淮海工学院04-05-2高等数学(B)期末模拟试卷(二) (2)

南昌大学04级、05级第一学期期末考试试卷一、填空题 (每空 3 分) :1. 函数21()1424x x x f x x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩的反函数为21116log 16xx y x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩。

2. 设函数 ()y f x = 是可导的函数，且()2()sin sin 1f x x '⎡⎤=+⎣⎦，(0)4f =，则()y f x =的反函数()x y ϕ=当自变量y 取4时的导数值是()21sin sin1。

3. 2lim x x x e→+∞=0。

4.设y =dy= 5. 曲线()2ln 1y x =+的凹区间为[]1,1-。

6、若()1x f e x '=+，则()f x =ln x x C+。

7、3x x e dx -=⎰13ln 3xe C e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

二、单项选择题 (每题 3 分，):21. 0x =是函数21()arctan f x x=的( B ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 当0x +→x 的( B ).(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D) 等价无穷小3. 下列函数中在给定的区间上满足罗尔定理条件的是( D ).(A) []1,50,51,5x x y x x +<⎧⎪=∈⎨⎪≥⎩(B)1y =[]0,2x ∈(C) x y xe -=，[]0,1x ∈ (D) 256y x x =-+，[]2,3x ∈4. 设a ，b ，是常数,且 0a ≠，若()()f x dx F x C =+⎰则()f ax b dx +⎰等于( B ).(A) ()aF ax b C ++ (B) ()1F ax b C a ++(C) ().aF x C + (D) ()1F x C a+第 3 页 共 6 页 35. 若222lim 22x x ax bx x →++=--, 则必有 ( D ).(A) 2a =，8b = (B) 2a =，5b =(C) 0a =，8b =- (D) 2a =，8b =- 6. 已知()32f x x ax bx =++, 在1x =处取得极小值2-则( B ).(A) 1a =，2b = (B) 0a =，3b =-(C) 2a =，2b = (D) 1a =，1b =三、计算下列极限 (每小题7分) :1. 02lim .sin x x x e e x x x-→--- 原式=02lim 1cos x x x e e x -→+--0limsin x xx e e x-→-= 0lim 2cos x xx e e x -→+==2、301sinlim.1cos x x x x→- 原式=3021sin lim 12x x x x →=012lim sin 0x x x→=3. 2221().1lim xx x x →∞-+4原式=222(1)1lim x x x →∞-++=222211222211lim x x x x e x -++--→∞⎡⎤-⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦4、tan 01lim .xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 令tan 1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭l n t a n l ny x x =- (2)0ln lim x y +→=0tan ln lim x x x +→-=0ln cot lim x x x +→=-=2010csc lim x x x +→-=- (3) tan 01()lim x x x +→=2lim x y π→ln 021lim y x e e π→===5、()222sin 0lim 1.x x x x e+→+原式=()22221sin 2201lim xxx e xxx e x x ee +→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四. 解下列各题 (每小题7分):1.设2cos y =， 求.dydx2、设2x y x e =， 求()20.y3. 设函数()y y x =由方程()()sin ln xy y x x +-=，确定,求'(0).y第 5 页 共 6 页 54. 设函数()y y x =arctany xae=，确定,求.dy dx5. 设()()()x f t y tf t f t '⎧=⎪⎨'=-⎪⎩ 其中()f t ''存在且不为零， 求22d y dx6. 设()2ln 1arctan x ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求221t d y dx =五.求下列不定积分 (每小题7分): 1、cos .x ⎰2. 2.x x a dx ⎰3. .x ⎰4..⎰5. 2arctan .x xdx ⎰6. 1.xxdx e e-+⎰ 7. ()221.x xe xdx +⎰8. 0π⎰9. 20sin cos x x dx π-⎰6六.设函数()f x 在[)0,+∞上连续，且满足条件()424011()41x f x x f x dx x x+∞+=+++⎰ 其中反常积分()411f x dx x+∞+⎰收敛， 求()f x 的表达式。

