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函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：需要知道的极限四则运算法则：设则（1）（2）（3）（4）注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
另外，它对数列极限也实用。
需要知道的定理:1.若函数在点连续，2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。
用极限来表述就是如下：注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
比方说：3.若函数函数当时的极限存在，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。
比方说：，那么目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。
当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。
下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。
一、洛必达法则1．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式定理1.若(1，；(2与在点的附近（点可除外）可导，且；(3存在(或无穷大则=注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例1. 求解：由洛必达法则知原式=例2. 求解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 ===．例5. 求解：原式=例6. 求解:原式==12．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式(1，；(2与在点的附近可导，且；(3存在（若无穷大），则＝注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例7．求解：原式＝＝＝＝１例8．求解：原式＝＝０例9．求（为正整数）解：原式＝＝＝…＝＝＝03．其它型不定式除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。
七种不定型极限求法引言：在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点或无穷远处的趋势。
而不定型极限求法则是计算极限的一种常用方法。
本文将介绍七种常见的不定型极限求法，并通过实例进行说明。
一、零除以零型（0/0）：当计算极限时，遇到被零除的情况，我们无法直接计算，此时可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(sinx)/x，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)cosx/1，得到结果为1。
二、无穷大除以无穷大型（∞/∞）：当计算极限时，遇到无穷大除以无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→∞)(x^2+3x)/(2x^2+5x)，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→∞)(2x+3)/(4x+5)，得到结果为1/2。
三、零乘以无穷大型（0×∞）：当计算极限时，遇到零乘以无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(x*sin(1/x))，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)(sin(1/x)-cos(1/x)/x^2)，得到结果为0。
四、无穷大减无穷大型（∞-∞）：当计算极限时，遇到无穷大减无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→∞)(x-sin(x))，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→∞)(1-cos(x))/1，得到结果为1。
五、零的幂型（0^0）：当计算极限时，遇到零的幂的情况，我们无法直接计算，此时可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(x^x)，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)(e^(xlnx))，得到结果为1。
六、一的无穷型（1^∞）：当计算极限时，遇到一的无穷的情况，可以尝试使用自然对数的性质。
例如，计算lim(x→∞)(1+1/x)^x，可以将其转化为lim(x→∞)e^(xln(1+1/x))，得到结果为e。
