广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷(理科)

2015-2016学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|log2x＜3}，N＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M∩N＝（）A．（0，8）B．{3，5，7}C．{0，1，3，5，7}D．{1，3，5，7} 2．（5分）已知复数z1＝1+i，z2＝3﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足不等式组，则3x+2y的最大值是（）A．6B．7C．9D．104．（5分）已知||＝||，且|+|＝|﹣|，则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．（5分）当时，函数f（x）＝sin x+cos x的（）A．最大值是1，最小值是﹣1B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2D．最大值是2，最小值是﹣16．（5分）函数y＝cos2x的单调增区间是（）A．（2kπ﹣π，2kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（kπ﹣π，kπ），k∈Z D．（kπ﹣，kπ），k∈Z7．（5分）已知函数f（x）＝e x（x2+ax+1）在点（0，f（0））的切线与直线x﹣2y+6＝0垂直，则a＝（）A．﹣3B．﹣2C．2D．38．（5分）已知y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，则φ＝（）A．B．C．D．09．（5分）执行如图的程序框图，若输入n＝2015，则输出T的值为（）A．B．C．3D．10．（5分）正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+4++B．3π+6+C．2π+4+D．2π+611．（5分）若a＞0，且a≠1，设函数f（x）＝，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，3）C．（0，1）D．[3，+∞）12．（5分）偶函数f（x）的图象关于x＝1对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f （x）的图象与函数y＝lg|x|的图象的交点个数为（）A．14B．16C．18D．20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知数列{b n}的前n项和为S n，且2S n＝3b n﹣1，则b n＝．14．（5分）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，则该五位数是奇数的概率为．15．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（c，0），（0，b）两点，若直线l与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．16．（5分）（x+3y）n展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，则展开式中的中间项是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝2，S10＝120．（1）求a n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．18．（12分）某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数的和，求ξ的分布列．（结果用最简分数）19．（12分）已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE＝EB＝BC＝2，点F 为CE上一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求二面角C﹣DE﹣A的余弦值．20．（12分）已知动圆过定点F（0，），且与定直线l：y＝﹣相切．（1）求动圆圆心的轨迹曲线C的方程；（2）若点A（x0，y0）是直线x﹣y﹣1＝0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N．求证：直线MN恒过定点，并求△AMN面积S的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2lnx（a∈R）．（1）若a＝0，证明：f（x）＜0；（2）讨论函数f（x）零点的个数．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．（1）证明：OM•OP＝OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM＝90°．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知射线C1：，动圆C2：（x0∈R）．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两点，求x0的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a＝0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省珠海市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由M中不等式变形得：log2x＜3＝log28，即0＜x＜8，∴M＝{x|0＜x＜8}，∵N＝{x|x＝2n+1，n∈N}，∴M∩N＝{1，3，5，7}，故选：D．2．【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝3﹣2i，∴＝＝＝﹣i．∴在复平面内对应的点为（，﹣），∴在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z＝3x+2y，化为，由图可知，当直线过点B（3，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×3＝9．故选：C．4．【解答】解：对两边平方得：；∴；∵；∴＝；∴；∴；∴与的夹角为60°．故选：C．5．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选：D．6．【解答】解：∵y＝cos2x＝cos2x+，∴由2kπ﹣π＜2x＜2kπ，k∈Z，可解得单调增区间是：（kπ﹣，kπ），k∈Z．故选：D．7．【解答】解：函数f（x）＝e x（x2+ax+1）的导数为f′（x）＝e x（x2+（a+2）x+1+a），即有在点（0，f（0））的切线斜率为1+a，由切线与直线x﹣2y+6＝0垂直，可得1+a＝﹣2，解得a＝﹣3．故选：A．8．【解答】解：y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π））的部分图象如图所示，可得T＝8，所以则＝．函数的图象经过（1，1）．可得1＝cos（+φ），结合函数的图象，可知φ＝．故选：B．