04-05高数（下）（A）试题及标注答案2004-2005二高等数学（下） A 卷数理系全校本、专科（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）１、函数xy e z =的全微分dz =________.2、函数)ln(2yz x u =在点（1，1，1）处沿着从点（1，1，1）到点（2，3，3）的方向的方向导数为________.3、积分21(,)ydyf x y dx -?交换积分次序为_____ ___.4、积分222(,,)I dxdyf x y z dz -=?在柱面坐标下的累次积分为________.5、设L 是从A （1，0）到B （-1，2）的线段，则曲线积分=++?Lds y x )1(________.6、积分(11)22(00)xy dx x ydy +?，， =________.7、函数的幂级数为关于)2(1)(+=x xx f ________. 8、要使级数∑∞=-13212n pn n 收敛，实数p 必须满足条件________. 9、,0,10,1)()[22<≤+<≤--=-πππππx x x x f 上的表达式为，为周期的函数在以其傅立叶级数的和函数为=)(),(πs x s 则________. 10、方程1,0011='=='+''==x x y yy y x 满足初始条件：的特解为________.课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:二、计算题（本题共9个小题，每小题6分，满分54分）1、设函数),(y x z z =由方程ze z y x =-+所确定，求：xz及2z x y ；2、计算积分)66(),06(),00(cos πππ，，，为以点，其中B A O D dxdy x x D为顶点的三角形区域；3、计算?++++L22dy )y x 2x (dx )x y 2y (，其中L 是上半圆周x y x 422=+从点A(4,0)至B(0,0)的一段弧；4、计算??∑+dS y x )(22，其中∑为锥面22y x z +=被平面z=1所截得的0≤z ≤1部分；5、计算积分为球面其中∑++??∑,333dxdy z dzdx y dydz x 2222a z y x =++的外侧；6、级数n n n n3)1(11∑∞=--是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、求级数nx nn n ∑∞=--11)1(的收敛域及和函数； 8、求方程yx x dy dx +=3的通解； 9、求方程x e y y y -=+'+''23的通解。

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总 分23四14得分一、选择题（ 本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则 与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与 斜交C L 与 平行D L 落于 内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二 、 计算题（ 本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三 、 计算题（ 本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（ 本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得： 切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得： 切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