七、指数为无穷型（a^∞）：当计算极限时，遇到指数为无穷的情况，可以尝试使用自然对数的性质。
请详细阐述基本不定式的洛必达法则并举例计算基本不定式的洛必达法则是求解极限的一种方法，适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，其基本思想是将给定函数的极限转化为两个函数的极限之商的形式，然后利用求导或取对数等方法计算这个极限。
下面将详细介绍基本不定式的洛必达法则，并通过举例计算说明。
1. 确定不定式的形式：将给定的函数表示为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的形式。
2. 重写不定式：根据洛必达法则，我们将给定的函数表示成两个函数的极限之商的形式，即$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$。
3. 应用洛必达法则：计算$\lim_{x \to a}\frac{g'(x)}{h'(x)}$，其中$g'(x)$和$h'(x)$分别表示$g(x)$和$h(x)$的导数。
4. 确定极限：如果极限$\lim_{x \to a}\frac{g'(x)}{h'(x)}$存在并有限，那么这个极限的值就是原函数$f(x)$的极限。
如果极限不存在或为无穷大，那么原函数$f(x)$的极限不存在或为无穷大。
下面通过几个例子来详细说明洛必达法则的计算过程。
例1：计算$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}$。
解：首先将不定式表示为$\frac{0}{0}$的形式，即$f(x) =\frac{\sin(x)}{x}$。
接下来，计算$f(x)$的导数：$f'(x) = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2}$。
然后，计算$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{1}$的极限：$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{1} = \lim_{x \to 0}\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos(x)}{2x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{2} = 0$。
考研高数不定式求极限解题方法考研高数不定式求极限解题方法高数不定式求极限是考研中出现的最多的，也是经常考的，把出题点的做题方法多研究研究，对考研还是有很大的帮助的，今天小编给大家整理了一些考研高数不定式求极限解题方法知识，希望对大家有所帮助。
不定式求极限问题的方法2018考研数学高数里要牢记的知识点1.函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
七种不定型极限求法在现代数学中，七种不定型极限求法是非常基础的一种求解方式。
这些极限求法在数学中起到了至关重要的作用。
因此学习并掌握这些不定型极限求法对于数学学习者来说非常必要，今天我们就来了解一下这七种不定型极限求法。
第一种不定型极限求法是0/0型，也是最常见的一种情况。
在一个函数当中，如果分子以及分母在一个数点上同时为零，那么他们就是0/0型的分式，需要进行求解。
此时，我们可以用洛必达法则，将分式中的分子以及分母同时取导，再将其除起来即可。
第二种不定型极限求法是无穷/无穷型。
这种类型的不定型极限求法主要是在某种函数的分子以及分母都趋近于无穷大的时候，我们需要对其进行求解。
同样的，可以运用洛必达法则进行求解。
第三种不定型极限求法是无限小/无限小型。
当某个函数的分子以及分母都趋近于无穷小时，就会形成这种类型的极限求法。
此时，我们也可以运用洛必达法则进行求解。
第四种不定型极限求法是∞-∞型。
当某个函数中的分子以及分母都是趋向于无穷大的时候，此时这个极限就是∞-∞型的不定型极限求法。
要解决这个问题，我们可以将其化为分数形式进行求解。
第五种不定型极限求法是∞×0型。
在某个函数当中，如果分式的分子趋近于无穷大，而分母又趋近于0时，我们需要进行求解∞×0型的不定型极限。
同样的，可以用洛必达法则进行求解。
第六种不定型极限求法是1^∞型。
在数学中，当我们遇到这种情况时，可以利用取对数的方式将其变形，然后再将运算结果带入到指数函数当中进行求解。
最后一种不定型极限求法是0^0型。
这种情况下的极限无法直接用洛必达法则求解。
此时，我们需要利用指数函进行分析，然后进一步分解其式子，将其转化为其他的不定型极限进行求解。
综上所述，七种不定型极限求法是数学学习中不可缺少的部分，这七种极限求法涵盖了数学中的大部分问题。
当我们遇到这类问题时，可以采取对应的方法进行求解。
因此，我们必须了解和掌握这七种不定型极限求法，以便顺利进行数学学习和研究。