9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝2015S＝3不满足条件n＜1，T＝﹣，S＝﹣，n＝2014不满足条件n＜1，T＝，S＝，n＝2013不满足条件n＜1，T＝3，S＝3，n＝2012不满足条件n＜1，T＝﹣，S＝﹣，n＝2011…观察规律可得T的取值以3为周期，可得不满足条件n＜1，T＝﹣，S＝﹣，n＝1不满足条件n＜1，T＝，S＝，n＝0满足条件n＜1，退出循环，输出T的值为．故选：B．10．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥与半圆柱的组合体，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面有两个全等的等腰直角三角形，一个边长为2的等边三角形，一个为底面边长是2的等腰三角形，半圆柱的底面直径为2，高为2，如图所示；则该几何体的表面积为S＝（2×π•12+π•2•2）+（2ו2•2+•22•sin60°+•2•）＝3π+4++．故选：A．11．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）＝，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a|x|≤3，不等式恒成立可得0＜a＜1．综上可得0＜a＜1．故选：C．12．【解答】解：由题意知，函数f（x）是偶函数，且周期为2，x＞0时，作函数f（x）的图象与函数y＝lgx的图象如下：，函数f（x）与y＝lgx的交点个数为9个，由f（x）是偶函数，得x＜0时也有9个交点，故函数f（x）的图象与函数y＝ln|x|的图象交点个数为18；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵2S n＝3b n﹣1，∴当n＝1时，2b1＝3b1﹣1，解得b1＝1；当n≥2时，2S n﹣1＝3b n﹣1﹣1，2b n＝3b n﹣3b n﹣1，b n＝3b n﹣1．∴数列{b n}是等比数列，首项为1，公比为3．∴b n＝3n﹣1．故答案为：3n﹣1．14．【解答】解：由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n＝5×＝600，该五位数是奇数包含的基本事件个数m＝3×＝288，∴该五位数是奇数的概率p＝＝．故答案为：．15．【解答】解：根据题意知，直线l与双曲线的渐近线y＝垂直；直线l的斜率为；∴；∴，可设，则：；∴e2﹣e﹣1＝0；解得，或（舍去）．故答案为：．16．【解答】解：∵（x+3y）n的展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多240，即4n﹣2n＝240，解得n＝4∴（x+3y）4展开式的中间项是＝54x2y2，故答案为：54x2y2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）依题意，S10＝10a1+×2＝120，解得：a1＝3，∴数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）可知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）．18．【解答】解：（1）由题意得：…2分∴合唱团学生参加活动的人均次数为2.2…3分（2）由题意得ξ的所有可能取值为2，3，4，5，6…5分，，，，，…10分∴ξ的分布列为：…12分．19．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，连结GF，∵ABCD是矩形．∴G为AC的中点…1分．由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，由EB＝BC知：点F为CE中点…2分∴FG为△ACE的中位线，∴FG∥AE…3分，∵AE⊄平面BFD；FG⊂平面BFD；∴AE∥平面BFD；…4分．（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE；由BC⊥平面ABE得：BC⊥AE，BC⊥BE；∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE…6分．在Rt△BCE中，同理可得：，；…8分．∵AD＝BC＝AE＝2．∴取DE中点H，连结AH，CH，则AH⊥DE，CH⊥DE且，…10分∴∠CHA即为二面角C﹣DE﹣A的平面角；在△CHA中，；∴二面角C﹣DE﹣A的余弦值为．…12分．20．【解答】（1）解：∵动圆过定点F（0，），且与定直线l：y＝﹣相切．∴动圆圆心的轨迹是以点F为焦点、直线l为准线的抛物线：x2＝y．∴曲线C的方程为x2＝y．（2）证明：A（x0，x0﹣1）．由抛物线y＝x2，可得y′＝2x．设M（x1，y1），N（x2，y2），，．对于切线AM可得：，化为﹣2x1x0+（x0﹣1）＝0．同理对于切线AN可得：+（x0﹣1）＝0．∵x1≠x2，∴x1，x2是一元二次方程t2﹣2x0t+（x0﹣1）＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝x0﹣1．由直线MN的方程可得：＝（x﹣x1），化为y＝（x1+x2）x﹣x1x2，∴2x0x﹣（x0﹣1）﹣y＝0，化为x0（2x﹣1）+1﹣y＝0，令，解得x＝，y＝1．∴直线MN恒过定点．由直线MN的方程：2x0x﹣y+1﹣x0＝0，∴点A到直线MN的距离d＝＝．|MN|＝＝．△AMN面积S＝2＝≥2×＝，当且仅当x0＝，即A时，取等号．∴直线MN恒过定点，△AMN面积S的最小值为．21．【解答】解：（1）a＝0时：f（x）＝﹣2x+2lnx，（x＞0），f′（x）＝﹣2+＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）最大值＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2＜0，∴a＝0时，f（x）＜0；（2）f′（x）＝+ax﹣（a+2）＝，（x＞0），①a≤0时，ax﹣2＜0令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；若a＜﹣4，f（x）max＝f（1）＝﹣﹣2＞0，函数f（x）有2个零点，若a＝﹣4，f（x）max＝f（1）＝﹣﹣2，＝0，函数f（x）有1个零点，若﹣4＜a≤0，f（x）max＝f（1）＝﹣﹣2＜0，函数f（x）没有零点，②0＜a＜2时，＞1，令f′（x）＞0，解得：x＞，或0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜，∴f（x）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减；∴f（x）极大值＝f（1）＝﹣a﹣2＜0，∴f（x）有1个零点；③a≥2时，＜1，令f′（x）＞0，解得：x＞1，或0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴f（x）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴f（x）极大值＝f（）＝﹣+2ln＜0，∴f（x）有1个零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．【解答】证明：（1）因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知OA2＝OM•OP，故OM•OP＝OA2得证．（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：OB2＝ON•OK，又OB＝OA，所以OM•OP＝ON•OK，即，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP～△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°．即有：∠OKM＝90°．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（1）射线C1：，可得直角坐标方程：，化为y＝x （x≥0）．动圆C2：（x0∈R）化为﹣4＝0，配方为+y2＝4，可得圆心C2（x0，0），半径r＝2．（2）当动圆C2与射线C1相切时，＝，∴x0＝＝．当圆经过原点且原点为一个交点时，x0＝2．∴当时，射线C1与动圆C2相交于M与N两点．∴x0的取值范围是．选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（1）当a＝0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣1|＝的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．。

