相似三角形中几种常见的辅助线作法
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
、添加平行线构造“ A “ X”型
例1:如图，D是厶ABC的BC边上的点，BD: DC=2 1, E是AD的中
点，求：BE EF的值.
解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P,则
PE DE 彳BP BD
1, 2 ,
FE AE PF DC
••• PE=EF BP=2PF=4E所以BE=5EF：BE EF=5: 1 .
解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q,则BF BC - BE = BF - EF
= 3DQ - EF =6EF - EF =5EF , DQ DC 一3,
••• BE EF=5 1 .
解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S
, DQ _ DA
—2, EF EA
解法四：过点BE BT
__ _ •EF _TC ?E作AC的平行线交BC于点
••• BD=2DC 二 5 “
BT = — DC,
2
T,贝U DT =CT =
••• BE EF=5: 1
变式：如图，长交AC于F, D是厶ABC的BC边上的
点, 求AF: CF的值.
BD DC=2 1, E是AD的中点,连结BE并延
解法一解法二解法三解法四过点
过点
过点
过点
D作CA的平行线交
D作BF的平行线交
E作BC的平行线交
E作AC的平行线交
BF于点
AC于点
AC于点
BC于点
P,
Q
S,
T,
例2:如图，在厶ABC的AB边和AC 边上各取一点D和E,且使AD= AE, DE延长线与BC延长线相交于F,求证: BF BD
CF CE
（证明：过点C作CG//FD交AB于G
例3:如图，△ ABC中, ABvAC 在AB
F,证明:AB- DF=AC EF.
AC上分别截取BD=CE DE, BC的延长线相交于点
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平
行线。.
方法一：过E作EM//AB,交BC于点M则厶EM OA AB Q两角对应相等，两三角形相似）
方法二：过D作DN//EC交BC于N.
例4:在△ ABC中, D为AC上的一点，E为CB延长线上的一
点
证明：过D作DG/ BC交AB于6则厶DFG ffiA EFB相似,
••• DG DF T BE= AD, A DG DF
BE 一EF AD 一EF
由DG// BC可得△ ADG ffiA ACB相
似，. A EF X BO AC X DF.
DG AD
BC AC
例5:已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E, 交
BA的延长线于F,
AF AE
求证：
BF EC
if
D
I
）
c
分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 •
（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段 EC,使得所得四条线段分 别构成两个三角形.）
例8:在？ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF// AB,延长BP 交AC 于E, 交 CF 于 F,求证：BPZ=PE- PF
分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等， 把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明 •另外在证明等积式时要先转化 为比例式观察相似关系，有利于证明•
例6:已知：在等腰三角形ABC 中，AB=AC BD 是高，求证：BC=2AC ・CD 分析：本题的重点在于如何解决“ 2”倍的问题; 找到这一线段2倍是哪一线段.
例7:如图，△ ABC 中, AD 是BC 边上中线，E 是AC 上一点，连接ED 且交AB 的延长线于F 点.求证：AE EC=AF BF.
分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行 与2倍关系的 结论，证明所得结论. 找到后以比例式所在三角 形与哪个三角形相似
•
A
、作垂线构造相似直角三角形
例9:如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF, 垂足
分别为E、F,
求证：AB AE AD AF = AC
证明：过B作BM L AC于M过D作DNL AC于N
••• AM: AE=AB AC AB ■ AE = AC AM (1)
例10: ?ABC中, AC=BC P是AB上一点，Q是PC上一点
（不是中点），MN± Q且MNLCP,交AC BC于M N,求证:
PA: PB =CM : CN
证明：过P作PE!AC于E, PF L CB于F,贝U CEPF为矩形
.PF //EC v / A=Z B=45°. Rt △ AEP=Rt PFB
. = v EC=PF . PA 二ZE 二ZE (1)
在厶ECP^n A CNM中CPL MNT Q PB PF EC
./ QCN£QNC=90 又v / QCN£ QCM=9° /-Z MCQ/CNQ .Rt A
PEC^Rt A MCN .皂二竺即空(2)
由(1)( 2)得PA CM CM CN EC CN
PB CN
三、作延长线构造相似三角形
例11.如图，在梯形ABCD中, AD// BC,若/ BCD的平分线CH L AB于点H, BH=3AH且四边形AHCD勺面积为21，求△ HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA CD交于点P v CHL AB, CD平分/ BCD
••• CB=CP 且BH=PH v BH=3AH 二PA AB=1: 2 /• PA PB=1 3
v AD// BC
• S A PCH= 2
S
^ PBC S A PAD二 S四边形AHCD = 2
:7 - S四边形AHCD = 21 2_ , _ 1 _
…S A PAD - 6 S A
PBC
- 54…
S
A HBC= 一
S
A PBC=
27
2
-•△ PAD^A PBC . . S A PAD : S A PBC =1:9
