函数的奇偶性知识提要》》》 1. 奇、偶函数的概念【注意】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.一个函数只有定义域关于原点对称，这个函数才有可能是奇函数（或偶函数），如果定义域不关于原点对称，一定不具有奇偶性。
反之，如果一个函数具有奇偶性，那么它的定义域一定关于原点对称.。
（2）是为奇函数的既不充分也不必要条件，但如果奇函数在处有定义，必有 （3）偶函数不一定与y 轴相交（4）函数既是奇函数也是偶函数; 常函数为偶函数.奇偶性定义图像特征定义域特点表达式的常见变形偶函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是偶函数图像关于 轴对称定义域关于原点对称；奇函数设函数定义域为D,如果,都有且，那么函数是奇函数图像关于 原点对称定义域关于原点对称；0)0(=f )(x f )(x f 0=x 0)0(=f 0)(=x f )0()(≠=c c x f )(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f =-)(x f y |)(|)()(x f x f x f =-=)(x f D x ∈∀D x ∈-)()(x f x f -=-)(x f 0)()(=-+x f x f2. 奇、偶函数的性质（1）若奇函数在处有定义，即有意义，则；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之也成立．（3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（4）在公共定义域内：①奇＋奇＝奇；②偶＋偶＝偶；③奇×奇＝偶；④偶×偶＝偶；⑤奇×偶＝奇．方法提炼》》》》1.函数奇偶性的判断方法方法解读适合题型定义法确定定义域，判断是否关于原点对称。
若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断与的关系函数解析式较简单，抽象函数等图像法奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或轴)对称．函数图像容易确定、分段函数等性质法在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.组合函数、复合函数温馨提示（1）判断函数的奇偶性应树立“定义域优先的原则”；（2）对于较复杂的函数解析式，可先对其进行化简，在进行判断.)(xf0=x)0(f0)0(=fy)(xf)(xf-y2.函数奇偶性的应用技巧技巧解读求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据得到待求参数的恒等式，由系数的对等性得到系数的值或者方程（组），进而得出参数的值.求函数解析式抓住奇偶性，讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而求得的解析式.巧妙构造造奇偶函数求函数值若题设条件给出的函数不具备奇偶性，但通过变形转化为一个新的函数，进而能够确定奇偶性，便可利用此性质求解复杂式子的值，充分体现转化思想和构造技巧的应用.温馨提示（1）利用奇函数的性质求解函数的解析式需注意当时的情况，不能丢掉.（2）利用奇函数的性质求值可利用在定义域R上为奇函数，得到，或者是等特殊值，从而求得参数值.常考题型：题型一、函数奇偶性概念理解题型二、函数奇偶性的判定题型三、函数奇偶性求函数值题型四、函数奇偶性求参数题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题)()(=-±xfxf)(xf)(xf=x)(xf)0(=f0)1()1(=+-ff题型一、函数奇偶性概念理解 下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；②奇函数的图像一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数只能是； ④偶函数的图像关于轴对称．⑤奇函数的图像关于原点对称 其中正确的是_______________ 题型二、函数奇偶性的判定 【例1】判断下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)(5)；(6)(7) (8)；(9)【练习1】(1) ; (2)(3)； (4) (5)(6)y ()()0R f x x =∈y 4)(x x f =5)(x x f =xx x f 1)(+=21)(x x f =122)(2++=x x x x f 232)(x x x f -=2211)(x x x f -+-=()2f x x =-⎩⎨⎧>+-<+=00)(22x x x x x x x f ，，2432)(xx x f +=y =()1xf x x =-()1,0,1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩2532)(x x x f +=4212)(xx x f +=【例2】(1)（多选）下列函数是奇函数的是 ( )A ．，（）B ．C ．D ． (2)下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是 ( ) A ．B ．C ．D ．(3)（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( ) A ． B ． C ． D ．【练习2】(1)（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是 ( )A ． B. C ． D ． (2)（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 （ ）A ．． C ． D ．【例3】设是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）A.是奇函数B.C.是偶函数D.是偶函数【练习3】(1)(2014课标Ⅰ,理3)设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A )是偶函数 B.是奇函数 C.是奇函数 D.是奇函数(2)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R ，则 ( ) A ．是奇函数 B ．是奇函数 C ．是奇函数D ．是偶函数题型y x =[0,1]x ∈23y x =3y x=||y x x =y =3y x x =-1y x=-y =(0,)+∞y x =||1y x =+2y x =21y x =-(0,)+∞22y x =+2y x =-1y x x=+1||-=x y ()0,x ∈+∞()f x =()f x x =()2f x x x =+()2(1)f x x =+)(x f )()(x f x f -|)(|)(x f x f -)()(x f x f --)()(x f x f -+)()(x g x f ，)(x f )(x g )()(x g x f )(|)(|x g x f |)(|)(x g x f |)()(|x g x f ()f x ()g x ()()f x g x +()()f x g x ()()f x g x ()f g x ⎡⎤⎣⎦题型三、函数奇偶性求函数值【例1】已知是上的奇函数，且时，，则. 