广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则∁N M=（）A．{2，3，4} B．{0，2，3，4，5} C．{0，5} D．{3，5}2．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9B．8C．10 D．73．（5分）在等比数列{a n}中，有a1a5=4，则a3的值为（）A．±2 B．﹣2 C．2D．44．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2，i为虚数单位，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．6．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．2B．4C．D．7．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（5分）对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）9．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．13．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是．(二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）的普通方程为．【几何证明选讲选做题】15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（﹣θ）．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲82 84 79 95乙95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？18．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．19．（14分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：当n∈N+都有T n＞成立．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16（1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+ax，其中a＞1（1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，则∁N M=（）A．{2，3，4} B．{0，2，3，4，5} C．{0，5} D．{3，5}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：根据集合补集的定义即可得到结论．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，4，5}，∴∁N M={0，5}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）A．9B．8C．10 D．7考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．解答：解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为72÷8=9，故选：A点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．3．（5分）在等比数列{a n}中，有a1a5=4，则a3的值为（）A．±2 B．﹣2 C．2D．4考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质得=4，由此能求出a3=±2．解答：解：∵在等比数列{a n}中，有a1a5=4，∴=4，解得a3=±2．故选：A．点评：本题考查等比数列的等3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=2，i为虚数单位，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由条件解得z=，把的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．解答：解：∵复数z满足（1﹣i）z=2，∴，故选A．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．5．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，对选项中的函数进行认真分析，选出符合条件的答案来．解答：解：对于选项C定义域为（0，+∞），选项D定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故CD不符合，对于A，y=e﹣x为减函数，故A不符合，函数y=x的k=1＞0，定义域是R且为增函数，故B符合；故选：B．点评：本题考查了基本初等函数的定义域和单调性问题，解题时应对选项中的函数进行分析，从而选出正确的答案，是基础题．6．（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．2B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，列出体积表达式，可求几何体的体积．解答：解：几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，PA=1，AB=2，AC=2，V=×（×2×2）×1=，故选：D．点评：本小题考查由三视图求体积，考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．是中档题．7．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：利用参数分离法即可得到结论．解答：解：若对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x﹣a≤0恒成立，则等价为对任意的x∈[﹣，1]，不等式x2+2x≤a恒成立，设f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，∵x∈[﹣，1]，∴当x=1时，函数取得最大值f（1）=1+2=3，则a≥3，故选：D．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键．9．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．解答：解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．10．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30°，则x0的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]考点：圆方程的综合应用．专题：直线与圆．分析：易知M点在直线y=1上，若设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以只需∠OMT≥30°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围．解答：解：易知M（x0，1）在直线y=1上，设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为T，显然假设存在点N，使得∠OMN=30°，则必有∠OMN≤∠OMT，所以要是圆上存在点N，使得∠OMN=30°，只需∠OMT≥30°，因为T（0，1），所以只需在Rt△OMT中，tan∠OMT==≥tan30°=，解得，当x 0=0时，显然满足题意，故x0∈[]．故答案选A点评：此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚M点所在的位置，能够找到∠OMN与∠OMT的大小关系，从而构造出关于x0的不等式．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为11．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，然后用三角形的面积差得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域的面积=S△OMN﹣S△AMB﹣S△CDN=．故答案为：11．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosC的值代入即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2=3，则c=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线x﹣y+1=0，则点P的坐标是（1，0）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．解答：解：∵切线与直线x﹣y+1=0平行，∴斜率为1，∵y=xlnx，y'=1×lnx+x•=1+lnx∴y'（x0）=1∴1+lnx0=1，∴x0=1，∴切点为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．(二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）的普通方程为3x﹣y﹣4=0．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，消去参数方程中的参数t，然后，直接化成相对应的普通方程即可．解答：解：∵曲线C的参数方程为（t为参数），得t=x﹣1代人y=﹣1+3t，得y=﹣1+3（x﹣1），化简，得3x﹣y﹣4=0，故答案为：3x﹣y﹣4=0．点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化，化简的关键是消去参数，注意参数的取值范围问题．【几何证明选讲选做题】15．如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于1.5．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；立体几何．分析：设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．解答：解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=（1）求A的值；（2）若角θ的终边与单位圆的交于点P（，），求f（﹣θ）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式结合且f（）=，求得A的值．（2）由题意可知，，，利用三角恒等变换化简f（﹣θ），可得结果．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），，∴．（2）由题意可知，，且由（1）得：，∴==．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．17．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下：甲82 84 79 95乙95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件，基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件数m=8，由此能求出甲的成绩比乙高的概率．（2）①利用平均数公式和方差公式能求出甲、乙两人的成绩的平均数与方差．②由=，s甲2＜s乙2，得甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解答：解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：事件A包含的基本事件数m=8，所以P（A）=，所以甲的成绩比乙高的概率为．（2）①=×（82+84+79+95）=85，=×（95+75+80+90）=85，S甲2=×[（79﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（95﹣85）2]=36.5，S乙2==62.5，②∵=，s 甲2＜s乙2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．点评：本题考查概率的求法，考查平均数、方差的求法，考查选派哪位学生参加数学竞赛合适的判断，是基础题．18．（14分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：作图题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由矩形由找到垂直，证明AA1⊥平面ABC；从而证明BC⊥平面ACC1A1．（2）先说明存在，然后作图证明；连接A1C，AC1，设A1C∩AC1=D，取线段AB的中点M，连接A1M，MC．则平面A1CM为为所求的平面α．解答：解：（1）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，∴AA1⊥平面ABC；∵直线BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，∴BC⊥平面ACC1A1．（2）存在，证明如下：连接A1C，AC1，设A1C∩AC1=D，取线段AB的中点M，连接A1M，MC．则平面A1CM为为所求的平面α．由作图可知M，D分别为AB、AC1的中点，∴，又∵MD⊂α，BC1⊄α∴BC1∥α．点评：本题考查了线面垂直的判定定理与性质，同时考查了作图方法，属于中档题．19．