不定式函数极限的求法不定式极限作为极限的一个特殊又重要的类型,计算起来有些困难,有的甚至会无从下手．因此,寻找一些求解极限的方法和技巧至关重要．常用的一些方法有两种,第一种是初等解法：通过恒等变形或变量代换转换为非不定式极限的计算,或转化为两个重要极限：1sin lim0=→x x x 和enn n =+∞→)11(lim 等；另一种方法是：洛必达法则,等价无穷小代换法则,勒公式法,迫敛定理法等．本文着重把一些方法进行归纳,并辅以典型例题,以便学习和掌握有关的解题技巧,提高学习效率．1型不定式极限 我们把两个无穷小量之比的极限类型记为型,它是不定式极限中最常见和最重要的极限类型,其它一些不定式极限可通过化简转化成这种类型来计算,掌握这种极限类型的求法是学习其它不定式极限的关键．1.1 约等价无穷小法若分子分母都是x 的多项式,当0x x →时分子分母的极限都等于零,若它们有极限为零的公因式,我们就先将分子分母分解因式或分子分母有理化,设法约去极限为零的公因式,使分母的极限不再为零,从而求出不定式的极限．例1 求211lim 1-+-→x x •x解 原式=)12)(21()12)(1(lim1++-+++-→x x x x x =1)12)(1(lim 1-++-→x x x x=)21(lim 1++→x x =22 1.2 重要公式1sin lim0=→xxx 法对于含有三角函数或者反三角函数的型不定式极限,我们通常利用三角恒等式,转换成极限1sin lim0=→xxx 或公式的推广求解．例 2 求xx x cos 1sin 2lim 20-→解 原式=2sin 2sin 2lim 220x x x →=2sin sin lim 22x x x → =22220)2()2(.2sin sin lim x x x x x →= 22202sin 2sin 4lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x x x =4 例3 xx x arcsin 95lim0→分析 直接求解有些困难,可把函数转化成没有反三角函数的形式,令arcsinx=t,则x =sint,当0→x 时,0→t解 原式=959sin 5lim=→t t t 1.3 洛必达法则定理[3]P(127)（洛必达法则）若函数f 和g 满足：（ⅰ）)(lim 0x f xx →= )(lim 0x g x x →=0； （ⅱ）在点0x 的某空心邻域)(00x U 内两者都可导,且0)(≠'x g ；（ⅲ）A x g x f x x =''→)()(lim（A 可为实数也可为∞∞±,）； 则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim00． 运用洛必达法则必须满足以上三个条件,并且计算过程中可多次使用此方法,直到分母极限不为零为止,如例4．但对于一些比较复杂的不定式极限计算时不能盲目的用洛必达法则,当洛必达法则失效时不能确定原极限一定不存在,如例5．因此上述三个条件是洛必达法则的充分条件不是必要条件．洛必达法则是解不定式极限最主要且十分有效的方法,对一些分子分母的导数容易求得,并且可以多次使用,计算起来比较简便．例 4 1cos )1ln(lim0--+→x xx x解 原式=xx x sin 111lim 0--+→ =x x x cos )1(1lim 20-+-→=x x x cos )1(1lim 20+→=1例 5 xx x x sin 1sinlim20→分析 此题属于0型不定式极限错解 原式=x x x x x x x cos )1(1cos 1sin2lim220-⋅+→x x x x x cos 1cos 1sin 2lim 0-=→ 因为xx 1cos lim 0→不存在,1cos lim 0=→x x ,01sin 2lim 0=→x x x ,所以原极限不存在．正解 原式=xx x x x sin 1sinlim0→=x x x 1sin lim 0→=0 错解错在此题没有都满足上述的三个条件,方法失效,应该用别的方法．这很好的说明这三个条件是充分条件而非必要条件．运用此方法应注意,在连续运用此方法时,要检查看是否符合用洛必达法则的条件,一旦出现分母极限不为零立即停止运算,不能茫目的求解,出现错误结果．还应注意不是所有的0型不定式极限都能用此方法．1.4变量换元法如果极限形式十分复杂,可尝试采用变量换元法加以变形,使其简化易求． 例 6 求sin 0sin(sin )lim1xx x e →-解 设t x =sin ,则 0→t 原式=1cos lim 1sin lim00-=-=-→→tt t t e te t1.5 等价无穷小代换法若两个无穷小量等价,求解极限的过程中可以相互代替以简化运算,利用等价无穷小量代换以求极限的方法叫做等价代换法．若,lim lim)(,~,~00βαβαββαα''=→''→→x x x x x x 这是一种非常简单的方法,把一些比较复杂的函数进行等价无穷小代换,达到简化运算步骤,快速求出极限的目的．但应注意：分子分母中和差项不能分别代换,只能分子分母整体代换．常用的等价无穷小代换有：0x →时 ,x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arcsin , x e x ~1-,㏑x x ~)1(+,nxx n ~11-+． 