2018年高考数学总复习46简单的三角恒等变换演练提升同步测评文新人教B版!

专题4.2 三角恒等变真题再现1.【2017课标3，文4】已知4sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．79【答案】A【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2. 【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=A.14- B.14C.18- D.18【答案】D【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．3.【2017课标II ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为_______ .【解析】()f x ≤=【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤ 求最值.4.【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75【考点】两角和正切公式5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【答案】10【解析】【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6. 【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan13θ=，则cos2θ=（）（A）45-（B）15-（C）15（D）45【答案】D【解析】2222222211()cos sin1tan43cos21cos sin1tan51()3θθθθθθθ---====+++．7. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= .【答案】43-8.【2015高考广东，文16】已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 【解析】（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=【知识链接】1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-.3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. 4.辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5.有关公式的逆用、变形等()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±mααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±,，αααsin 22sin cos = 【方法规律技巧】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos ),sin 2sin(),cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.题型一 两角和与差的三角函数公式的应用典例1．【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷数学（文）】已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，（ ）【答案】B【解析】，则， ，所以()()()sin sin sin cos cos sin 4444ππππααββαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦B ．典例2.已知()340,0,cos ,tan 2253a ππβαβα<<-<<-=-=，则sin β=（ ）A ．725 B ．725- C ．2425 D ．2425- 【答案】D典例3.【湖南省2017届高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷（三）文科】计算__________．典例 4.【辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三第八次模拟考试数学（文）】sin15°+cos15°=__. 【答案】()sin15cos152sin 154522+=+=⨯【变式训练】1.若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．110C ．1或 110D ．1或10 【答案】C【解析】()2t a n t a n l g 10l gt a n 11l g l g 01t a n t a n 1l g 10l g a a a a a a αβαβαβ---=⇒==⇒+=-+，所以l g 0a =或lg 1a =-，即1a =或110,选C. 2.sin20cos10cos200cos80-=（ ）【答案】D选D. 3.已知锐角,αβ满足，则αβ+的值为（ ）【答案】B【知识链接】两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.【变式训练】1.，则sin α的值为（ ）【答案】A2．若tan tan 3αβ=，且3sin 5αβ=，则()cos αβ-的值为（ ）【答案】C【解析】由题意可知sin sin 3cos cos αβαβ⋅=⋅,所以()cos αβ-= 选C.3.已知tan tan αβ、是方程则αβ+的值是【答案】B 【解析】由题意得B.题型2 二倍角公式及半角公式的的运用典例1．【河北省保定市2017届高三二模文科数学试题】角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，则： .本题选择D选项.典例2．典例3．【广东省汕头市2017届高三第三次模拟考试数学（文）】已知θ为锐角，且．【知识清单】二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α. 变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 ,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【方法规律技巧】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【变式训练】1．【宁夏六盘山高级中学2017届高三第三次模拟考试数学（文）】若α是第四象限角，且，则tan2α=（ ）【答案】C2．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A.79 B. 19 C. 19- D. 79- 【答案】C【解析】2πππ1sin cos cos 22cos 1242429θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.题型3 三角恒等式的证明典例 1.求证：s i n 2αs i n 2β＋c o s 2αc o s 2β－12cos2αcos2β＝12.【证明】证法一：(复角→单角，从“角”入手)左边＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.典例2. 已知40πα<<，40πβ<<，且)2sin(sin 3βαβ+=，2tan 12tan42αα-=.证明：4πβα=+.【证明】 )2sin(sin 3βαβ+=，即)2sin()sin(3βααβα+=-+，∴αβααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(3+++=+++， ∴αβααβαsin )cos(4cos )sin(2+=+， ∴αβαtan 2)tan(=+，又 2tan 12tan42αα-=，∴212tan 1tan 2tan 2=-=ααα， ∴1tan 2)tan(==+αβα， 40πα<<，40πβ<<，∴4πβα=+.【方法规律技巧】三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法． 【变式训练】1.求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).2.已知20π<<x ，证明：)2sin 1lg()]4cos(2lg()2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +=-+-+π.【证明】左边)]4cos(2lg[)2sin 21cos sin lg(cos 2π-+-=⋅=x x x x x )4sin sin 24cos cos 2lg()cos lg(sin ππx x x x +++=)cos lg(sin 2x x += )2sin 1lg(x += =右边. 故原命题成立.题型4 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用典例 1. 12．【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学（文）】已知，将()f x 的图象向右平移了1个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g a x g a x -=+成立，则）【答案】B典例2. 【湖北省黄冈中学2017年高三5月第三次模拟考试文科数学】若函数则ω的取值范围是（ ）A. (]0,1 B. C. [)1,+∞ D. 【答案】B 【解析】()4f x =()21cos22sin x sin x x sin x ωωωω=++= , 是函数含原点的递增区间，又因为函数上递增，所，所以得不等式组，又0,0ω><， ω B .【方法规律技巧】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为)sin(ϕω+=xA y 的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质． 【变式训练】1．【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断性考试数学（文）】已知ω为正整数，若函数()sin cos f x x x ωω=+内单调递增，则函数()f x 最小正周期为（ ） C. π D. 2π 【答案】D2.（1，求()cos αβ+；（2，求β的值. 【答案】（1）-1；（2【知识交汇】1．【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟试卷（二）数学】若（）是偶函数,则有序实数对（）可以是( ) A. B. C. (1,1) D. (-1,1)【答案】D【解析】0ab ≠， ∵()f x 是偶函数，∴只要0a b +=即可，可以取1a =-， 1b =，故选D. 【交汇技巧】本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简，以及三角函数奇偶性的判断，熟练掌握三角函数的性质是关键；已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三：（1）奇偶性的定义； （2）数形结合；（3）根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。