【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，则.【例3】已知，且，则 【例4】已知函数是上的偶函数，若，则_________ 【例5】已知为奇函数，则___________ 【练习】1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则_____2.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则____________3.已知，（是常数），且，则的值为.4.已知是定义在上的奇函数，若 ，则___________ 题型四、函数奇偶性求参数 【例题剖析】1.已知奇函数的定义域为，则实数__________.2.已知函数是偶函数，则__________.3.已知是定义在上的偶函数，那么的值是______4.设是定义在上的奇函数，则_______5.已知函数是偶函数，则______.6.若函数奇函数，则＝_________7.已知函数是奇函数，且，则_________ )(x f R 0>x 142)(2++-=x x x f _____)1(=-f ()f x R 0x >()258f x x x=+-()()05f f +-=2)(35++-=bx ax x x f 17)5(=-f ______)5(=f ()2y xf x =+R ()32f -=()3f =(1)1y f x =++()()02f f +=()f x R 0x >()231=-+f x x x ()3f -=)(x f 0<x 12)(2+-=x x x f =+)0()2(f f 5)(35+++=cx bx ax x f c b a ，，9)5(=f )5-(f ___3)2(-+=x f y R 4)1(=f =)3(f ()y f x =()2,1a a -a =()()21f x x a =++a =bx ax x f +=2)(]21[a a ，-b a +()()322f x x a x x =---+2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦()f b =()()322x xx a f x -=⋅-=a ))(12()(a x x xx f -+=a 1)(2++=x b ax x f ()225f =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.已知函数的图象关于原点中心对称，则23)1()(x a x x f ++=______=a【练习】 1.已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为______． 2.若为偶函数，则实数3.已知函数是偶函数，定义域为，则. 5.已知定义在上的函数满足，且当时，，，则________6.若为奇函数，则__________7.若函数是定义在上的偶函数，则_________题型五、函数奇偶性与单调性结合——比较大小 【例题剖析】1.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．2.已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【练习】1.设函数的定义域为R ，对于任意实数x 总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是( )22,a a -⎡⎤⎣⎦()y f x =a )4)(()(-+=x a x x f ______=a b a bx ax x f +++=3)(2]21[a a ，-____)0(=f R ()f x ()()0f x f x -+=0x ≤()22xaf x bx =-+()10f =()3f =()()()211f x x a x a =+++-=a ()21f x x ax =++(,22)b b --2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x (],0∞-()()()152f f f ->>()()()215f f f >->()()()125f f f ->>()()()521f f f >>-()f x [0,)+∞()0.5f -()1f -()0f ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-()f x ()()f x f x -=[)0,x ∈+∞()f x ()2f -()πf ()3f -A ． B ． C ．D ．()()()π32f f f >->-()()()2π3f f f ->->()()()3π2f f f -<-<()()()2π3f f f -<-<2.若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．3.若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是( )A ．B ．C ．D ．题型六、函数奇偶性与单调性结合——解不等式【例1】(1)设函数y =f (x )为上的偶函数，且对任意的均，则满足的实数的范围是____________(2)已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是__________(3)已知定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为__________．(4)定义在上的奇函数，当时，单调递增，则不等式的解集是__________(5)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是__________]2,2[-)(x f ]2,0[)()1(m f m f <-m ()f x (0,)+∞(a f =π2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<b c a <<a c b <<c a b <<()y f x =(),0-∞523634f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352463f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭532643f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R (]()1212,,0x x x x ∞∈-≠()()()21210f x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦()()121f x f x +<-x [4,4]-()f x [0,4](1)(2)f x f +>-x R ()f x [0,)x ∈+∞()f x ()()2110f x f ++≥()f x R 0x ≥()221f x x x =-+()()21f f x ->+x (6)已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为__________()f x R 0x ≥()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->m【练习1】(1)已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为__________(2)定义在上的奇函数是减函数，若，实数的取值范围为__________.