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21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法

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21.2.3 因式分解法

21.2.3 因式分解法
解：设小圆形场地的半径为r，根据题意得 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得 r 5 2r r 5 2r 0
于是得 r1 5( 2 1), r2 5( 2 1) （舍去）.
答：小圆形场地的半径是 （ 5 2 1）m
概念
因
式
分
原理
解
法
步骤
将方程左边因式分解，右边=0 因式分解的常用方法有： ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么 a=0或b=0
右化零 左分解 两因式 各求解
谢 谢 观 看！
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.3 因式分解法
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0 降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
(3)3 x2 6 x 3 解：化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
x 12 0
有 x－1= 0 或 x－1= 0， x1 = x2 = 1.
可以试用多种 方法解本例中的几 个方程.
21.2.3 因式分解法
基本思路
将二次方程化为一次方程，即降次
直接开平 方法
用平方根的意义直接进行降次
因式分解法的基本步骤： 一移——方程的右边=0; 二分——方程的左边因式分解; 三化——方程化为两个一元一次方程; 四解—因式分解法

人教版九年级上册数学第21章21.2.3《因式分解法》教案

人教版九年级上册数学第21章21.2.3《因式分解法》教案

《一元二次方程》教案5教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程；(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学难点学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学过程设计1．创设情景，引出问题问题一根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．2．观察感知，理解方法问题二如何求出方程的解呢？师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．问题三如果，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？师生活动：学生很容易回答有或的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．问题四上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．3．例题示范，灵活运用例解下列方程(1)；(2)．师生活动：提问：(1)如何求出方程(1)的解呢？说说你的方法．(2)对比解法，说说各种解法的特点．学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同？(2)谈谈方程(2)的解法．学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题．【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．4．巩固练习，学以致用完成教材P14练习1，2．【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．5．小结提升，深化理解问题五(1)因式分解法的一般步骤是什么？(2)请大家总结三种解法的联系与区别．师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．五、目标检测设计解下列方程1．．【设计意图】利用提取公因式法解方程．2．．【设计意图】利用平方差公式解方程．3．．【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决．4．．【设计意图】选用适当的方法解方程．《解一元二次方程》同步试题北京市海淀区中关村中学谢琳一、选择题1．方程的解是( )．A．B．C．D．考查目的：考查直接利用因式分解法的求解．答案：B．解析：两项一次项乘积为0，两个一次项分别为零．2．方程的正确解法是( )．A ．化为B．C．化为D．化为考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：C．解析：以为整体提取公因式．3．方程正确解法是( )．A．直接开方得B．化为一般形式C．分解因式得D ．直接得或考查目的：考查平方差公式求解．答案：C．解析：将9和4分别看作3和2的平方，利用平方差公式进行因式分解求方程解二、填空题4．方程的解是____________________．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．5．方程的解是___________________．考查目的：考查平方差公式求解．答案：或．解析：将256看作16的平方，利用平方差进行因式分解求方程解．三、解答题用适当的方法解下列方程．6．．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．7．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了4倍，求小圆形场地的半径．考查目的：考查平方差公式求解的实际问题．答案：或(舍)．解析：能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．。

九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方

九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方

两边直接开平方, 得x-2=0, ∴x1=x2=2.
(4)移项, 得(2x-3)2-(3x-2)2=0,
因式分解, 得 [(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]=0,
即 (5x-5)(-x-1)=0,
∴5x-5=0或-x-1=0, ∴x1=1, x2=-1.
锦囊妙计
选择适当的方法解一元二次方程
已知一元二次方程(含有待定字母)的一个根求 另一个根的方法
(1)根据一元二次方程的根与系数的关系列 二元一次方程组
求解；
(2)把已知根代入原方程, 求出待定字母的 值, 再解一元二次
方程或由根与系数的关系求 出它的另一个根.
题型三 利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
例题 3
设 x1, x2 是方程 2x2- 6x-1=0 的两个根, 不解方程, 求下
第二十一章 一元二次
方程
*
因式分解法
一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
因式分解法
* 一元二次方程的根与系数的
关系
考场对接
考场对接
题型一 选取适当的方法解一元二次方程
例题1 选取适当的方法解方程： (1)9x2-4=0；(2)x2+4x+1=0；
(3)x2-4x+4=0；(4)(2x-3)2=(3x-2)2.







−


=- +2+ =- +2-2=- .

锦囊妙计
常用的代数式变形方法汇总
题型四 根的判别式和根与系数的关系的综合运用
例题4 已知关于x的一元二次方程x2+2(m+ 1)x+m2-1=0．

人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 因式分解法

人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 因式分解法
(2)x2＝－3x； 解：x1＝0，x2＝－3
(4)x(x－4)＋4＝0； 解：x1＝x2＝2 (5)(2020·徐州)2x2－5x＋3＝0.
解：x1＝32 ，x2＝1
7．(巴中中考)解方程：3x(x－2)＝x－2. 解：x1＝2，x2＝13
8．如果关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为3，－5，那么二
次三项式x2＋ax＋b可分解为( A) A．(x＋5)(x－3) B．(x－5)(x＋3)
C．(x－5)(x－3) D．(x＋5)(x＋3)
9．若实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)＝0，则x2＋y2的值是(A )
A．1
B．－2
C．2或－1 D．－2或1
10．已知x＝1是关于x的一元二次方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根， 则常数k的值为_0___．
解：x1＝0，x2＝
5 2
解：x1＝－5，x2＝10
(2)4x2－20x＋25＝0； 解：x1＝x2＝52
(4)(齐齐哈尔中考)2(x－3)＝3x(3－x). 解：x1＝3，x2＝－23
6．用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2－4＝0；
(3)x2－7x＋14＝0； 解：方程没有实数根
解：x1＝1＋ 2 ，x2＝1－ 2
C．x2－4x－4＝0
D．4x2－1＝4x
3．(Байду номын сангаас020·镇江)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为__x_1_＝__0_，__x_2＝__2___． 4．方程3y2＝y的解是_y_1_＝__0_，__y_2＝__13____．
5．用因式分解法解下列方程：
(1)2x2－ 5 x＝0；
(3)x2－25＝5(x＋5)；