4-5-21. (2017·青岛模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4【解析】 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4，故选C.【答案】 C2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( )A.725B.15C ．－15D ．－725【解析】 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.【答案】 D3．(2018·福州模拟)已知tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6【解析】 sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 【答案】 D4．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】 方法一 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.方法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A. 【答案】 A5．(2018·成都一诊)将函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0【解析】 将函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象．令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π2，所以g (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，故选D.【答案】 D6．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C7．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________．【解析】 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.【答案】 88．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________． 【解析】 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.【答案】 π39．化简：3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________． 【解析】 原式＝3·sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 【答案】 －4 310．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤3π4的最小值是________．【解析】 f (x )＝3sin 23x －⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 23x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，又π2≤x ≤3π4， ∴π2≤23x ＋π6≤23π， ∴f (x )min ＝2sin 23π－1＝3－1.【答案】 3－111．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．【解析】 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.12．(2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．。

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高考达标检测(十八）三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用一、选择题1．(2016·全国丙卷)若tan θ=－＼f(1，3）,则coｓ2θ＝( )A.－４5Ｂ.－错误!Ｃ．＼f(1,５）ﻩＤ.错误!解析：选 D ∵ｃoｓ２θ=＼f(ｃos2θ－sin2θ,ｃｏｓ2θ＋ｓin２θ) =＼f（1-tan2θ，１+tａn２θ),又∵tan θ=-＼f(１,3)，∴ｃoｓ 2θ＝错误!＝错误!。

2.已知ｔan错误!＝错误!,且－错误!<α＜０,则错误!等于（）A.-错误!Ｂ.－错误!C．-错误! D.错误!解析：选A 由tａｎ错误!=错误!=错误!，得tan α=-错误!.又－π2<α<0，所以siｎα＝－错误!。

故错误!=错误!＝22sin α=－错误!。

3.(２０１７·温州测试）已知ｓｉn x＋错误!cｏｓｘ=错误!,则cos错误!＝( ）A.－错误!ﻩ B．错误!Ｃ.-错误!ﻩD．错误!解析:选B ∵siｎx＋错误!cos ｘ＝2错误!=２错误!=2coｓ错误!=错误!，∴ｃos错误!＝错误!。

