§13.1.一致收敛性.

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

n 1 n 1 (1 − ) = ≠ 0， n →∞ n + 1 n +1 e
故 f n ( x ) = nx (1 − x ) n 在 [0,1] 不一致收敛。 评注：在式（13.4）中，令
d [nx(1 − x) n ] = n(1 − x) n −1[1 − (n + 1) x] = 0 ，得稳定点 dx
| f n ( x) − f ( x) |< ε ，
这时称函数列 { f n ( x)} 在点集 {x1 , x2 } 一致收敛。 设函数列 { f n ( x)} 在区间 I 上的每点都收敛于 f ( x )（有无限多个极限） ， 如果能找到 （评 注：未必能找得到）公共 N 来控制全部极限过程，也就是说： ∀ε > 0 ， ∃N ， ∀n > N ，
∃N x > 0, ∀n > N x 有 | f n ( x) − f ( x) |< ε 。请与一致收敛定义作比较。
sin nx } 在 ( −∞, +∞ ) 一致收敛于 0 。 n 1 证明： ∀ε > 0 ，取 N = [ ] + 1 ， ∀n > N ， ∀x ∈ ( −∞, +∞ ) 有
例2 证明函数列 {
1 n
分析：使 f n ( x ) 恒为 0 的区间是 [ ,1] ，由于当 n → ∞ 时这个区间的长度 1 − → 1 ，因 此猜测极限函数为 f ( x ) ≡ 0, x ∈ [0,1] 。也可以推导如下：暂时固定 x ' ∈ (0,1) ，那么对
1 1 n = [ ] + 1,[ ] + 2, x' x'
[教学时数]：10 学时。 [教学要求]： 1、深刻理解一致收敛概念，并会书写一致收敛定义及其否定叙述，会判别一些常见 的函数级数的一致收敛性。 2、能证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理。 3、具有初步证明函数项级数的一些简单理论问题的能力。

lim sup | Rn ( x ) | lim sup | S ( x ) Sn ( x ) | 0.
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
多媒体教学课件
n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
多媒体教学课件
例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
多媒体教学课件
由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1

在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲

定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对

rn ( x) S ( x) S n ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上

an x n an r n
(n 0 ,1, 2 ,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 an r n
n 0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间可包含此端点.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) an 1 an 2 an p 2 令 p , 则由上式得 rn (x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .