必修(一)题型总结
-、集合的概念与表示：
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集⑺的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
3. 注意下列性质：集合9i, a2, , a n .的所有子集的个数是2n；
4. 对于集合的元素是不等式的，画数轴确定两集合的关系例题：
1. 满足关系{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合的个数是( )
A: 4 B: 6 C: 8 D: 9
2 3 ：3
2. 以实数X , - x , |x|, x , - 「k 1 ] f k 1 1 3. M=』x|x=—+ — ,k€Z], N=d x|x=—+—,k E Z 贝U ( ) (A M =N (B) M N (C) N M (D) M』N 4. 已知A={(x,y)|y=x 2-4x+3},B=[(x,y)|y=-x 2-2x+2}, A n B= ______________ 5. 某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的 学生有38人，求：(1)语文、数学都优秀的学生人数(2)仅数学成绩优秀的学生人数 2 2 2 6.设A={x|x -ax a -19=0} , B ={x| x-5x 6 =0},且A B,求实数a 的值. 二、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 如何比较两个函数是否相同？ 1. 定义域的求法： 分母、开偶次方、对数(保证它们有意义) 2 .值域的求法： ①判断函数类型(一次、二 次、反比例、指数、对数、幕函数)由函数的单调性与图像确定当x为何值时函数有最大值(最高点)和最小值(最低点) ， ②对于一个没有学过的函数表达式，需要将它 变成一个学过的函数来解决(换元法、 图像变换法) 3表达式的求法：O1已知函数类型待定系数法 ②已知f(x)求f(2x+1)整体代换法，已知f(2x+1)求f(x)换元法。 ③形如f(x)+ f(-x)= 2x+1或f(x)+ f(1/x)= 2x+1的取x相反数或倒数消元得到f(x) 3.函数y = f (x)的定义域是[0,2] ，则函数g (x)= f(2x) x — 1 的定义域是 A . [0,1] B .[0,1) [0,1)U(1,4] .(0,1) 4. (1)已知 f(2x+1)=x 2 (2)已知 f(x)=x :2 +x ,,求 f(x) +x ,,求 f(2x+1) 的表达式 的表达式 5 (1)已知f(2x+1)定义域(0, 6),求f(x)定义域 (2)已知f(x)定义域(0, 6)，求f(2x+1)定义域 2 2 x 6.已知函数 f(x -3)= l g-^ (1) x -6 求f(x)表达式及定义域 ;(2)判断f(x)的奇偶性. 1 X 一 7、设0W x w 2,则函数f(x)=4 2-3?2x +5的最大值是 _________________ ,最小值是 _______ 三、函数的单调区间与单调性： (想想两者的区别) 1?函数在区间上单调性的证明步骤：一设 二做差三因式分解最后判断正负号 2.确定一个函数的单调区间，基本函数通过类型看它的图像， 复杂的通过换元利用复合函数的方法(同增异减) 没思路的通过分析 y 随x 的增大而 .................................... 得到 3 .利用单调性解不等式：关键在于将不等式两边的形式化相同 1.下列四个函数中，在(0,+g )上为增函数的是 2 1 A.f(x)=3-x B.f(x)=x -3x C.f(x)=- D.f(x)=-| x| X +1 2 2.函数f(x)=x +2(a — 1)x+2在区间(-g ,4]上递减，则a 的取值范围是 A. [ -3,+g] B.(-g ,-3) C.(-g ,5] D. [ 3,+g ) 例：函数y 二的定义域是 lg(x _3) 2. 下列四组函数中，表示同一函数的是( A . y = x -1与y 二(x -1)2 B. y = J x -1与 y = x — 1 J x —1 , 2 C. y = 4 lg x 与 y = 2 lg x D. 一 x 八1gx — 2与二 lg ^ 3.判断函数f(x)=x —丄在0, ?：：上的单调性并证明 x 5.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当 x € (0,+ °时)，f(x)=lgx ,则满足f(x)>0的x 的取 'ax + 2 + a 6若函数f(x) -Uog’Zx + A)°为定义域上的单调函数，则 a 的范围是 __________ ［ 2 四、函数的奇偶性问题 若f(_x)二「f(x)总成立：=f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称 ( ) 若f(-x) =f(x)总成立:二f(x)为偶函数二函数图象关于y 轴对称( ) 判别函数y 二f (x)奇偶性的方法: 1. 