第１页 共3页2012年淮海工学院高等数学竞赛B 组试卷参考答案及评分标准1、当0x →时，1xxe 是--------------------------------------------------------------------------(D)(A) 无穷小 (B)有界但非无穷小 (C) 无穷大 (D)无界但非无穷大2、设函数22012111()(1)(2)(2012)f x xx x =--- ，则'(1)f =--------------------（C ） （A ）2012!- （B ）2011!- （C ）2011! （D ）2012!3、当0x →时，2ln(1)0()ln(1)x f x x dx +=+⎰是ln(1)20()ln(1)x g x x dx +=+⎰的----(D)(A)低价无穷小 (B)同阶非等价无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小 4、22(,)(0,0)(,)(0,0)limx y f xy f x y→-+存在是(,)f x y 在()0,0处可微的 ------------------ (B) (A) 必要但非充分条件 (B) 充分但非必要条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5（本二学生做）、设函数)(t f 连续，则二次积分122cos ()d f r dr πθθ=⎰⎰------------（C ）（A ）22110dx⎰（B ）1220()dx x y dy +⎰（C ）2210dx dy ⎰（D ）1220()dx x y dy +⎰5（东港学生做）、设4488tan ,tan xx I dx J dx x xππππ==⎰⎰，则有---------------------（C ）（A ）ln 28I J π<<< （B ）ln 28J I π<<< （C ）ln 28I J π<<< (D)ln 28I J π<<<二、填充题（本大题共5小题，每题4分，共20分）1、22(1)1x x y x -=+的斜渐近线方程为1y x =-．2、设)(u f 可导，22(log )y f x =当自变量x 在1-=x 处取得增量0.01x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.02，则(0)f '=ln 2．提示：22222[(log )]''(log )ln 2dy f x x f x x x =∆=∆． 3、y xz x y -=+, 则n n z x ∂=∂12(1)!()n n y n x y +-+．4、21x x dx e e +∞-=+⎰4eπ．5、（本二学生做）设{}(,)|2,0,0D x y x y x y =+≤≥≥,则1d 2Dx x y σ+=++⎰⎰1. 5、（东港学生做）40=⎰2.三、计算题（本题8分）3arcsin32sin 2022lim 33x xx arc x x →--． 解：原式arcsin33arcsin33arcsin3sin 22sin 22sin 200022121lim lim lim 33131x x x x x arc x x arc x x arc x x x x ----→→→--==--------------------2(3arcsin3)ln 2(2sin 2)ln3001ln 23arcsin 3lim lim 1ln 32sin 2x x x arc x x x e x x e x arc x--→→--==----------------------2 112222'11002222ln 233(19)3ln 2(19)1lim lim ln 32ln 322(14)(14)1L Hx x x x x x --→→------==--------------------2 20293ln 227ln 22lim 42ln 38ln 32x xx →==.---------------------------------------2第２页 共3页四、计算题（本题8分） 若2arctan ln(1)sin x t y t y =⎧⎨=--⎩确定了二阶可导函数()y y x =， 试判定()y y x =在0x =处的极值性与局部凹凸性.【解】因22212'(),''()1(1)tx t x t t t -==++， 2222222(1)'()'()cos ,''()'()sin ''()cos 1(1)t t y t y t y y t y t y y t y t t --+=-=+---，----------2 则3'()1'()'()''()''()'()'(),''()[]'()'()'()'()y t d y t x t y t x t y t y x y x x t x t dt x t x t -===，------------------2 当0x =时，0t =，0y =，将其代入上述诸式，得'(0)0,''(0)10y y ==-< 则()y y x =在0x =处取得极大值(0)0y =-------------------------------------------------2 由''()y x 的连续性知，在0x =的局部邻域内''()0y x <，故其为凸的. ----------------2 五、问答题（本题10分）设数列{}{}n n x y 、满足10x >，11n x +=，1(cos )n n x x n n y x += (1,2,)n = ，请问数列{}{}n n x y 、收敛吗？若收敛，求lim ,lim n n n n x y →∞→∞；若发散，说明理由. 答：因10x >，若0n x >，则10n x +=>，{}n x 有下界----------------1于是41334(1)114n n nx C x x +>+=+,有1(1)0n n n x x x +-=+>，则{}n x 单调减少-----------------------2根据单调有界定理知{}n x 收敛，-------------------------------------------1 令lim n n x A →∞=，则0A ≥--------------------------------------------------1在11n x +=两边取极限化简得3(64)0A A A ++= 于是有lim 0n n A x →∞==， -------------------------------------------------10limlim lim (cos x n n n n n x y x e→+→∞→== ---------------------------1232003(cos 1)11ln cos cos 1limlim 221n n nn n x x n n nnnx x x x x x x x eee ++→→----== ，---------------------------2故{}n y 收敛.------------------------------------------------------1六、计算题（本题8分）如图，)2,3(是()y f x =的拐点，1l 、2l 分别是该曲线在)0,0(与)2,3(处的切线，其交点为)4,2(，设()y f x =具有三阶连续导数，求320()()x x f x dx '''+⎰．