第七章 平面向量
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平面向量（向量的概念、向量的运算、平面向量的坐标运算、平移公式、中点坐标公式、两点距离公式化）一、知识回顾1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来解决；2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题；3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 。
二、基本训练1、平面直角坐标坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC =αOA +βOB，若中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ） A 、（x －1）2+（y －2）2=5 B 、3x+2y －11=0 C 、2x －y=0 D 、x+2y －5=02、已积OB =（2，0），OC =（2，2），CA = （2cos α，2sin α），则OA 与OB夹角的范围是（ ）A 、[0，π4]B 、[π4，5π12]C 、[π12，5π12]D 、[5π12，π2]3、平面向量a =（x ，y ），b =（x 2，y 2），c =（1，1），d =（2，2），若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a有（ ）A 、1个B 、2个C 、多于2个D 、不存在4、已知a +b +c =→0， |a |=3，|b |=5，|c |=7，则a 与b夹角为（ ）5.有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ PQ ⊥时，t = 秒．6.已知向量a ＝(cos23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos xx -，)，且x ∈[0，2π]．若f (x )＝a · b －2λ｜a ＋b ｜的最小值是23－，求λ的值．(襄樊3理)三、例题分析：例1.平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos ),cos ,1(ππ-∈x x Q x P （1）求向量OQ OP 和的夹角θ的余弦用x 表示的函数f (x ); （2）求θ的最值.例2.已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π． （1）求ω；（2）当0＜x ≤π3 时，试求f (x )的值域．南通一例 3.已知{a n }是等差数列,公差d ≠0，其前n 项和为Sn,点列P 1（1,S 11）,P 2(2, S 22 )，……P n （n ，S n n ）及点列M 1(1,a 1)，M 2(2,a 2)，……，Mn （n ，a n ）（1）求证：1n PP (n>2且n ∈N*)与12PP共线；（2）若12PP 与12M M 的夹角是α，求证：|tan α|≤24例4．（04湖北）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.四、作业 同步练习 g3.1056平面向量的综合应用（1）1、已知平行四边形三个顶点的坐标分别是(4，2)，(5，7)，(－3，4)，则第四个顶点一定不是（ ） A 、(12，5) B 、(－2，9) C 、(－4，－1) D 、(3，7)2、已知平面上直线l 的方向向量e =(－45，35)，点O(0,0)和A(1,－2)在l 上的射影分别为O 1和A 1，则11O A=入e ，其中入=（ ）A 、115B 、－115C 、2D 、－23、设F1、F2为曲线C1：x 26 + y 22 = 1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2=1与曲线C 1的一个交点，则1212||||PF PFPF PF 的值是（ ）A 、14B 、13C 、23D 、－134、设a 、b 、c是平面上非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ② |a －b | > |a |－|b |③（b ·c ）a －（c ·a ）b 与c不垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）= 9|a |2－4|b |2其中真命题的序号是（ ） A 、①② B 、②③C 、③④D 、②④5、OA = (cos θ，－sin θ)，OB =（－2－sin θ，－2+cos θ），其中θ∈[0，π2 ]，则|AB|的最大值为6、已知O 、A 、B 、C 是同一平面内不同四点，其中任意三点不共线，若存在一组实数入1、入2、入3，使入1OA +入2OB +入3OC =O，则对于三个角：∠AOB 、∠BOC 、∠COA 有下列说法：①这三个角都是锐角；②这三个角都是钝角； ③这三个角中有一个钝角，另两个都是锐角； ④这三个角中有两个钝角，另一个是锐角。
其中可以成立的说法的序号是 （写上你认为正确的所有答案） 7、（05上海卷）直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是 __________。
8、（05江西卷）已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之. 9、设a =(1+cos α, sin α)，b =(1－cos β,sin β)，c=(1，0)，α∈(0,π)，β∈(π,2π), a 与c 夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2= π6，求sin α-β4的值。
10、已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ=1，以O 为坐标原点，直线OF 为x 轴（F 在O 右侧）建立直角坐标系。
（1）若S= 12，|OF| =2，求向量FQ 所在的直线方程；（2）设|OF |=c ，（c ≥2），S= 34 c ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ|取得最小值时椭圆的方程。
