎧=-=+0302222y x z x ，∴)3,1,3(2-=n . ∴><21,cos n n 71||||2121==n n n n . 设二面角B PC D --的平面角为α，则由图可知0s i n >α，∴734sin ==α. 19.解：（1）由题意，得110)018.0032.0021(.=⨯+++a ，解得03.0=a . （2）由最高矩形所对应区间中点的横坐标为25，可估计样本重量约为25，而100件样本重量的平均值为6.294518.0353.02532.0152.0=⨯+⨯+⨯+⨯=x （克）， 故估计样本中个体重量的平均值约为29.6克.（3）利用样本估计总体，该样本中个体的重量在]20,10[内的概率为0.2，则)51,3(~B X ，3,2,1,0=X ，12564)511()0(303=-⨯==C X P ，1254851)511()1(213=⨯-⨯==C X P ，12512)51()511()2(223=⨯-⨯==C X P ，1251)51()3(333=⨯==C X P∴X 的分布列为：即531251312512212511250)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 20.解：（1）依题意，椭圆Γ：13422=+y x 中，3,422==b a ， 得1222=-=b a c ，则)0,1(F ，得14=p，即4=p故抛物线C 的方程为x y 42=.（2）设l ：1+=ty x ，),(11y x A ，),(22y x B ，联立方程⎩⎨⎧+==142ty x x y 消去x ，得0442=--y y ，∴⎩⎨⎧-==+442121y y t y y ①且⎩⎨⎧+=+=112211ty x ty x ，又FB AF λ=，则),1(),1(2211y x y x -=--λ，即21y y λ-=，代入①得⎩⎨⎧-=-=-44)1(222y t y λλ， 消去2y 得2142-+=λλt ，易得)0,1(-H ，则2222212122)1()1(||||y x y x HB HA +++++=+ 22212122212)(2y y x x x x ++++++= 22212122212)2(2)1()1(y y ty ty ty ty +++++++++= 8)(4))(1(2122212+++++=y y t y y t164016844)816)(1(2422++=+⋅+++=t t t t t t由4016401624≥++t t ， 解得212≥t 或32-≤t （舍），将212≥t 代入2142-+=λλt 得041≥-+λλ，又由题意可得0>λ，所以解得320-≤<λ或32±≥λ. 故存在满足题意的实数λ，其范围是),32[]32,0(+∞+- .21.（1）证明：11)(---=x x xe xe xf ，令x ex s x -=-1)(，则1)('1-=-x e x s当1>x 时，0)('>x s ，所以)(x s 在),1(+∞上单调递增，又0)1(=s ，所以0)(>x s ， 从而1>x ，011)(1>-=-x ex x f . （2）解：)0(1212)('2>-=-=x xax x ax x g ,当0≤a 时，0)('<x g ，)(x g 在),0(+∞上单调递减，当0>a 时，由0)('=x g 得ax 21=. 当)21,0(ax ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减， 当),21(+∞∈a x 时，0)('>x g ，)(x g 单调递增. （3）解：由（1）知，当1>x 时，0)(>x f当0≤a ，1>x 时，0ln )1()(2<--=x x a x g故当)()(x g x f <在区间),1(+∞内恒成立时，必有0>a 当210<<a 时，121>a)(x g 在)21,1(a 上单调递减，0)1()21(=<g a g ，而0)21(>af ， 所以此时)()(xg x f <在区间),1(+∞内不恒成立 当21≥a 时，令)()()(x f x g x h -=（1≥x ） 当1>x 时，01212111112)('2223212>+->+-=-+->-+-=-x x x x x x x x x x e x x ax x h x ， 因此，)(x h 在区间),1(+∞上单调递增，又因为0)1(=h ，所以当1>x 时，0)()()(>-=x f x g x h ，即)()(x g x f <恒成立. 综上，a 的取值范围为),21[+∞.22.解：（1）由)0(cos )cos 1(2>=-m m θθρ，得)0(cos sin 22>=m m θρθρ，∴曲线C 的直角坐标方程为mx y =2.∵直线l 的倾斜角为4π且过点P ，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t t R ,∈为参数） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程mx y =2， 得0)8(4)8(22=+++-m t m t ，设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ， 则有)8(4),8(22121m t t m t t +=+=+ ∵||||||||PB AB AB PA =，∴2||||||AB PB PA =⋅，又0>m ，∴2212121)(||t t t t t t -==，即212215)(t t t t =+，∴0166),8(20)8(222=-++=+m m m m ，解得2=m 或8-=m （舍去）， ∴m 的值为2.23.解：（1）由3|1|3||>+-x ，得232|3|31|3|>-⇔>-⇔>+-x x x 或23-<-x ， 得5>x 或1<x ，所以不等式的解集为5|{>x x 或}1<x .（2）因为对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，所以)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|32||)3()2(||3||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，11|3|)(≥+-=x x g ， 所以1|32|≥+a ，解得1-≥a 或2-≤a ，所以实数a 的取值范围为),1[]2,(+∞---∞ .。