（14分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（1）求a n及S n；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：当n∈N+都有T n＞成立．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接利用等差数列通项公式和前n项和公式得答案；（2）把S n取倒数，求和后放大，再利用裂项相消法求和，则结论得到证明．解答：解：（1）∵{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，故；（2）由（1）得，==．点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16（1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，根据△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，即可求椭圆E的方程．解答：解：（1）由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4，得：|AF1|=3，|F1B|=1…1分因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8…3分故|AF2|=2a﹣|AF1|=8﹣3=5…4分（2）由（1）可设椭圆方程为，F1（﹣c，0），其中设直线AB的方程为y=x+c，即x=y﹣c，…5分代入椭圆方程得：b2（y﹣c）2+16y2=16b2…6分整理得：（b2+16）y2﹣2b2cy﹣b4=0…8分△=4b4c2+4b4（b2+16）=128b4y1=，y2=…10分由|AF1|=3|BF1|知y1=﹣3y2，得…12分又由于解得，b2=8所以椭圆的方程为…14分点评：本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣（1+a）x2+ax，其中a＞1（1）求f（x）在的单调区间；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）在的单调区间；（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0根据a的不同取值范围得到原函数在区间[1，3]上的单调性，利用单调性当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．解答：解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=x2﹣（a+1）x+a…1分令f'（x）=0，得x1=1，x2=a令f'（x）＞0，得x＞a或x＜1…2分令f'（x）＜0，得1＜x＜a…3分故（﹣∞，1）和（a，+∞）为f（x）单调递增区间，（1，a）为f（x）单调递减区间．…5分（2）因为x∈[1，3]，所以（ⅰ）当a≥3时，由（1）知，f（x）在[1，3]上单调递减，…7分所以f（x）在x=3时取得最小值，…8分最小值为：…9分（ⅱ）当1＜a＜3时，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，3]上单调递增，…11分所以f（x）在x=a处取得最小值，最小值为：…12分又，…13分所以当a＞3时，f（x）在x=3处取得最小值；当1＜a＜3时，f（x）在x=a处取得最小值．…14分点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，通过正确的分类，利用导函数的符号判处函数在区间[1，3]内的单调情况是解决该题的关键，是难题．。

2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞04．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣429．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．2015-2016学年广东省珠海市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z满足，则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：复数z满足，则z+3i=2z+2i，∴z=i，则z的虚部为1．故选：C．2．（5分）=（）A．﹣1 B．C．1 D．【解答】解：==tan（60°﹣15°）=tan45°=1，故选：C．3．（5分）设命题p：若2x＞3x，则x＜0，其逆否命题为（）A．若x≥0，则2x≤3x B．若x＞0，则2x＜3xC．若2x＞3x，则x≥0 D．若2x≤3x，则x＞0【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≥0，则2x≤3x，故选：A．4．（5分）现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，恰好甲乙丙各一件的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：现有1000件产品，甲产品有10件，乙产品有20件，丙产品有970件，现随机不放回抽取3件产品，基本事件总数n=，恰好甲乙丙各一件包含的基本事件个数m=，∴恰好甲乙丙各一件的概率p=．故选：D．5．（5分）如图是函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一段图象，则函数f（x）图象上的最高点坐标为（）A．（，2），k∈Z B．（kπ，2），k∈Z C．（2kπ﹣，2），k∈Z D．（kπ﹣，2），k∈Z【解答】解：由图象知A=2，函数的周期T=2×（）=2×=π，即T==π，即ω=2，则函数f（x）=2cos（2x+φ），函数关于x==对称，即f（）=2cos（2×+φ）=﹣2，即cos（+φ）=﹣1，则+φ=π+2kπ，即φ=+2kπ，则f（x）=2cos（2x++2kπ）=2cos（2x+），由f（x）=2cos（2x+）=2，得cos（2x+）=1，即2x+=2kπ，则x=kπ﹣，k∈Z，即函数f（x）图象上的最高点坐标为（kπ﹣，2），k∈Z，故选：D．6．（5分）已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为（）A．B．C．D．【解答】解：棱台的体积：=．故选：A．7．（5分）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，，则=（）A． B．C． D．【解答】解：如图所示，取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥FE，且A1D1=FE，∴四边形A1D1EF是平行四边形，∴A1F∥D1E，且A1F=D1E，∴=；又=++=﹣++，∴=+﹣．故选：B．8．（5分）（x2+3y﹣y2）7展开式中，x12y2项系数为（）A．7 B．﹣7 C．42 D．﹣42【解答】解：（x2+3y﹣y2）7的展开表示7个因式（x2+3y﹣y2）的乘积，取6个因式中的x2，另一个因式中﹣y2，∴x12y2项系数为﹣=﹣7．故选：B．9．（5分）执行如图的程序框图，若输入k=100，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算P=1+2+22+…+2n﹣1的值，当p＞100时，即P=1+2+22+23+…+2n﹣1==2n﹣1＞100，解得n≥7，跳出循环；输出n的值为7．故选：B．10．