双曲线复习教案

双曲线复习教案重点、难点： 1. 双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a （a>0且2a<|F 1F 2|）的动点的轨迹，叫做双曲线，其中F 1，F 2叫做双曲线的焦点，|F 1F 2|的长称为双曲线的焦距。

注：（1）该定义的叙述方式与椭圆的定义有许多相似之处，但不同的是椭圆定义中“到两个定点F 1，F 2的距离之和”而此处为“到两个定点F 1，F 2的距离之差”，而且是“距离之差的绝对值”，为什么要这样来定义呢？因为若去掉“绝对值”，则按定义只能画出（得到）双曲线的一支，就不能称为双曲线。

（2）条件“2a<|F 1F 2|”的作用是什么？若2a ＝|F 1F 2|，则动点轨迹将是与F 1F 2共线，以F 1，F 2为端点的，线段F 1F 2之外的两条射线，已不再是双曲线；若2a>|F 1F 2|，则平面内这样的点不存在，此时无轨迹。

2. 双曲线的标准方程：（）焦点在轴上：112222x x a y b -=（）焦点在轴上：212222y y a x b-=注：（1）双曲线方程与椭圆方程有相似之处（两个平方项，常数1），又有不同之处（椭圆方程中为两个平方项之和，双曲线方程中为两个平方项之差）。

（2）焦点位置与方程形式之间的关系：焦点总是在平方项中正项相关的轴上，如方程x a y b x a x y a x b222222222211-=-=的正的平方项为，则它表示焦点在轴上的双曲线；同理则表示焦点在y 轴上的双曲线；另外，a 2总是与x 2，y 2的正项相随，即总是与焦点所在的轴相随。

3. 双曲线的几何性质：x ay b22221-=（1）图形的范围：该双曲线在直线x ＝－a 的左侧，以及直线x ＝a 的右侧（这是因为x a y bx a x a x a x a 22222211=+≥≥≥≤-≥，，，即或。

）|| （2）图形的对称性：双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称（原点称为该双曲线的中心） （）焦点与顶点坐标：，，，；，，，300001212F c F c A a A a ()()()()--A AB b B b 121200称为双曲线的实轴，而把端点为（，），，-()的线段称为双曲线的虚轴，显然实轴长为2a ，虚轴长为2b 。

（）离心率（由于，所以，从而）41222e cac a b c a e ==+>>（）渐近线：把直线及称为双曲线的渐近线。

5y b a x y bax ==-因为当时，双曲线上的点无限逼近这两条直线。

x →∞ （）准线：把直线及称为双曲线的准线。

622x a c x a c==-因为双曲线的点到左焦点（，）的距离与到直线的距离之比等于离心率；到右焦点（，）的距离与到直线的距离之比等于离心率，（这是双曲线的一条重要几何性质，在解题时的用处很大）。

P F c P x a ce P F c P x a ce 122200-=-=注：由以上性质易导出双曲线的焦半径公式。

设，是双曲线上一点，，是双曲线左、右焦点，则P x y x a y bF F ()002222121-=||||PF ex a PF ex a 2010=-=+，。

4. 等轴双曲线、共轭双曲线：（1）若双曲线的实轴长等于虚轴长，即a ＝b ，则称这双曲线为等轴双曲线。

其方程为或，此二者可统一为x a y a y a x ax y a 2222222222211-=-=-=||其离心率，渐近线方程为e y x ==±2（2）若一双曲线的实轴、虚轴恰是另一双曲线的虚轴、实轴，则称这两条双曲线互为共轭双曲线。

如双曲线的共轭双曲线方程为。

x a y b y b x a 2222222211-=-=显然，依共轭双曲线的定义，共轭双曲线有共同的渐近线，且它们的焦点共圆。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，取不同x a y b x a y b2222222210-=-=≠λλλλ()值，就表示不同双曲线，但它们都有相同的渐近线（λ>0表示焦点在x 轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y 轴上的双曲线）。

【典型例题】例1. 椭圆，与双曲线，有相同的焦点，x m y n m n x a y ba b F 2222110100+=>>-=>>()()F P PF PF 212，是两条曲线的一个交点，则的值为（）||||⋅AC m ..12 ||PF 1 ∴(|根据双曲线的几何性质，得： ||||||PF PF a 122-= ∴-=(||||)()PF PF a12242()()||||1244412-⋅=-可得PF PF m a ∴⋅=-||||PF PF m a B 12，选注：利用椭圆，双曲线的定义解题，是最基本的方法之一，要对此类题多练、多总结。

例2.求双曲线91614422x y -=的实轴、虚轴长；焦点、顶点坐标；离心率、渐近线、准线方程。

解：先把方程化为标准形式，，，x y a b c 22222169116925-====∴===a b c 435，，（）实轴长为，虚轴长为12826a b ==（）焦点坐标为，，，，顶点为，，，2505040401212F F A A ()()()()--（）离心率354e c a ==（）渐近线方程为434y b a x x =±=±（）准线方程为51652x a c =±=±注：由双曲线方程获取双曲线的几何特征，几何性质，是一类基本而重要的问题，应熟练掌握。