(3)奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围__________(4)已知函数，且，则实数的取值范围是_________(5)已知函数是定义在上的偶函数；且在上单调递增，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围________________【例2】(1)已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集______(2)定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x 的取值范围是________【练习2】(1)已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为______(2)定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为____________(3)定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为____________()f x R [)0,+∞()()121f x f x ->+)1,1(-)(x f 0)31()1(<-+-a f a f a()f x [)0,+∞()23f =()313f x -≤-≤()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()y f x =R (],0-∞x ∈R ()()21f ax f x >+a ()f x (0,)+∞(1)0f =()0x f x ⋅<R ()f x (),0-∞()30f =()()10x f x +≥()f x ()0,∞+()10f =()0f x x<R ()f x ()()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-()20f =()()10x f x -≤R ()f x ()0,∞+103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()202f x x ≤-题型七、利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式 【例1】(1)已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为________(2)函数是定义在上的奇函数，已知当时，，求函数的解析式________(3)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的表达式为________．(4)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当x ∈(0,+∞)时，_____________【练习1】(1)已知是定义在上的奇函数，当时，，求时，函数的解析式___________(2)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式.(3)已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=x (x ―4)，则函数f （x ）解析式为__________(4)是定义在R 上的奇函数，当时，，则的表达式为_____题型八、利用奇偶性构造方程组求解析式【例1】是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式．【练习1】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则_______()f x R 0x ≥()()1f x x x =+0x <()f x ()f x R 0x >2()23f x x x =--()f x ()f x R 0x ≥()()24f x x x =+()f x R ()f x (),∞∞-+(),0x ∞∈-()2f x x x =-()f x =()y f x =R 0x ≥2()2f x x x =-+0x <()f x ()f x R 0x <()22f x x x=-()f x ()f x 0x ≥()22f x x x =-+()f x ()f x ()g x ()()11f xg x x +=-()f x ()g x ()f x ()g x 2()()1f x g x x x +=-+(2)f =题型九、与函数奇偶性、单调性相关的综合解答题 【例1】已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性；(2)利用单调性的定义证明：在上单调递减；(3)解不等式．【例2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式.【例3】已知函数f(x)=x 2―1x. (1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明；(2)证明f (x )在区间(0,+∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[―4,―2]上的最大值和最小值.【例4】已知函数是上的偶函数，当，，(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.2()1x f x x =-(1,1)-()f x ()f x (0,1)()2(1)10f m f m -+-<()21ax b f x x -=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()210f t f t +->()f x R 0x ≤2()43f x x x =-+-()f x (21)(1)f m f m -<+m【练习1】已知函数f (x )=ax +b 1+x 2是定义在(―1,1)上的奇函数，且f (12)=25. （1）求函数f (x )的解析式；（2）用定义法证明函数f (x )的单调性；（3）若f (m )+f (2m ―1)>0，求实数m 的取值范围.【练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值；(2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.()21mx n f x x +=+[]1,1-()11f =,m n ()f x ()2(1)10f a f a -+-<。
