第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{{1,6},{2,7},{3,8},…,3,8},…,3,8},…,{45,50} {45,50} ) (b) 45´5+(4+3+2+1) = 235 ( 1®2~6, 2®3~7, 3®4~8, …,45®46~50, 46®47~50, 47®48~50, 48®49~50, 49®50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2´5´P(8,2)+3´4´P(8,2). 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。
用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41´31. 9. 设有素数因子分解设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k nk k , 则n 2的除数个数为的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1)…(…(2n 2n k +1). 10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
验证等式成立。
习题课两个计数原理与排列、组合学习目的 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步加深理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．1．两个计数原理(1)分类加法计数原理(2)分步乘法计数原理2．排列、组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原那么，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．3．解析受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难那么反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团〞排列问题，先整体后部分的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略．类型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步〞的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，假设先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．考点两个计数原理的区别与联络题点两个原理的简单综合应用答案28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．反思与感悟用流程图描绘计数问题，类中有步的情形如下图：详细意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类方法，在第1类方法中有3步，在第2类方法中有2步，每步的方法数如下图．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类〞与“步〞可进一步地理解为：“类〞用“＋〞号连接，“步〞用“×〞号连接，“类〞独立，“步〞连续，“类〞标志一件事的完成，“步〞缺一不可．跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如下图的四个部分进展着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，那么不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种考点涂色问题题点涂色问题答案D解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.应选D.命题角度2“步中有类〞的计数问题例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重〞、“立定跳远〞、“肺活量〞、“握力〞、“台阶〞五个工程的测试，每位同学上、下午各测试一个工程，且不重复．假设上午不测“握力〞工程，下午不测“台阶〞工程，其余工程上、下午都各测一人，那么不同的安排方式共有________种．(用数字作答)考点两个计数原理的区别与联络题点两个原理的简单综合应用答案264解析上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试工程．假设上午测试E的同学下午测试D，那么上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；假设上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，那么上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．反思与感悟用流程图描绘计数问题，步中有类的情形如下图：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2如下图，使电路接通，开关不同的开闭方式共有()A．11 B．12 C．20 D．21考点两个计数原理的区别与联络题点两个原理的简单综合应用答案D解析根据题意，设5个开关依次为1,2,3,4,5，假设电路接通，那么开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，对于开关1,2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，那么其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，对于开关3,4,5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，那么其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，那么电路接通的情况有3×7＝21(种)．应选D.类型二有限制条件的排列问题例33个女生和5个男生排成一排．(1)假如女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)假如女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)假如两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)假如两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)假如甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？考点排列的应用题点有限制条件的排列问题解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A36种方法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同的排法．(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14400(种)不同的排法．方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400(种)不同的排法．方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14400(种)不同的排法．(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以假如首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；假如首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000(种)不同的排法．方法二 3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000(种)不同的排法． (5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160(种)不同的排法．反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比拟费事时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法〞，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法〞，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进展内部排列；不相邻问题，那么用“插空法〞，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．跟踪训练3 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好〞诗歌朗读比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗读顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗读顺序的种数为()A．720 B．768 C．810 D．816考点排列的应用题点有限制条件的排列问题答案B解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗读比赛，有A47＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A44＝24(种)，那么甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A33＝48(种)，那么满足题意的朗读顺序有816－48＝768(种)．应选B.类型三排列与组合的综合应用例4有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．假如取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法共有多少种？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种．第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法种数为C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.反思与感悟解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排〞，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进展排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的根本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练4某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，那么不同的分配方案种数为________．考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案36解析先从4名调研员中选2名去同一所学校有C24种方案，然后与另外两名调研员进展全排列对应三所学校，有A33种方案，故共有C24A33＝36(种)分配方案．1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，那么不同编号的书共有()A．8本B．9本C．12本D．18本考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案D解析由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．