例 7 求11tan lim-+→x xx解 因为0→x 时,x x x x 21~11,~tan -+ 所以原式=22lim=→x xx例 8 求1arcsin lim3sin 0--→xx ex x解 此题比较复杂用等价无穷小代换,x ex3sin sin ~13-,33~sin x x原式=3030arcsin limsin arcsin lim x xx x x x x x -=-→→=2203111lim x x x --→=22201311lim x x x x ---→设t x =-21,则1-2x =2t ,2x =1-2t ,0→x 时1→t t t t t )1(31lim21--→=61)1(31lim 1-=+-→t t t 例 9 求30sin 1lim xxe x x --→ 错解 因为 1-xe ~x, sinx~x所以原式＝03lim3=-→xxx x 正解 用洛必达法则30sin 1lim x x e x x --→＝=-→203cos lim x x e x x =+→xx e x x 6sin lim 0316cos lim 0=+→x e x x 分析 错误原因是把两个无穷小量差分别进行等价代换,只能对整个分子分母进行代换． 1.6 泰勒公式法上述运用等价无穷小代换方法求解极限,往往能减少计算量,但这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除式极限的时候,而对于非乘除式的极限,此方法行不同,如对形如)()()()(limx w x h x g x f x ±±→ (其中0)()(,0)()(→±→±x w x h x g x f )类型的极限,我们知道可以使用洛必达法则求解,下面介绍一种较为简便的方法：泰勒公式法：第一步,先将分母中各函数在x =0点按泰勒公式展开到第n 项,并以它代替各自的函数,合并同类项的结果作为新的分母,而n 是使新分母不为零的最小项数．第二步,再将分子中各函数在x =0点按泰勒公式展开到与新分母具有同次幂的项为止,同样以它代替各自的函数,合并同类项的结果作为新的分子．第三步,求解所得新分式的极限．这就要求我们记住一些常用的泰勒展开式．例 10 求320)1(cos lim x x x e x x +-→解 因为分母是3x ,故分子的泰勒公式：3=n )(0621432x x x x e x++++= )(021cos 42x x x +-= 所以320)1(cos lim xx x e x x +-→ =32424320)1()](021)][(0621[lim xx x x x x x x x +-+-++++→ =34320)(03lim x x x x x x +--→=3430)(03lim xx x x +-→ = 31-例11 求)1ln(1sin lim 0x x e x x +-+→解 看分母,展开到一次项即可,㏑(1+x)=x+0(x), 新分母就是x,再看分子,新分母是一次项,所以分子各函数只须展到一次项)(01x x e x ++=,)(0sin x x x +=,以1+x 代,x e x 代sin x ,则新分子为x x x 21)1(=-++,所以原式=22lim0=→xxx 例12 求)]11ln([lim 2xx x x +-∞→ 因为㏑)11(x +前的因式是2x ,所以㏑)11(x +的泰勒公式中取n =2,则 )(0211)11ln(32x xx x +-=+=+-∞→)]11ln([lim 2x x x x 21)]1(021[lim )]}1(0211[{lim 322=+=+--∞→∞→x xx x x x x x 1.7 导数定义法根据导数的定义：)()()(lim 0000x f x x x f x f x '=--→,不定式极限可通过变形转换为函数在某一点的导数．例13 求1)1(4sin lim 21--→x x x解 设f (x) =sin4(12-x ),则f (1)=01)1(4sin lim 21--→x x x =8)1(1)1()(lim 1='=--→f x f x f x2∞∞型不定式极限 两个无穷大量之比的极限类型记为∞∞型,是不定式极限的重要且基本的类型,我们也可以把其它类型的不定式极限转化成∞∞型不定式极限来求解． 2.1分子分母同除以x 的最高次幂当不定式的分子分母均为多项式,且不定式为∞∞型时,如果分子次数高于分母次数时结果为∞；如果分子次数低于分母次数时结果为0；如果分子次数等于分母次数时结果为分子分母最高次数系数比．例 14 求16235lim 434--+-∞→x x x x x解 原式=4431621135limxx x x x --+-∞→ =652.2 洛必达法则定理[3]P(128)（洛必达法则）若函数f 和g 满足： （ⅰ）)(lim 0x f x x +→= )(lim 0x g x x +→=∞；（ⅱ）在0x 的某右邻域)(00x U +内两者都可导,且0)(≠'x g ； （ⅲ）A x g x f x x =''+→)()(lim（A 可为实数也可为∞∞±,）； 则A x g x f x g x f x x x x =''=++→→)()(lim )()(lim 00． 