（5分）点P（x0，y0）为双曲线C：=1上一点，B1、B2为C的虚轴顶点，＜8，则x0的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得9x02﹣4y02=36，可得y02=x02﹣9，B1（0，3），B2（0，﹣3），由＜8，可得（﹣x0，3﹣y0）•（﹣x0，﹣3﹣y0）＜8，即x02+y02﹣9＜8，可得x02﹣26＜0，解得﹣2＜x0＜2，由x0≥2或x0≤﹣2，可得﹣2＜x0≤﹣2或2≤x0＜2．故选：C．11．（5分）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C．12．（5分）函数f（x）=﹣（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x0使f（x0）＜0成立，则a的范围是（）A．（0，1） B．（0，1]C．（0，2+2ln2）D．（，+ln2）【解答】解：设g（x）=﹣（a+1）x+1，h（x）=﹣lnx，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在曲线y=h（x）=﹣lnx的下方，画出函数的图象，如图示：，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=1，f（x0）＜0，而h（1）=﹣ln1=0，g（1）=﹣a＜0，解得：a＞，h（2）=﹣ln2，g（2）=2﹣2a﹣1＞﹣ln2，解得：a＜+ln2，故a∈（，+ln2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，则a=1．【解答】解：∵y=|x+1|关于x=﹣1对称，f（x）=|x+1|+|ax﹣1|是偶函数，∴y=|ax﹣1|关于x=1对称，即当x=1时，a﹣1=0，则a=1，此时f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x），满足f（x）为偶函数，故答案为：1．14．（5分）圆C的圆心C在x轴上，圆C经过抛物线D：y2=16x的焦点且与D 相切，则C的半径是2或16．【解答】解：抛物线D：y2=16x的焦点为（4，0），设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2，由题意可得（4﹣a）2=r2，①联立圆的方程和抛物线的方程，消去y可得，x2+（16﹣2a）x+a2﹣r2=0，由△=0，即为（16﹣2a）2﹣4（a2﹣r2）=0，②由①②可得a2﹣24a+80=0，解得a=20（4舍去），即有r=16，又a=2，可得圆的方程为（x﹣2）2+y2=4，与抛物线相切，此时r=2．故答案为：2或16．15．（5分）变量x，y满足，则（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．（x﹣3）2+（y﹣3）2的几何意义为可行域内的动点与定点（3，3）距离的平方．∵|PA|=，而P到x轴上的点（3，0）的距离为3，点P（3，3）到直线4x+y﹣12=0的距离为．∴（x﹣3）2+（y﹣3）2的范围是[]．故答案为：[]．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，则线段AC长度的取值范围是．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+22﹣4ABcos60°=（AB﹣1）2+3，∴AC≥．当AB=1时取等号，满足条件．∵∠BCD=45°，∴∠ACB＜45°，又∠B=60°，∴∠BAC＞180°﹣45°﹣60°=75°，∴AC＜BC=2．综上可得：AC∈，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n2+3a n=6S n+4（1）求{a n}的通项公式（2）设b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由…①，可得…②，由②﹣①得，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣3=0，即a n+1﹣a n=3，又，即，∵a n＞0，∴a1=4，∴{a n}是4为首项，3为公差的等差数列，∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1；（2），故，，两式相减可得﹣T n=8+3（4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1，=2+3（2+4+8+…+2n）﹣（3n+1）•2n+1==﹣（3n﹣2）•2n+1﹣4，∴．18．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．附：临界值表随机量变．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下：…（2分）K2==4.76∵4.762＞3.841，p（k≥3.841）=0.05∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．…（4分）（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率．由题意知ξ的取值可能有0，1，2，3，且ξ～B（3，），…（5分），…（6分），…（7分），…（8分），…（9分）∴ξ的分布列为：从而ξ的分布列为…（10分），…（11分）…（12分）19．（12分）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，（1）求证：AB⊥BH；（2）求二面角C﹣OH﹣F的正弦值．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：连接BF，∵HF⊥面ABCD，∴CD⊥FH，∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，F分别是边CD中点，∴△BCD是等边三角形，故CD⊥BF，∴CD⊥平面BFH，∴CD⊥BH，∴菱形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥BH…（4分）（2）解：在平面ABCD中，过C作CM⊥EF的延长线于M，在△COH中，过C作CN⊥OH于N，连接MN∵CM⊥FH，∴CM⊥平面EFHG，∴OH⊥CM，又CN⊥OH，∴OH⊥平面CMN，∴MN⊥OH，∴∠CNM就是二面角C﹣OH﹣F的平面角…（8分）∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，EFHG是正方形，边长为2∴，∠COM=30°，∴CO=，HO=HC=，∴，，∴，∴二面角C﹣OH﹣F的正弦值为…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△OPQ的面积为，证明：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．