函数值域 （最值） 的 常用 方法
姓名:
、基本函数的值域:
一次函数y kx
0的值域为R .
正，余弦函数的值域为 1,1，正，余切函数的值域为
、其它函数值域
、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域（最值）的简单函数）
2、求函数y --------------- 的值域.
Vxl 1
二、 配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时， 可利用配方法求值域） 1、 求函数y 2 , x 2 4x （x 0,4）的值域.
说明：在求解值域（最值）时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域 的限制.
2、 若x 2y 4, x 0, y 0，试求xy 的最大值。
三、 反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数， 可以利用“原函数的定义域和值域分别为 其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方 法求原函数的值域。
1、 求函数y 的值域.
x 1 2 / 二次函数y ax 2 bx c a 0，当 a
0时的值域为 4ac b 2 4a 当a 0时的值域为 4ac b 2
4a
反比例函数 k 0的值域为y 指数函数y a x a 0且a 1的值域为 对数函数y log a x a 0且a 1的值域为R .
R . 1、求y x 2 4 2的值域.
2、求函数y罕4的值域.
X 1
四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为
A（y）x2 B（y）x C（y） 0的形式，再利用判别式加以判断）
2x2 4x 7
1、求函数y 竺上的值域.
x 2x 3
2、求函数y 2% 1的值域.
x 2x 2
五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数
（用三角代换）等）
1、求函数y 2x 3 ,13 4x的值域.
六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）
1、求函数y x 1 x 3的值域。
七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值.（如：a2 b2 2ab,a b 2. ab ），利用此法求
函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结
果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""成立的条件.）
1、求函数y x 1（x 0）的值域.
x
注意：在使用此法时一定要注意a b 2 .0b的前提条件是a>0, b>0,且能取到b.
八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y k f（x）（k为常数）的形式）
X2 X
1、求函数y 耳一—的值域.
x x 1
九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
十、利用导数求函数的值域（若函数f在（a、b）内可导，可以利用导数求得f在（a、b）
内的极值，然后再计算f在a，b点的极限值。从而求得f的值域）
十^一、最值法（对于闭区间［a，b］上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间［a，b］内的极值，
并与边界值f（a）、f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域）
十二、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）
十三、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值
求函数的值域
①y 3x 1，x€ {1，2, 3, 4, 5}.（观察法）
②y x2 4x 6，x€ 1,5 .(配方法：形如y ax2 bx c)
③y 2x . x 1 .（换元法：形如y ax b . cx d ）
④y —.（分离常数法：形如y竺卫）
x 1 ax b
2 2 b
⑤y需・.（判别式法：形如y 來2 % C1）
x 1 a2x b2x c2
变式1.求下列函数的值域
① y 2x2 4x 3 .② y x . x 1 .
2x2 4x 7
2
x2 2x 3
0)
⑤ y x 3 x 7 .⑥ y 3x 9 (x
4x
0)