若∞∞型不定式极限分子分母的导数容易求得,且经过有限次求导后能求出结果,则用此方法来计算．运用此方法解此类型不定式极限和用此方法解0型不定式极限注意事项类似．例 15 求xxx ln lim ∞→解 原式=xx 11lim∞→=∞=∞→x x lim 2.3 分子分母都除以分子分母中趋向∞较快的项例 16 112535lim ++∞→++x x xx x解 原式=51)52(1)53(5151lim 1=+++∞→x xx2.4 用迫敛定理求极限如果直接求不定式极限很难求,可以考虑把不定式适当放大或缩小,若放大或缩小后的两个极限容易求出,并且极限值相同,可用迫敛定理去解．例 17 求xx x ][lim∞→解 因为x x x ≤≤-][1,当x >0时,1][11≤≤-x x ,1)11(lim =-∞→xx由迫敛定理得xx x ][lim ∞→=1当x <0时,1≤x x x 11][-≤,1)11(lim =-∞→xx 由迫敛定理得xx x ][lim ∞→=1例18 求4sin lim 2-+∞→x xx x解 因为44sin 4222-≤-≤--x xx x x x x ,04lim 4lim 22=-=--+∞→+∞→x x x x x x 由迫敛定理,所以4sin lim 2-+∞→x xx x =0 3 其它类型的不定式极限不定式极限还有∞⋅0,∞1,00,0∞ ,∞-∞等类型,经过简单变换,它们均可化为00型或∞∞型极限．例 19 x x sin lim 0→﹒x ln解 这是一个∞⋅0型的不定式极限原式=xx x sin 1ln lim 0→=x x xx 20sin cos 1lim -→=xx x x x sin .cos sin lim 0-→=0例 20 x x x ln )arctan 2(lim ⋅-∞→π解 这是一个0﹒∞型的不定式极限原式=xx x ln 1arctan 2lim -∞→π=x x xx 22ln 112lim -+-∞→=221ln 2lim x x x x +∞→=x x x x 2ln 4ln 2lim 2+∞→=212ln 22lim x xx x +∞→=x x x 1ln 2lim +∞→=x x 12lim ∞→=0 例 21 xx x 12)1(lim ++→分析 这是一个∞1型不定式极限,计算这类极限用到第二个重要极限e nnn =+∞→)11(lim 及公式的推广,或用取对数的方法去求解,如例22．解 原式=1})]1{[(lim 01202==++→e x x x x例 22 x x xx )111(lim 2+++∞→ 解 这是一个∞1型不定式极限,对求极限的部分取对数得=++x xx )111(2)111ln(2xx x e ++,对指数求导数)111ln(lim 2xx x x ++∞→=xx x x x 1ln )1ln(lim 22-++∞→ =12lim 12112lim 2222+++=--+++∞→∞→x x x x xx x x x x x 1=xx xx )111(lim 2++∞→=e 00,0∞类型也可以用取对数的方法化为0⋅∞型来计算．例 23 求1ln lim()xx x →∞+解 这是一个0∞型不定式极限x x x xe x x ln 12)1ln(ln 12)1(++=++x →∞x x→∞=1=于是有1ln lim()xx x e →∞=例 24 求sin 0lim xx x→解 这是一个00型不定式极限,sin sin ln xx x xe =00ln limsin ln lim1sin x x x x x x →→= xx x x 20sin cos 1lim -=→x x x x x cos sin lim 220⋅-=→ 0= 所以sin 00lim 1xx xe →==例 25 xx x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π解 这是一个00型不定式极限1ln (arctan )2xx π-=xx eln 1)arctan 2ln(-π1ln(arctan )ln 2x x eπ-=1ln(arctan )ln 2limx x x π-→+∞211()1arctan 2lim 1x x xxπ→+∞⋅-+-=21limarctan 2x x x xπ→+∞-+=-2222211)1(21lim x x x x x ++-+=+∞→221lim 1x x x →+∞-=+1=- 所以原式=1e - 例26 011lim()1xx x e →-- 这是一个∞-∞型不定式极限,把它化成型来计算． 解 原式01lim (1)x x x e xx e →--=- 01lim 1x x x x e e xe →-=-+ 0lim 2x x x x e e xe →=+01lim 2x x →=+12= 以上就是对几种常见的不定式极限的解题方法进行了归纳总结,我们可以看出数学问题千变万化,解题方法灵活多样,并且在一题中还会用到到多种方法,具体用哪种方法因题而异.我们在理解掌握的基础上,灵活运用这些方法技巧,去解决一些不定式极限问题,并加以比较总结,有助于提高学习效率,收到意想不到的效果．。