利用x 的奇次幕偶次幕快速判断 2. 利用定义；①求出函数定义域 A ;判别定义域是否关于原点对称， 若A 不关于原点对称， 则f (x)为非奇非偶函数；③计算 f(-x),-f(x);④判别记偶性：若 f(-x) = f(x), 为偶函数；若f(-x)二-f(x)为奇函数；若两式均不成立，则为非奇非偶函数; 注意如下结论： (1) 在公共定义域内：奇*奇得偶；偶*偶得偶；奇*偶得奇。 (2) 为既奇又偶函数(如 y=0 )。 1、如果奇函数 f (x)在［3,7］上是增函数且最小值是 5,那么f(x)在［-7,-3］上是( ) A .增函数且最小值是 -5 B 增函数且最大值是 - 5 . 2.若函数f(x)为奇函数，且当x ?0时，f(x)=10x ,则f(-2)的值是() 1 A . -100 B . C. 100 100 x ―x x x 3?若函数f(x)=3 3与g(x)=3 -3的定义域均为R ，则( ) C.减函数且最小值是 - 5 D .减函数且最大值是 -5 D.-— 100 A . f (x)与g (x)均为偶函数 B . f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 C . f (x)与g(x)均为奇函数 D . f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 4. (x), g(x)都是奇函数，f(x)= a：:(x) - bg(x)+2 在(0, +：：)上有最大值5,则f(x)在 (_ O0 , 0)上有最 ___________ 值 __________ . 5.已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x 2+x,求f(x)解析式 6 若f(x rW^为奇函数’则实数/____ 7、已知f(x)是偶函数，它在［0,+ R )上是减函数，若f(lg x) . f (1),则x 的取 值范围是() 1 1 1 A. ( ,1) B. (0, ) _. (1, ：：) C. ( ,10) D.(0,1) U (10,+ a ) 10 10 10 &已经函数 f(x)=2x 3+(2-a)x 2+bx+b+1 在区间(-2m+1, m )上是奇函数，贝U a+ b+ m= _________ 五、指数与对数运算、指数函数与对数函数 ABC D 3. y 二(log 1 a)x 在R 上为减函数，则 a ___________ 2 4、 已知函数f(x)=log 2 (X -2)的值域是[1 , log 214],那么函数f(x)的定义域是 5、若函数f (x)炯 a (0 ::a 1 在区间l.a,2a 1上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) 22.已知函数 住戶黠(04且 占1) (1 )求f(x)的定义域、值域； (2)讨论f(x)的单调性 注意： .两个重要的奇函数 2、已知函数f(x)=2 x ,则f(1 — x)的图象为 ( y 「 , y “ -1 /?- / \ O x O x (3)讨论f(x)的奇偶性 1?灵活应用公式，注意 0、1的特殊性。 解决函数问题的关键在底数，确定它是增函数还是减函数。问题即解决 y 六、方程的根与函数的零点 ： 函数有零点 = 方程有实数根 = 函数的图象与x 轴有交点=f ( a )? f ( b ) <0 1.函数、方程、不等式 之间的关系。 2零点在哪里(代入法)、 有几个零点( 图像法) 3 ?二分法的步骤 1、 函数f (x)二-x 2 5x -6的零点是() A - 2,3 B 、2 , 3 C 、2,_3 D 、-1,-3 2、 已知y =f(x)是定义在R 上的函数，对任意禺：：：x 2都有f(x 1) . f(x 2)，则方程f(x) =0 的根的情况是() A 、至多只有一个 B 、可能有两个 C 、有且只有一个 D 、有两个以上 3、 已知二次函数f (x)的二次项系数为 a ,且不等式f(x) . -2x 的解集为(1, 3). (1) 若方程f(x) 6^0有两个相等的根，求 f(x)的解析式； (2) 若f (x)的最大值为正数，求 a 的取值范围. 5.设X o 是方程In x ，x=4的解，贝U X o 属于区间 () x 6.方程2 - x =5的解所在的区间( ) A . (0, 1) B . (1 , 2) C . ( 2, 3) 7函数= 2父'-^-3的零点个数为 ___________________ 个 4x —4, x < 1 & f(x)=」2 的图象和g(x) = log 2x 的图象的交点个数是( ) x —4x+3, XA 1 A. (0, 1) B. ( 1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4) D . ( 3, 4)
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