【解答】解：由题意得：焦点在x轴上，c=1，a2=b2+c2，即a2=b2+1，椭圆方程变为：，将M（1，），代入椭圆方程，整理得：，解得b2=3，a2=4∴椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=﹣y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+=1，△OPQ的面积为，|x1||y1|=，∴|x1|=，|y1|=，x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，将其代入椭圆方程整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，△=（8kb）2﹣4（3+4k2）•（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，∴丨PQ丨=•=4••，点O到直线l的距离为d=，则△OPQ的面积S=•d•丨PQ丨=••4••=2•，即2•=，整理得：3+4k2=b2，满足△＞0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2=4，y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，综上可知：x12+x22=4，y12+y22=3均为定值；（3）4丨OM丨2+丨PQ丨2=（x1+x2）2+（y1+y2）2+（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，=2[（x12+x22）+（y12+y22）]=14，所以2丨OM丨•丨PQ丨≤=7，即丨OM丨•丨PQ丨≤，当且仅当21OM丨=丨PQ丨=时等号成立，因此丨OM丨•丨PQ丨的最小值为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，求证：x1+x2＞2a．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为：（0，+∞）…（1分），…（3分）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（4分）当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（a，+∞）；…（5分）当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（0，a）；…（6分）当x=a时，f′（x）=0，f（a）为f（x）的极小值；（2）方程f（x）=2存在两个不同的实数解x1、x2，因此f（x）必能不为单调函数，所以a＞0，…（7分）令F（x）=f（x）﹣2，则F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞），最小值F（a）＜0，∴0＜x1＜a＜x2，令g（x）=F（2a﹣x）﹣F（x），x∈[a，2a），∵g′（x）=F′（2a﹣x）﹣F′（x）=f′（2a﹣x）﹣f′（x）=…（8分）∴g（x）在[a，2a）上单调递增，且g（a）=0，∴当x∈（a，2a）时，g（x）＞0，∵2a﹣x1∈（a，2a），∴g（2a﹣x1）＞0，g（2a﹣x1）=F（x1）﹣F（2a﹣x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0…（10分）∵f（x1）=f（x2）=2，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）…（11分）∵f（x）的单调递增区间为（a，+∞），x2、2a﹣x1∈（a，+∞）∴x2＞2a﹣x1，∴x1+x2＞2a…（12分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：点E为AB的中点；（2）求EF的值．【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得EA2=EF•EC…（2分）∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…（2分）故AE=EB…（5分）所以点E为AB的中点（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC又在Rt△BCE中，由射影定理得BE2=EF•EC所以…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y﹣2）2=4，由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2=4化简得ρ=4sinθ，（2）直线l的参数方程，（t为参数）．即代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t 1、t2，则，t1t2=9，于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且=2．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a、b相应的取值．【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，且=2，可得2=+≥2，即ab≥2，当且仅当b=2a=2时取得等号，则ab的最小值为2；（2）a+2b=（a+2b）（+）=（5++）≥（5+2）=；等号成立的充要条件是a=b=，∴a+2b的最小值为；此时a=b=．。

AB C D2015届广东六校联盟第一次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则 z i ＋i ·z －＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i3. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -24. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是 ( )A.3B.13C. 3-D. 13-5. 已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()()2,4,1,3,AB AC AD BD ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则( )A. 8-B. 6-C.6D.8 6. 已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为y =，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）A ．95.25万元B ．96.5万元C ．97万元D ．97.25万元7．如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的 中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分 成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是（ ）18．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B ；⑤若函数f (x ))ln(2a x +=A ∈，则0>a .其中的真命题有（ ）A ．①③④⑤B ．②③④⑤C ．①③⑤D ．①③④二 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(一)必做题(9～13题)9. 若不等式4|1||4|x x a a+--≥+，对任意的x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_ _. 10. 已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为___． 11. 已知数组（12345,,,,a a a a a ）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。