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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角--教案设计

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课堂教学设计
孔祥伟

课 题： 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 授课时数： 1课时
日期：2017年 5 月 24 日
设计
要素
设 计 内 容

教学
内容
分析

平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为
研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算
两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

教学
目标

知识
与
技能

⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；

过程
与
方法

经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究
发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精
神。

情感
态度
价值
观

引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣。
注重培养学生的动手能力和探索能力；同时通过平面向量数量积的数与形两种表示
的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。

学情
分析

此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是
用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用
的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，
本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
教学
分析

教学
重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质

教学
难点

难点
平面向量数量积的坐标表达式的推导

解决
办法
利用平面向量数量积的意义、运算律等的知识得出新知，学生要多加

练习。

教学
策略

本节课主要采用启发诱导、观察、归纳、分析等教学方法。 在教学过程中，注意

学生的主体地位，依据学生已有的知识经验和思想基础，复习引入，创设 疑问，引导
学生观察、分析、归纳，推导出公式，引导学生运用公式解决问题。

教学
资源
教材P106—P107，2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

板书
设计

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
⑴向量的模 ⑴正交分解下向量的坐标表示
例5
⑵平面内两点间的 ⑵平面向量数量积的意义、运算律
距离公式

⑶两向量垂直的坐标
表示的判断条件
例6 练习
⑷两向量的夹角的坐标
表示公式
教 学 过 程
教学内容 教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用
预期效果

一、回顾复习 二、新课讲授 ⑴向量的模 ⑵平面内两点间的距离公式 ⑴正交分解下向量的坐标表示； ⑵平面向量数量积的意义、运算律。 1、 探究： 已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，怎样用a与b的坐标来表示ba呢？ （))((2211jyixjyixba 2211221221jyyjiyxjiyxixx 2121yyxx 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.） 教师巡视辅导学生，解决遇到的问题，对学生适时点拨。 2、 探索发现向量的模、夹角等度量的坐标表示式 设),(yxa，则有222yxa或22||yxa 设),(11yxA，),(22yxB，则),(1212yyxxAB， 221221)()(||yyxxAB 学生回答提出的问题，老师点评。 合作交流探索研究提出的问题。 学生展示探究结果，教师予以点评。 教师提出相关的问题，学生独立思考、探究、合作回答。 回顾平面向量
数量积的意义，为
探究数量积的坐标
表示做好准备。

有完整的推导
过程,便于公式的
合理导出

在向量数量积
的坐标表示基础
上，探索发现向量
的模
教 学 过 程
教学内容 教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用
预期效果

⑶两向量垂
直的坐标表示的判断条件 ⑷两向量的夹角的坐标表示公式 设),(11yxa，),(22yxb，则02121yyxxba 设非零向量),(11yxa，),(22yxb，为a与b的夹角，则222221212121||||cosyxyxyyxxbaba 3、例题讲解 例5、已知)2,1(A，)3,2(B，)5,2(C，试判断ABC的形状，并给出证明. 例6、 设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求ab 以及a和b之间的夹角。 3、 课堂练习： 教材P108习题2.4A组第5题，教材P107练习第1～3题。 4、 课堂小结： ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 5、 作业布置： 教材P108习题2.4A组第7～11题，B组第2～4题。 完成公式的推导

解决例5，总结解
题方法。 师生交流，点评解法。 学生独立思考并叫学生在黑板上板演。 学生独立完成，老师巡视，个别辅导。 在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角的坐标表达式 先要求学生做
出图形，有初步
的感性认识，而
后给出具体的解
答过程

学以致用
通过小结，对
知识进行梳理

巩固提升
教
学
流
程
图

教
学
设
计
评
价

及时的教学评价能有效调动课堂的气氛，感染学生的情绪，对课堂教学发
挥着积极的推动作用。教学过程中，尊重学生之间的差异，注重过程性评价与多
元评价，将教学评价贯穿于本堂课的每个教学环节中，通过自我测评、同学互评、
老师点评等多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价
氛围中完成本节课的教学和学习任务。

提出问题 引导探究 引导探究 出示例题与练习 归纳总结 布置作业 思考问题
得出公式
分析尝试
尝试完成
笔记整理 独立完成 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 复习提问 新课探究 探索发现 应用举例 尝试小结
作业提升

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数学：2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角》教案(新人教A必修4)