2．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为()A．C23C397B．C23C397＋C33C297C．C5100－C13C497D．C5100－C597考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案B解析根据题意，“至少有2件次品〞可分为“有2件次品〞与“有3件次品〞两种情况，“有2件次品〞的抽取方法有C23C397种，“有3件次品〞的抽取方法有C33C297种，那么共有C23C397＋C33C297种不同的抽取方法，应选B.3．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，那么不同的选派方法有()A．36种B．108种C．210种D．72种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案B解析从4男3女志愿者中选1女2男有C13C24＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A33＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．4．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．考点排列的应用题点排列的简单应用答案30解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进展排列有A26＝30(种)．5．某地奥运火炬接力传递道路共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方法共有________种．(用数字作答)考点排列的应用题点元素“在〞与“不在〞问题答案96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类计数原理得，共有A44＋A44＋C12·A44＝96(种)方法．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最根本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的根底．2．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进展分类、分步，再利用两个根本计数原理作最后处理．3．对于较难直接解决的问题那么可用间接法，但应做到不重不漏．4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，防止计数的重复或遗漏．一、选择题1．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一．依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型．假设某人的血型为O型，那么其父母血型的所有可能情况有()A ．12种B ．6种C ．10种D ．9种 考点 分步乘法计数原理 题点 分步乘法计数原理的应用 答案 D解析 由题意，他的父母的血型都是A ，B ，O 三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种)． 2．假设C 3n ＝C 4n，那么n ！3！(n －3)！的值为( ) A ．1 B ．20 C ．35 D ．7 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 C 解析 假设C 3n ＝C 4n ，那么n (n －1)(n －2)3×2×1＝n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，可得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝7×6×53×2×1＝35.3．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145〞)或严格递减(如“321〞)顺序排列的数的个数是( ) A ．120 B ．204 C ．168 D ．216 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 B解析 由题意知此题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，那么这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C 39＝168(个)， 当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C 29＝36(个)， 根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，应选B.4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( ) A ．72种 B ．54种 C ．48种 D ．8种 考点 排列的应用题点元素“相邻〞与“不相邻〞问题答案C解析用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A22·A22·A22，第二步：将每对师徒当作一个整体进展排列有A33种，由分步乘法计数原理可知共有A33·(A22)3＝48(种)．5．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数的个数为()A．96 B．78 C．72 D．64考点排列的应用题点数字的排列问题答案B解析比20 000大含两层含义：一是万位不是1，二是5个数字全用上，故问题等价于“由1,2,3,4,5这五个数字组成万位不是1，百位不是3的无重复数字的个数〞，万位是3时，有A44个，万位不是3时，有3×3×A33个，所以共有A44＋3×3×A33＝78(个)，应选B.6．用六种不同的颜色给如下图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，那么不同的涂色方法共有()A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种考点涂色问题题点涂色问题答案A解析第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)涂色方法．7．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进展疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，那么不同的实验方案共有()A．56种B．28种C．21种D．14种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案D解析分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有C14种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有C12种，再取退烧药有C13种，共有C12C13种方案；取a4，a5时，再取退烧药有C14种方案．故共有C14＋C12C13＋C14＝14(种)不同的实验方案．8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为() A．360 B．520 C．600 D．720考点排列的应用题点排列的简单应用答案C解析根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.二、填空题9．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，那么每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有________种．考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案4解析设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，那么组合为(AC，BD)与(AD，BC)．假设AC选甲学校，那么BD选乙学校，假设AC选乙学校，那么BD选甲学校；假设AD选甲学校，那么BC选乙学校，假设AD选乙学校，那么BC选甲学校．故共有4种方法．10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，那么不同安排方案的种数是________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案126解析按从事司机工作的人数进展分类：①有1人从事司机工作：C13C24A33＝108(种)；②有2人从事司机工作：C23·A33＝18(种)．∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题答案 12解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C 46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C 46－3＝12(个)四面体．12．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 8解析 首先排两个奇数1,3，有A 22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C 12种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A 22种排法，即满足条件的四位数的个数为A 22C 12A 22＝8.三、解答题13．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？考点 排列的应用题点 排列的简单应用解 (1)有A 55＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有A 22A 22A 23＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3,1,1，有C 35C 12C 11A 22A 33＝60(种)方法； ②2,2,1，有C 25C 23A 22A 33＝90(种)方法． 故共有60＋90＝150(种)分配方法．四、探究与拓展14．x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，那么满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案90解析根据题意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，∴x i中有2个1和4个0，或3个1、1个－1和2个0，或4个1和2个－1，共有C26＋C36C23＋C46＝90(个)，∴满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90. 15．4位同学参加辩论赛，比赛规那么如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．假设4位同学的总分为0分，那么这4位同学有多少种不同的得分情况？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解此题分两种情况讨论．(1)假如4位同学中有2人选甲，2人选乙．假设这4位同学的总分为0分，那么必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C24A22A22＝24(种)不同的情况．(2)假如4位同学都选甲或者都选乙．假设这4位同学的总分为0分，那么必须是2人答对，另2人答错，有C12C24C22＝12(种)不同的情况．综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．。
