高等数学复旦大学出版第三版课后答习题四

习题四1. 利用定义计算下列定积分： （1）d ();b ax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=-记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a nnnξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑由定积分定义得22122()(1)d lim()lim[()]21 ().2nb i i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .xx ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n==- 记每个小区间长度1,i x n ∆=取(1,2,,),i i x i n ξ== 则和式111()innni i i i f x e nξ==∆=∑∑12101111111e d lime lim(e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim1e e 11e(e 1)1lime 1.1i nnxnn n n n n i n nnn n n n n n x nnn nn nn→∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭解：原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x nn xn n n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++⎪+⎝⎭⎰21(2)limn n→+∞+解：原式1320122lim ..33n x xn→+∞⎛====+⎝⎰3. 用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)R x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .4. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e e ed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.xx ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤ 由积分的保序性知：211100d e d ed xx x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.xx ≤≤⎰5. 证明：（1）120lim0;nn xx →∞=⎰证明：当102x ≤≤时，0,nnx ≤≤于是111220110d (),12nn x x n +≤≤=⋅+⎰⎰而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：120lim0.nn x →∞=⎰(2) π40limsin d 0.nn x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44nnx x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π40πlimsin d limsin 0 ( 0sin 1).4nnn n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰6. 计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x==-221(2)d x x x --⎰; 解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩解：原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰222(4)max{1,}d ;x x -⎰解：原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x xx-----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=-7. 计算下列导数：2d(1)d x t x⎰解：原式2=32d (2)d x xx⎰解：原式3220d dd d x x xx==-⎰⎰8. 求由参数式202sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x.解：222d d cos d cot .d d sin d y yt t t x x t t=== 9. 求由方程0e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0yy x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 c o s s i n 1xy x '=-.10. 求下列极限：23ln(12)d (1)lim;x x t tx→+⎰解：原式212223ln(12)22limlim ln(12).333x x x x x x→→+==+=2220020e d (2)lim.ed x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰解：原式222222202e d ee d 1lim2lim2lim2.12eexx txtxxx x x t txx x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使21limsin x bx t c x ax→=-⎰成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有22000,1,limlim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a xxx x ax a a x →→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -⎰;解：原式51732222210d 5d 73xx x x x x c =-=-+⎰⎰.(2)3e d xxx ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛- +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x-=-++⎰⎰22(4)d ;1xx x+⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c xx+-=-=-+++⎰⎰⎰2(5)sind 2x x ⎰;解：原式=1cos 1d sin .222xx x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x xc ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)⎰解：原式=25322d 3x x xc --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++422331(11)d ;1x x x x +++⎰ 解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x+=+++⎰⎰3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1xxx-⎛⎫-⎝⎰解：原式=1e d e .xxx x c-=-+⎰⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解：原式=5222d 5d 2233ln 3xxx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰; 解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin x x x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin x x x x⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cosx x x x c xx-=--+⎰⎰13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰sin cos (2)x xx +⎰;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解：原式=1d 112x c -=-+-+⎰.c =+3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )d sin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos 3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos 5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ⎰;解：原式=2arccos 2arccos 1110d (2arccos )10.22ln 10xxx c -=-⋅+⎰21ln (8)d (ln )x x x x +⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰arctan(9)x ⎰;解：原式=22arctan(arctan .c =+⎰ln tan (10)d cos sin x x x x⎰;解：原式=21ln tan d (ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)ed xx -⎰; 解：原式=51e5xc --+.12x -解：原式=1ln .122c x -+-sin(13)t⎰;解：原式=2sin2cos.c =-⎰102(14)tansec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d (tan )tan.10x x x c =+⎰2d (15)ln x x x⎰;解：原式=21(ln )d (ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=tan ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos x x x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan xx c x x xx==+⎰⎰2(18)ed xx x -⎰;解：原式=22211ed()e.22xxx c ----=-+⎰10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)⎰解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ⎰;解：原式=122222d 1()d ()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰⎰⎰arcsin .x a c a=⋅-d (23)e exxx -+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )xxxc =++⎰ln (24)d x x x⎰;解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26)⎰解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tansinsin x tttt t t t ttt=-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c tt=-++又cos sin t t ==故上式23(2.3x c x-=+d (27)x ⎰;解：原式d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28);x x⎰100解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x===故上式=33arccosc x+.(29)⎰;解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x tt t t t t c t===+⎰⎰令,又sec t =,所以sin t =,故上式c =.(30)⎰解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② － ① = ln |sin t +cos t | + c 2故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22tt t ct t t tx c x =++++=+++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d xx x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰101(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰.2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331xx x x x x x=-+⎰⎰322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++(5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=-⎰.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)ecos d xx x -⎰;解：e cos d ed sin esin esin d x xxxx x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰esin e d cos esin ecos ecos d xxxxxx x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e(sin cos ).2xx x c --+(8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x xx x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰102321366(ln )(ln )ln .x x x c xxxx=----+(10)x ⎰. 解：原式tan 23secd .x a tat t =⎰又32secd sec (tan1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =++⎰17. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+33d (2)1xx +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x xx x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰ln3c =+.5438(3)d x x x x x+--⎰;解：原式=2843d 111x x x xx x ⎛⎫+++--⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++-26(4)d 1xx x +⎰;103解：原式=33321d ()1arctan .31()3x x c x=++⎰sin (5)d 1sin xx x+⎰; 解：原式=222sin 1d tan d (sec1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c xx-=--=-++⎰⎰⎰cot (6)d sin cos 1x x x x ++⎰;解：原式22tan222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t tttt t t t t t t t tt tt t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令 1111ln ln tan .tan222222x x t c c t =-+=-+(7)x ⎰;解：原式=22.c =+⎰(8)x ⎰;解：原式=2d 2ln 21x x x x xx x ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭⎰⎰又2d xx⎰2221d 44d 11tt t t t t =+--⎰⎰142ln2ln1t t c c t -''=++=++故原式=41)x c -++.18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx +⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e xx xx xx x xx c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰104验证：e1(ln(1e ))1.1e1ex xxxx c '-++=-=++所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c +-=+-⎰验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++-+-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1xx x x x x x x c x+-=+-+++⎰.