数学：2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角》教案(新人教A必修4)

2.4.2 平面向量数目积的坐标表示、模、夹角教课目标：1、掌握平面向量数目积的坐标表示，会进行平面向量数目只的运算；2、能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个向量的垂直关系。

教课重难点：应用平面向量数目积的坐标表示去解决两点间的距离、两向量的夹角等相关问题。

教课过程一、复习发问平面向量数目积（内积）：a b = |a||b|cos，二、新课设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，如何用a与b的坐标表示a ?b？∵ a = x1i + y1j, b = x2i + y2j∴ a b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i 2 + x1y1i j + x2y1i j + y1y2j2x 轴上单位向量 i ，y 轴上单位向量 j，则： i i = 1， j j = 1，i j = j i = 0进而获取公式： a b = x1x2 + y1y2两个向量的数目积等于他们对应坐标的乘积和。

长度、角度、垂直的坐标表示1a = (x, y)|a|2 = x2 + y2|a| = x 2y 22 若 A = (x1, y1)， B = (x2, y2)，则 | AB |= ( x1x2 ) 2( y1 y2 )23a b x1 x 2y1 y2cos =2222| a || b |x1y1x 2y24 ∵a b a b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示不一样）。

例 5、已知 A(1, 2)， B(2, 3)， C( 2, 5)，求证：△ ABC 是直角三角形。

证：∵ AB =(2 1, 3 2) = (1, 1),AC=( 2 1,5 2)=( 3,3)∴AB AC=1×( 3)+1×3=0∴AB AC∴△ ABC 是直角三角形例 6、设a＝（ 5，－ 7），b＝（－ 6，－ 4），求a ?b及a、b间的夹角θ（精准到1°）。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

AC =（2 - 1，5 - 2）= （3，3） ∴AB●AC = 1×（-3）+ 1×3 = 0
∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形
例6 设 a (5, 7), b (6, 4) ，求 a b 及 a、b
间的夹角 解：

（精确到 1 ）
o
a b 5 (6) (7) (4) 30 28
2、 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 a x y a x y a ( x , y ) 若 ，则 ，或
2
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标 ( x2 , y2 ) 分别为 ( x1 , x2 ) 、
a ( x2 x1 , y2 y1 )
2
a ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2.4.2 平面向量数量积的坐标
表示、模、夹角
教学目标： 1、掌握平面向量数量积的坐标表示
2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以 及垂直
复习
1、数量积的定义
2、两个向量的数量积的性质 1投影 2 垂直 3 同向（反向）
4 cos
5 a b a b
3、平面向量数量积的运算律 交换律、数乘结合律、分配律
cos
a b a b
谢谢！
2、 平面内两点间的距离公式
a ( x2 x1 , y2 y1 )
a ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直的判定
a b x1x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、两向量夹角的余弦值
3、向量垂直的判定
2
a b x1x2 y1 y2 0
高一数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

高一数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：《习案》作业二十四。

课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课件7：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


归纳点评 向量与代数中的一些问题如函数的最值问 题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应 熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、 数量积等坐标表示．
随堂练习
1．已知向量 a＝(1，m)与 b＝(n，－4)共线且 c＝(2,3)
与 b 垂直，m＋n 的值为( )
16
20
A. 3
B. 3
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)： (1)若a⊥b，求x； (2)若a∥b，求x. 解：(1)若a⊥b，则1×x＋2×(－4)＝0，∴x＝8； (2)若a∥b，则1×(－4)－2×x＝0，∴x＝－2.
高效课堂 典例精析 题型1 向量的夹角 例1 已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)， 求a·b及a与b的夹角θ的余弦值．
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)且λa＋b＝0(λ∈R)， 则|λ|＝________.
【解析】∵λa＋b＝0，∴b＝－λa. ∴|b|＝|－λa|＝|λ|·|a|＝|λ|＝ 5. 【答案】 5
规律总结 1．向量数量积的坐标表示 本节是在向量数量积的基础上，将数量积定义、有关 性质坐标化，可结合上一节的内容来记忆有关公式． 2．平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有：
1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5,8)，则(a＋b)·b等于
()
A．－34
B．34
C．55
D．－55
【解析】a＋b＝(－3,5)，∴(a＋b)·b＝(－3,5)·(－5,8)＝15
＋40＝55.故选C.
【答案】C
2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行