11、 （04年福建卷.文理17）设函数()f x a b = ，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 2)b x x =，x R ∈.（Ⅰ）若()1f x =[,]33x ππ∈-，求x ；（Ⅱ）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)(||)2c m n m π=< 平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值.答案基本训练：1. D 2. C 3. A 4 π3 5. 2 6．解：a · b x x x x x 2cos 21sin 23sin 21cos 23cos=-= |a+b||cos |22cos 22)21sin 23(sin )21cos 23(cos 22x x x x x x =+=-++=]20[π，∈x ∴cos x ≥0，因此| a ＋b |＝2 cos x∴f (x )＝a · b －2λ｜a ＋b ｜即2221)(cos 2)(λλ---=x x f]20[π，∈x ∴0≤cos x ≤1①若λ＜0，则当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值221λ--， 由已知得23212-=--λ，解得：21=λ ③若λ＞1，则当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值λ41-， 由已知得2341-=-λ，解得：85=λ，这与1>λ相矛盾． 综上所述，21=λ为所求． 三、例题分析：例1.解：（1）θcos ||||⋅=⋅]4,4[c o s 1c o s 2)(,c o s 1c o s21c o s c o s 11c o s c o s 1|||||c o s 2222ππθ-∈+=∴+=++⋅+⋅=⋅=∴x xx x f xx x x x x OQ OP（2）)(12)(],1,22[,cos 2t g tt x f t t x =+=∈=则则,0,322a r c c o s ,40,322a r c c o s ],,0[,1cos 322322)22()(,1)1()(]1,22[)(,122)(,0)(,)1,22()1()1)(1(2)(min max min max min max 22===±=∴==∈≤≤∴====∴∴==>'∈+-+-'θθπθθπθθ时当时当故又上是增函数在处连续及在又时显然又x x g t g g t g t g t t t g t g t t t t t g例2.(1)()f x = 3 sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx=2sin2ωx ＋12 (1+cos2ωx ) =sin(2ωx+π6 )+ 12∵ ω>0，∴T=π=2π2ω，∴ω=1． （2）由（1），得()f x =sin(2x+π6 ) + 12 ,∴0＜x ≤π3 , ∴π6 ＜2x+π6 ≤5π6 ．∴()f x ∈[1，32 ]． 例 3. ∵ {a n }成等差数列∴Sn n = a 1 + n-12 d（1）→P 1Pn = (n-1，n-12d )，→P 1P 2 = (1，d 2 ) ∴ →P 1Pn = (n-1) →P 1P 2 ∴ →P 1Pn (n>2且n ∈N *) 与 →P 1P 2 共线（2）→M 1M 2 = (1，d) |→M 1M 2| = 1+d 2 而|→P 1P 2| =1+d 24∴ cos α= →P 1Pn ·→M 1M 2|→P 1P 2||→M 1M 2| = … = 2+d 2d 4+5d 2+4 ∴ tan 2α= sec 2α－1 = d 2d4+4d 2+4 = 1d 2+4d 2+4≤ 18∴ |tan α| ≤ 24例4．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AB AC AB -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一.c o s 2121)(222222θa a a a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当⋅==θθ 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BC BC PQ a a CQ BP a by cx a bycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ四、作业 1—4、DDBD5、2 36、①②③④7、x+2y-4=08、解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ-+++=⋅=x x x x b a x f12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x xx x x x x.cos sin x x +=xx x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x.0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ2x π=时，()()0f x f x '+=9、→a= 2cos α2(cos α2，sin α2) ∴θ1= α2→b= 2sin β2（sin β2,cos β2） ∴θ2 = β2－π2又θ1－θ2 = π6 ∴ α-β2 = - π3 ∴sin α-β4 = －1210、（1）设Q(x 0，y 0) ∵|→QF| = 2 ∴ F(2，0)∴ →OF = (2，0)，→FQ= (x 0-2，y 0)∴ →OF ·→FQ= 1 得x 0 = 52而S = 12 |→OF | |y 0| = 12 ∴y 0 = ±12 ∴Q （52，±12）∴ →OF所在直线方程为y = x-2 或 y = -x+2（2）设Q （x 0，y 0） ∵|→OF | = c ∴F （c ，O ） ∴→FQ=（x 0-c ，y 0）∴→OF ·→FQ= 1 得x 0 = c + 1c又S = 12 c |y 0| = 34C ∴ y 0=±32 Q （c + 1c ，±32）由函数f(x) = x + px 的单调性，知g(c)在[2，+∞）上递增∴ g min (c) = g(2) = 52 ，此时c=2，|OQ|取最小值 ∴Q （52，±32）设出椭圆方程后可得椭圆方程为x 210 + y 26 = 111、4x π=-,,112m n π=-=。