例3. （）求焦距为，且过（，）的双曲线标准方程；16352P（）求渐近线方程为，且过点（，）的双曲线方程；（）求离心率为，且与椭圆有相同焦点的双曲线方程。

223921352133122y x M x y =±-+=解：（）若双曲线焦点在轴上，则其标准方程可设为112222x x a y b-=263922c c a b =∴=∴+=，，又双曲线过，，P a b()3529254122∴-=联立以上两方程，解得，a b 2245== 此时双曲线方程为x y 22451-=若双曲线焦点在轴上，则其标准方程可设为y y a x b 22221-=263922c c a b =∴=∴+=，， 双曲线经过（，），P a b3522549122∴-=联立以上两方程，解得，a b 2236== 此时双曲线方程为y x 22361-=综上可知，所求双曲线方程为或x y y x 2222451361-=-=（2）方法一：（因不明双曲线类型，故对焦点在x 轴、y 轴上两情形分类讨论）设双曲线方程为，则由已知，可得x a y b22221-=81411231882222a b b a a b -==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==，此时双曲线方程为x y 221881-=设双曲线方程为，则由已知，得y a x b22221-=181412322a b a b -==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪方程组无解综上可知，所求双曲线方程为x y 221881-=方法二：（先由已知判断点M 在平面被渐近线所分割的四个部分中的哪个区域推断双曲线类型，而后再待定方程中的a 2，b 2）把代入渐近线方程，得x y x y ==±=±⨯=±922323923而点的纵坐标为，M y M =-∈-133[]可见，双曲线的焦点在轴上，故可设其方程为x x a y b 22221-=（以下略解，是方法一中的第一类情形）方法三：（为了避免判断的困难，还可利用共渐近线的双曲线系方程来先设出双曲线方程的形式，再由某已知条件，待定相关系数）双曲线的渐近线方程为y x =±23即双曲线的渐近线方程为xy 22940-=由此可设双曲线系方程为x y 22940-=≠λλ()双曲线经过点，M()921-∴--==()()92914222λλ，解得 ∴-=所求双曲线方程为x y 22942即x y 221881-=注：以上三种解法各有所长，可因人而宜，当然，利用共渐近线的双曲线系的方程求解，避开了对双曲线方程类型的讨论与判断，简化解题过程，但方法二也是较为通行的，比较简便的方法之一。

（）由已知，椭圆的焦点在轴上，其半焦距为310x c = ∴=双曲线的焦点在轴上，且其半焦距也为x c 10又，，从而 e c a a b ==∴==52222 ∴-=所求双曲线的方程为x y 22821注：本例的三个题目皆为基本的求双曲线的方程的问题，由双曲线满足的几何条件，来求其方程，是另一类基本而重要的问题，应切实掌握。

例4. 斜率为的直线，被双曲线截得的线段长为，求该直线的方程。

2236422x y -= 分析：这是一道由直线与双曲线的位置关系来研究方程的问题，条件简明，已知弦长求直线方程，而直线的斜率已知，故可设直线的斜截式方程，按照直线与双曲线相交求弦长的基本方法，列出关于截距的方程，待定截距即可。

解：设所求直线l 方程为y ＝2x ＋by x b x x b x y x bx b =+⇒-+=-=⇒+++=⎧⎨⎪⎩⎪223262361012360222222()设与双曲线交于，，，，则l A x y B x y ()()1122 x x b x x b 12122653610+=-=+， ∴-=--⨯+=-()()x x b b b 122222654361066025从而()[()]()()y y x x x x b 122122122224466025-=-=-=⨯-∴=-+-=⨯-=||()()()AB x x y y b 12212225660254 解方程，得b =±2103∴=±所求直线方程为y x 22103例5. 双曲线的中心在原点，过其右焦点F （2，0），作斜率为35的直线与双曲线交l 于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为原点），求双曲线方程。

分析：由已知，易得所求的是双曲线的标准方程，且其焦点在x 轴上，因此可设出双曲线方程为x a y b22221-=，然后利用已知条件（）（）来列出，的方程组，待定，。

124212222222c a b c OP OQ k k a b a b OP OQ =⇒+==⊥⇒=-OQPlF(2,0)解：设双曲线方程为xa yb 22221-=另设：与双曲线相交于（，），（，）l y x P x y Q x y =-3521122() y x x a y b b a x a x a a b =--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒-+-+=352135125125022222222222()()() 则，x x a b a x x a a b b a1222212222221253512535+=--=-+-() 而y y x x x x x x 121212123523523524=--=-++()()[()] OP OQ k k y yx x OPOQ ⊥∴⋅=-=-，，111212即，把，的值代入，整理得x x y y x x y y 121212120+=85125356512535125022222222()()------+=a a b b a a b a化简，得332012222a b a b -+=() 又，c a b c =∴+==242222() 联立解得或（不合题意，舍去）()()1213622222a b a b ==⎧⎨⎪⎩⎪==-⎧⎨⎪⎩⎪ ∴-=所求双曲线方程为x y 2231【模拟试题】一. 选择题：1. 设双曲线x y 221691-=上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 到()-50，的距离是（ ） A. 7 B. 23 C. 5或25 D. 7或232. 与椭圆x y 2216251+=共焦点，且两准线之间的距离为103的双曲线方程为（ ）A. x y 22541-= B. y x 22531-=C. x y 22531-= D. y x 22541-=3. 对于方程x y 2241-=和x y 224-=λ（λ>0且λ≠1），所表示的双曲线有如下结论：（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点 （3）有相同的离心率（4）有相同的渐近线 （5）有相同的准线其中正确的是（ ） A. （1）（4）B. （2）（4）C. （3）（4）D. （4）（5）4. 双曲线x k y k 2231-=的一条准线方程为y =6，则实数k =（ ）A. -16B. -4C. 12D. 1445. 若P 是双曲线x a y ba b 2222100-=>>()，上的点，F F 12，是其焦点，且∠=F PF 12α，则∆F PF 12的面积为（ ） A. a tg22αB. b tg22αC. a ctg22αD. b ctg22α二. 填空题：6. P 是双曲线x y 2264361-=上的点，它到右焦点F 2的距离为8，则点P 到左焦点F 1的距离为________，到左准线的距离为________。