y0 2 3 4 x解： 由题设图形知， (0)0,(0)2f f '==；(3)2,(3)2,(3)0.f f f '''==-=---------2则原式3322300()()()()(21)()x x df x x x f x x df x '''''=+=+-+⎰⎰---------------233(21)()2()x f x d f x '=-++⎰-------------------------------------------------2 162[(3)(0)]ff =+-=．-----------------------------------------------------2七、计算题（本题8分）设(,)((,))((,)),((,))((,))0,z xu x y y u x y u x y x y u x y u x y ϕψϕψ=++⎧⎨''++=⎩其中),(y x z z =二阶偏导数连续，求2()xx yy xy z z z ⋅-．解：将原方程组各方程两端对x 求导得(()())1(()())0x x x z u x y u u u uy u u u ϕψϕψ''=+++=⎧⎨''''++=⎩--------2将原方程组各方程两端对y 求导得()(()())()()(()())0y y y z u x y u u u u u y u u u ϕϕψϕϕϕψ''=+++=⎧⎨'''''++=⎩---2则1()()xx x z u y u u φψ==-''''+-----------------------------------------------------------------12()(),()()yy y u z u u y u u φϕφψ''==-''''+------------------------------------------------------------1xy y z u =(),()()u y u u φφψ'=-''''+ ------------------------------------------------------------------1 故2()0xx yy xy z z z ⋅-=．---------------------------------------------------------------------------1第３页 共3页八、（该题本二学生做）计算题（本题8分）设(){}1010≤≤≤≤=y ,x x,y D ，计算{}2max d d DI x,y y x x y =-⎰⎰．解：记1:01D x y ≤≤≤，22:1D x y x ≤≤≤，： 23:01D y x ≤≤≤-------------------2则123222()d d ()d d ()d d D D D I y y xx y x y x x y x x y x y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------------22211112233d ()d d ()d d ()d xx xxx y yx y x xy x y x x xy y =-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------21140=．----------------------------------------------------------2 八、（该题东港学生做）计算题（本题8分）过曲线)0y x =≥上点A 的切线与该曲线及x 轴所围区域D 的面积为43=S ，（1）求点A 的横坐标t ；（2）求D 绕直线x t =旋转一周所得旋转体的体积V ．解：（1）设(A ，则切线方程为()2313y t x t -=-，-----------------------------1 此切线与x 轴交点的横坐标为t x 20-=，-----------------------------------------------------2因401333244t S t x t =⋅==⎰，有1t =，得(11)A ,；---------------------1（2）123201333(1)d 314V ππy y π=--=⎰．-------------------------------4九、证明题（本题10分） 设0()()t F t f t dt =⎰，其中()f t 是周期为T 的连续函数，证明：（1）()()()F t T F t F T +=+；（2）0()[()()]()tg t F t T F t dt TF t =+--⎰是周期为T 的周期函数．证明：（1）设()()()()HtFt T Ft FT =+----------------------------------------------------1因()f t 是周期为T 的连续函数，则'()()()0H t f t T f t =+-=-------------------------2 于是()(0)(0)0H t C H F ====，则（1）得证；--------------------------------------------1 （2）由上，知0()()()()()t g t F T dt TF t tF T TF t =-=-⎰---------------------------------1则'()()()g t F T Tf t =----------------------------------------------------------------------------1 令()()()G t g t T g t =+-，则'()'()'()0G t g t T g t =+-=-------------------------------2 于是()(0)()(0)0G t C G g T g ===-=,故（2）得证．------------------------------------1十、应用题（本题10分）设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线)，（1）求,a b 满足的等式；（2） 求,a b 的值, 使椭圆的面积最小．解：（1） 由题意，圆与椭圆的公切点00(,)x y 不在y 轴上，则00x ≠，--------------1同时220000()(1)b x a y x y -=--，即2220)y b b a =---------------------------------1 因22220000222,1x y x y y a b +=+=，有222200220b a y y a b--+=----------------------------1 将上述两式消0y ，得22420ab a b --=；-----------------------------------------------------1（2） 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在条件22420a b a b --=下的最小值，构造拉格朗日函数2242()L ab a b a b πλ=+-- ------------------------------------------1 令2222(2)0,2(1)0a b L b a b a L a b a πλπλ=+-==+-=-----------------------------2 可得242b a =，代入22420a b a b --=，得(,)(a b =，-----------------2 因该实际问题中,椭圆面积的最小值存在, 则上述坐标即为所求．------------------------1。