4．(２017·东北三省模拟)已知sｉn错误!=coｓ错误!,则cｏs 2α＝( )A．1 B．-１C。

tan 22 tan 1 tan降次（幕）公式12sin cos sin 2 ;sin2 半角公式 1 cos 2 2 ------------ ;cos1 cos 2---1 cos sin ;cos一 2. 221 cos------ ;第三节三角包等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式 .能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦， 余弦，正切公式，导出二倍角的正 弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.能利用上述公式进行简单的包等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式, 但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具 分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，包等变换（化同角同函） . 知识点精讲常用三角包等变形公式 和角公式sin( ) sin cos cos sin差角公式cos( ) cos cos sin sin倍角公式 sin 2 2sin cos2. 222cos2 cos sin 2cos 1 1 2sincos(cos cos sin sin tan(tan tan 1 tan tansin()sin cos cos sintan(tan tan 1 tan tan1 cos . sin aJa 2 b 2 sin( ),tan b(ab 0),角 的终边过点(a,b),特殊a地,若 a sin bcos . a 2 b 2 或.a 2 b 2 , 则 tan —. a 常用的几个公式 sin cos 、. 2 sin( sin .32 cos 2sin( 3' \ 3 sin cos 2sin(—); 6题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式， 通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路 . 例4.33 证明⑴ C : cos( ) cos cos sin sin ;⑵用C 证明 S : sin( ) sin cos cos sin解析(1)证法一：如图4 — 32 (a)所示，设角 P(cos .sin ), P 2(cos(),sin(__ 2 __________2________ 2____ ________PP 2OP 1 OP 22OP 1 OP 2cos()r/、■12 r.■ ,、r2 八 八 ,、[cos cos( )] [sin sin( )] 2 2cos( )2 2(cos cos sin sin ) 2 2cos( ) C : cos( ) cos cos sin sin . 证法二：利用两点间的距离公式.如图 4 —32 (b)所示 A(1,0), P 1(cos ,sin ), P 2(cos(),sin( ),x sin tan- ------- 2 1 cos辅助角公式 a sin bcos⑶用(1)(2)证明T ：tan(tan tan 1 tan tan的终边交单位圆于)),,由余弦定理得P 3(cos( ),sin()),由 OAP 2OP 3用得,AP 2.故sin cos cos sincos cos cos cos T:tan( )tan tan cos cos sin sin1 tan tancos cos coscos发式1证明：⑴C :cos( )cos cos sin sin ⑵S:sin()sin coscos sin(3)T : tan( tan tan题型66化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等 .(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先 将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件， 或将所求函数式变形为 可使用条件的形式.. ,(1 cos( ))2 (0 sin( ))2 [1 cos( )]2 sin 2() cos 2化简得 cos( ) cos cos sin.[cos()cos ]2[sin( ) 12 sin ],即2 cos2cos cos sin 2二一 2sin 2sin ) 2] cos 1( 2)]cos cos( —) sin sin( cos sin sin cos 7)S : sin((3) tan(\ sin( sin cos cos sin )cos()coscossin sinsinsin(2)sin( )cos[( )sin cos cos sin(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将 待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是 解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互 关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数D.竺25解析解法一：化简所求式所以2sin xcosx 2.故选A .25解法二：化简所求式2sin 2x 2sin x 八. .八---- 2sin xcosx sin 2x .— . _ 一 2. . 7 sin[2(一 x) —] cos2(一 x) 1 2cos (一 x)—.故选A.4 2 4 4 25评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了 化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构 造法较为简单.1 、 3 … 变式 1 右 cos( ) 一 ,cos( )一,则 tan tan . 5 51 tan —是第三象限角，则 1 2(51 tan —1B. C.2 D. 22值，再确定“所求角” 一、化同角同函 的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角 例4.34 已知cos(— 4x) 9则5 2sin 2x 2sin x 1 tan x A.— 25B.” 252sin 2x 2sin x2sin xcosx 22sin x1 tan x( sin x 1 --------cosx 2sin x(cosx、 cos xsin x) ---------------- 2sin xcosx.cosx sin x由 cos(— x)43得立cosx 匹sinx 5 2 23,即 cos x5sinx 32,两边平方得5 ___ 22cos x sin x 1852sin xcosx ——,即 1252sin xcosx 18 251 tan x变式2 若cos2、建立已知角与未知角的联系(通过凑配角建立)将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解分析 建立未知角与已知角的联系， ()故选C .