九年级数学上册教学课件《因式分解法》

九年级数学上册教学课件《因式分解法》

知识点2 一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0；
解：x2 2 x 1 0
2
x2 2x 1 1 1 22 2
( x 1)2 1 2
(2x-1)2=x(3x+2)-7； 解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0
x1 2 2
2
你能试着用学过的方法解这个方程吗？
新知探究
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
10x-4.9x2=0
配方法： 整理，得 49x2-100x=0
系数化为1，得 x2- 100 x=0
49
配方，得
x
50 49
2
50 49
2
降次，得 x 50 50
49 49
x1=0，x2=
100 49
新知探究
（2）公式法： a2-b2=(a+b)(a-b)
a2 2ab b2 a b2
（3）十字相乘法：x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q)
回顾2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？ （ 1） 直 接 开 平 方 法 ：x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0) （2）配方法： (x+h)2=k(k≥0)
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而 是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现 降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例3 解下列方程： （1）x(x-2)+x-2=0； 解： 因式分解，得
(x-2)(x+1)=0. 即 x-2 =0 或 x+1 =0,

21.2.3+解一元二次方程(因式分解法)-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步精品

21.2.3+解一元二次方程(因式分解法)-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步精品

归纳小结
解法选择基本思路： 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应 选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般 式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式 分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也比 较简单.
3 方程，体验解决问题的方法多样性，提升学 习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.
情景导入问题：Fra bibliotek将下列各题因式分解：
1．分解因式：(1)am－an＝_a_(_m_－__n_)__； (2)a2－b2＝_(_a_－__b_)(_a_＋__b_)___； (3)a2±2ab＋b2＝__(a_±__b_)2___. 2．分解因式：(1)x2－3x＝__x_(x_－__3_)__； (2)m2＋4m＋4＝_(_m_＋__2_)_2__； (3)(3x＋1)2－x2＝__(4_x_＋__1_)_(2_x_＋__1_)____.
课堂练习
(2) 2x2＋2x＝0. 解：因式分解，得 2x(x＋ 2)＝0. 于是得 2x＝0，或 x＋ 2＝0， x1＝0，x2＝－ 2.
课堂练习
4．用因式分解法解方程： (1) x2－2x＝2x－4； 解：移项、合并同类项，得 x2－4x＋4＝0. 因式分解，得 (x－2)2＝0. 于是得 x－2＝0， x1＝x2＝2.
右边是0
新知探究
X(10-4.9X)=0 ∴X=0或10-4.9x=0 ② ∴方程①的跟是X1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而 是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法。

课件05因式分解法-2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)


试一试 解方程：x2+6x-7=0.
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
7
或
x 1
1
x7x 6x
解：因式分解得 (x+7)(x−1)=0.
∴x+7=0,或x−1=0. ∴x1=−7,x2=1.
步骤： ①竖分二次Biblioteka 与常数项②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
简记口诀： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
2a
2 4.9
x1
100 49
，
x2
0.
分别用配方法、公式法和因式分解法解方程 10x-4.9x2=0 .
因式分解法：
解： 10x-4.9x2=0
x(10-4.9x) =0
x =0 或 10-4.9x=0
x1 0,
x2
100 . 49
例 3.用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝－1
D．x1＝－1，x2＝2
4. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
（2）x2+5x+7=3x+11；
解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得
解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5
(1) x1=0，x2=2； (2) y1=−2，y2=3 ； (3) x1=−2，x2=2； (4) x1=0，x2=1.
2．【中考·河南】方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( D )

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)


新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

【初+中数学】+因式分解法课件+人教版九年级数学上册++


12.解方程：(2x + 1)2 − (2x + 1) − 12 = 0. [答案] x1 = 32,x2 = −2 13.已知三角形两边长分别是3和4，第三边长是方程x2 − 12x + 35 = 0
的根，试判断这个三角形的形状. [答案] 解方程x2 − 12x + 35 = 0，得x1 = 7，x2 = 5.当x = 7时， 3 + 4 = 7，此时不能构成三角形；当x = 5时，32 + 42 = 52，此时构成
么a的值为( C ) .
A.−7
B.1
C.7或−1
D.−2或3
5.若代数式x2 + 5x + 6与−x + 1的值相等，则x的值为( A ) .
A.−1或−5
B.−6或1
C.−2或−3
6.下列方程中，适合用因式分解法求解的是( D ) .
A.x2 + x + 2 = 0
B.x2 − 6x + 12 = 0
Байду номын сангаас
轻松达标
1.方程2x(5x − 4) = 0的解是( C ) .
A.x1
=
2，x2
=
4 5
B.x1
=
0，x2
=
5 4
C.x1
=
0，x2
=
4 5
D.x1
=
12，x2
=
4 5
2.一元二次方程x2 − x − 2 = 0的解是( D ) .
A.x1 = 1，x2 = 2
B.x1 = 1，x2 = −2
14.（2023·广州）解方程：x2 − 6x + 5 = 0. [答案] x1 = 1，x2 = 5

人教版九年级数学上册第21章第2节《因式分解法》优质课件


解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1=1 , x2= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
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