验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c xx'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++所以，结论正确.(4)x ⎰;解：原式=9212)arcsin(.232x x x c ++=++⎰验证：921a r c s i n (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++=+=所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解：1s i n (l n )d s i n (l n )c o s (l n )dx x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰105所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2x c x x +-验证： ()s i n (l n )c o s (l n )2xc x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d (e 1)xxx x +⎰;解：原式=1e1d d d e 1e1e 11ee 1x xxxxx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e 1xxx c --=-+++验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)x x x +⎰;解：原式=1ln d d ln(.x x x c x⎛=-=-++⎝⎰⎰验证：ln(x c '⎤++⎥⎦2223/223/21(1ln )(1)ln ln .(1)(1)xx x x xxx x =+++-=-=++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;解：原式=2d cos d d tanln(1cos )1cos 22cos2x xx x x x x x -=-++⎰⎰⎰106tan tand ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan2x x x x x x x x x c x x c=--+=++-++=+⎰ 验证：2221sin sin (tan )tan sec22221cos 2cos2cos22x x x x x x x x c x x x x+'+=+⋅=+=+所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d nx x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sind cos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sind (1)sin d cos sin(1)(1)n n n n nn n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰故 1211cos sin.n n n n I x x I nn---=-+验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sincos sin 111sin (1sin )sinsinsin .nn n n n n nn x x n x x xn nn n n x x x xn nnx -----=-⋅-⋅+--=--+=故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰. 解： ,1m ax(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩107故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩ 又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+=所以 221,121m ax(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰ 20. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||a ax x x -⎰解：因sin ||x x 为[－a , a ]上的奇函数，故s i n d 0.||a ax x x -=⎰(2)ln(aax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -+=-+即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos 3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos 3x x x+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1x x x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-108π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰. 解：因为3ln3x x+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰ 21. 计算下列积分：40(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e1(2)⎰解：原式=221e211).(1ln )d (1ln )x x -=-++=⎰1(3)⎰解：原式=211d 112⎛⎫+ ⎪-==π4sin (4)d 1sin x x x+⎰;解：原式=πππ244422sin(1sin )sin d d tan d cos cos x x x x x x xx-=-⎰⎰⎰π4π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ln 3ln 2d (5)e exxx --⎰;解：原式=ln 3ln 32ln 2ln 2de113e 1lnln.(e )1222e 1xxxx-==-+⎰109π(6)x ⎰;解：原式=ππππ2π0002d cos d cos d cos x x x x x x x ==-⎰⎰ππ2π02xx=-=π0(7)x ⎰;解：原式=π33ππ222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555xx=-=231(8)ln d x x x ⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x=-=-⎰⎰π220(9)ecos d xx x ⎰;解：ππππ222222220ec o sde d s i n e s i n 2e s i n dxxxxx x x x x x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2ecos 4ecos d x xxx xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.12ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解：原式=1110111ln(1)ln(1)dd 2212x x x xx xx++=-⋅--+-⎰⎰1011111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x xx x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰110322d (11)2x x x +-⎰;解：原式=3322111111d ln ln 2ln 5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰;解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--++ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+⎪⎝⎭⎰; 解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭212(14)ed tt t -⎰;解：原式=221212200ed e 12ttt --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰22. 证明下列等式：232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰(a 为正常数)；证明：左222222111()d()()d ()d 222a a a x tx f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰令右所以，等式成立.(2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ2200(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.11123. 利用习题22(2)证明：ππ220sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x xx x==++⎰⎰,并由此计算0a ⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ220sin cos d d sin cos sin cos x x x x x xx x=++⎰⎰又 πππ2220s i n c o s πd d d .s i n c o ss i nc o s2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a ⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t==+⎰令24. 已知21(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求12(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11101201111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d (2)1()d 1402444f x f x f x xxf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰25. 计算下列积分（n 为正整数）： （1）10;nx ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2,ππ1220sin cos d sin d cos nnnt x t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知101331π, 24221342,253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.112(2)π240tand .nx x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tan tan d tansec d tand 1tand tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=-可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sind x xx+∞⎰;解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.bbb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22x x x +∞-∞++⎰解：原式=0022d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d nxx x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=1e d deen xn xn xn xx x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰10e d !e d !n xxn xx n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=000πlim lim arcsinlim arcsin .12a a x aa εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;113解：原式=()e e 011πlim arcsin(ln )limlim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰10(6)⎰.解：原式=1120+⎰22122111022lim 2limπππlim arcsinlim arcsin2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kx x x +∞⎰;解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x k k +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()b kax b a b x >-⎰.解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d ()1lim 1ln()b kk b a ka b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散,综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散. 28. 已知0sin πd 2xx x +∞=⎰，求：0sin cos (1)d ;x xx x +∞⎰解：(1)原式=1sin(2)1sin πd (2)d .2224x t x t xt+∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰114解：22202200200200sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22x x x xxx x x xx xx x x x x x xxxxx x xx x x+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰011001arcsin arcsin π1x x C x C xC --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.30. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()(g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.。