评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系,常利用以下技巧:( )； ( )； ( )( )等.解题时，要注意根据已 知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号3变式 2 右 (一，一),(0, —),cos( 4 44sin( ) . 、辅助角公式变换变式1 已知sinA.5-12J 5一,sin( 5B.. 3)叁0,,(0,-)则().10 2C.-D.一 46 变式31(2012江西理4)若tan — 1 B.— 4 tan1 C.- 3 4 ,贝tj sin2 (). 1 D.—2 题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系, 并根据这种关系来选择公 工】.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角, 1.和、差角变换降幕，诱导等如可变为( );2可变为()()；2 可变为( 例4.35 若0A. 1B. 21或工25,cos C. 3一,sin(5 24253-,则cos 的值为( 5 D.马25解析解法一：cos cos[()]cos()cos sin( )sin .因为 cos(2,3所以，则cos(4) -,(0,-),sin八. 4 0, sin一 5,5) 3 (5) 524 25解法二：因为 (-,),所示 cos ( 1,0). 23 3 )一,sin (一45 4)也，则 132.5B. -----5分析将已知式化简,找到与未知式的联系. (4)一、，(9] sin( 丁 5 .故选 C .B.a b分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解 .解析解法一：；因为 sin cos ■所以（sin cos ）23… 2 2得2sin cos -,即sin 2'.又因为 为弟一象限角且解析由题意，cos cos — sin sin — sin 6 64.35..3 ——cos23 — sin 2、.3sin(-)4」3-- ,4寸sin( 5 变式1设sin14o cos14o ,bsin16o cos16o ,c 亚，则a,b,c 的大小关系为2A.a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c变式2设sin15o cos15o ,b sin17o cos17o ,则下列各式中正确的是（Cb2,2a b 2Db a2,2a b 2降幕（次）变换例 4.37 （2012大纲全国理7) 已知为第二象限角, sin coscos2 ().A. 3B.9C .- 9D- 3例4.36 已知cos(4 3 sin5 ,则 sin(）的值为（C. D.- 5所以sin （7、 - r—)sin[A. asin cos.3T °.E 3则(2k-,2k -)(k Z). (4k ,4k33")(k Z).故2为第三象限角,cos 2 (3)2 正.故选A.3解法二：由为第二象限角，得cos 0,sin 0 cos sin 0,且(cos sin )2 1 2sin cos cos ,3 32(sin cos ) 2sin cos 2sin cos ,得(cos sin )2所以cos sincos2 2cos sin2 (cos sin )(cos sin变式1(J 3,59.故选A.3若sin( 一6A. 79 B.变式2 (2012江苏变式3已知sin(2 变式4若sin1 (2)-则cos(—3 3C.3).D.7911)设为锐角，若cos(一)64 …一，则sin(2577)的值省、3 .)-,sin57 ),tan(A 24 A.—7 B.72412 上且13)2Ca7 贝(Jtan(变式5已知sin cos (0.9, 4.诱导变换例4.38 若 f (sin x) 3 f (cosx)A.3 cos2xB.3 sin 2x(—,0),求sin 值. 22)().D.— 24cos2则^sin(-)( ).C.3 cos2xD.3 sin2x分析 化同函f (cosX) f(sin(L ))以便利用已知条件. 解析解法一：f (cos x) f[sin(x —)] 3 cos2(x —) 3 cos(2x ) 3 cos2x. 故选C .解法二：f(sinx) 3 cos2x 3 (1 2sin 2 x) 2sin 2 x 2 贝^ f (x) 2x 2 2, x [ 1,1]故 f(cosx) 2cos 2x 2 2cos 2x 1 3 cos2x 3.故选C .4变式1 是第二象限角,tan( 2 ),，则tan .cos25 一 ---------变式 2 右 sin (一 ) 一, (0,1)，则 / 、4 13 2 cos( )4最有效训练题19 (限时45分钟)A, B 是图像与x 轴的交点，则tan APB ().、一- -84 A.10 B .8 C.-D.-7 76 .函数y sin x 3的最大值是().cosx 4 八 1 「12 2.6 八4 「12 2.6 A. -B. ---------------C.- D. -------------- 2153 151 .已知函数 f (x) sin x 3cos x,设 a f (—),b f (—),cf (-)，则a,b,c 的大小 3关系为(A. a<b<c 2 .若sin( 一 3A 」 4 B. c<a<b1一,则 cos (一 4 3 B. 14 C.C. b<a<cD. b<c<a3 .若 tan 则 cos(2 ). ). D.7 84 A.- 54 .已知tan(A.—44 B.一5 、1 )-,tan 2 B.24 1 C.- 2(0, ),D.).5.函数 y sin(x )(C.UD.0)的部分图像如图 4- 33所示，设P 是图像的最高点,7 .已知 tan(— ) 3 .贝［J sin 2 2cos 3 4 54… … 1 sin x sin y 一8 .已知x, y 满足 6,贝ij cos(x1cosx cosy 一51 tan tan9 J3tan10o 1 .(4cos 210o 2)sin10o4 13 .10.已知 cos 一,cos( ) 一，且 0 7 1411.已知函数 f(x) 2cos2 - V3sin x.5(1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若 是第二象限角，且f(-)］，求—— ---------------- 的值. 631 cos2 sin 23 12.已知二点 A(3,0), B(0,3), C(cos ,sin ),(-,一).2 2 uuir uuir(1)若AC BC ,求角 ；c • 2. c2sin sin 21 ,求 --------------- 的值.y)贝(J tan 2.lur uuir(2)若 AC BC1 tan。