LS高一数学函数值域求法及例题

函数值域的求法在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜(5)y ＝2x －3＋134-x(6)y ＝2224)1(5+++x x x(7)y ＝521+-x x(8)y ＝1223222++--x x x x(9)y ＝3－2x －x 2x ∈[－3，1](10)y ＝21322+-x x分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8](4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3](5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.∵4x －13≥0 ∴x ∈[413，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t∴y ＝21t 2＋t ＋27∴y ＝21（t ＋1）2＋3∵x ≥413∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：y ＝22222224)1(5)1()1(5+++=+++x x x x x x＝2222222222)1(11)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝111)1(5222++-+x x 令t ＝112+x∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝101时y min ＝2019当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019，5](7)∵y ＝－21＋5227+x∵5227+x ≠0 ∴y ≠－21∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－21）∪（－21，＋∞） (8)由y ＝1223222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠21时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠21 又当y ＝21时，2（1＋21）x ＋（21＋3）＝0 得：x ＝－67，满足条件∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4](10)由y ＝21322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1即（3－y ）x 2＝2y ＋1若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝y y -+312 ∵x 2≥0 ∴yy -+312≥0 解得：－21≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－21，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(1222∈-++=x a ax x y（2）]1,[142+∈++=t t x x x y三、含参数的其他值域问题［例3］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.练习一、选择题1.函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47]B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).答案：B2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].。

函数值域的求法在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜(5)y ＝2x －3＋134-x(6)y ＝2224)1(5+++x x x(7)y ＝521+-x x(8)y ＝1223222++--x x x x(9)y ＝3－2x －x 2x ∈[－3，1](10)y ＝21322+-x x分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8](4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3](5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.∵4x －13≥0 ∴x ∈[413，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t∴y ＝21t 2＋t ＋27∴y ＝21（t ＋1）2＋3∵x ≥413∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：y ＝22222224)1(5)1()1(5+++=+++x x x x x x＝2222222222)1(11)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝111)1(5222++-+x x 令t ＝112+x∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝101时y min ＝2019当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019，5](7)∵y ＝－21＋5227+x∵5227+x ≠0 ∴y ≠－21∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－21）∪（－21，＋∞） (8)由y ＝1223222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠21时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠21 又当y ＝21时，2（1＋21）x ＋（21＋3）＝0 得：x ＝－67，满足条件∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4](10)由y ＝21322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1即（3－y ）x 2＝2y ＋1若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝y y -+312 ∵x 2≥0 ∴yy -+312≥0 解得：－21≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－21，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(1222∈-++=x a ax x y（2）]1,[142+∈++=t t x x x y三、含参数的其他值域问题［例3］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.练习一、选择题1.函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47]B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).答案：B2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].。

高中函数值域的12 种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1 求函数y＝3＋√ （2－3x）的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2－3x）的值域。

解：由算术平方根的性质，知√（2－3x）≥ 0，故3＋√（2－3x）≥ 3。

∴函数的知域为[3 ，＋∞]。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（ 1 ）被开方数的非负性，（2 ）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y＝[x]（0 ≤ x≤ 5）的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2 求函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的反函数为:x＝（1 －2y）/ （y－1 ）,其定义域为y≠ 1 的实数,故函数y 的值域为｛y∣ y≠ 1,y∈ R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝（10 x＋10 -x）/（10 x－10-x）的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣ y<－ 1 或y> 1 ｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。

例3：求函数y＝√（－x2＋x＋2）的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2＋x＋2≥ 0,可知函数的定义域为x∈[－1 ，2]。

此时－x2＋x＋2＝－（x－1/2）2＋9/4 ∈ [0，9/4] ，∴ 0≤√ （－x2＋x＋2）≤ 3/2, 函数的值域是[0，3/2] 。

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

高一数学必修一 函数的值域 最新精题配方法 例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域；练习已知函数y ＝－3x 2＋2ax －1，x ∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值例2. 求562---=x x y 函数 的值域；换元法： 形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(≠+±+=a ，d c b a d cx b ax y ；例3. 求函数x x y -+=142的值域利用函数的单调性求函数的值域例4求函数21y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．练习1函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ）A. (-∞,-1 )B. ( 0,+∞)C.(-1,0 )D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞)2.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值为 。

3．若函数y =f (x )的值域是[-2，3]，则函数y =∣f (x )∣的值域是 （ ）A ．[-2，3]B ．[2，3]C ．[0，2]D ．[0，3]判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121a a c x b x a c x b x a y ++++=； 例4 求函数xx y 1+=的值域；分离常数法：形如)0(≠++=a bax d cx y 的函数也可用此法求值域； 例5求函数213-+=x x y 的值域；数形结合法。

例6求函数的值域|4||1|++-=x x y （方法一可用到图象法）当堂检测1．函数y ＝4x －x 2，x ∈[0，3]的最大值、最小值分别为( ) (A)4，0(B)2，0 (C)3，0 (D)4，3 2．函数21x x y -=的最小值为( ) (A)21(B)1 (C)2 (D)4 3、函数3(2)2y x x =≠+ 在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（ ） A. 3,07 B.3,02 C. 33,27D. 最大值37，无最小值。

函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

高中数学求值域的方法高中数学求值域有时候对学生来说十分的困难，这也是一个考试的难点重点，那么有什么方法吗？下面小编就来和大家说说高中数学求值域的方法吧！高中数学求值域的方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案：函数的值域为{y∣y1｝)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。

此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域的8种方法带例题在数学的世界里，函数就像是画家的调色板，每个数字都是一块颜色，它们组合起来描绘出一个个美妙的世界。

而我们的任务，就是找到那些能让我们眼前一亮的颜色——函数值域。

想象一下，你走进一个神秘的画展，每一幅画都有它独特的色彩和主题。

同样地，每个函数也有它自己的色彩，这些色彩就是它的值域。

要找到这些色彩，我们可以采取8种不同的方法。

就像探险家寻找宝藏一样，我们一步步揭开函数值域的秘密。

我们可以用“试错法”。

就像孩子第一次尝试骑自行车时那样，我们用直觉去猜测，然后不断调整，直到找到正确的路径。

比如，如果函数是y=x^2+1，那么它的值域就是所有非负数，因为任何正数的平方都大于1。

我们可以使用“代入法”。

就像侦探分析线索一样，我们把可能的数值一个个代入到函数中，看看会发生什么。

例如，如果我们想知道函数y=x^35x+6的值域，我们可以把x从0到无穷大代入进去，看看结果是什么。

我们还可以利用“图像法”。

想象一下，函数就像是一幅画，它的值域就像是这幅画的色彩范围。

比如，函数y=2x+1在区间(∞,0)内是红色的，在(0,∞)内是蓝色的。

通过画出这个函数的图像，我们就可以直观地看到它的值域。

我们可以借助“对数法”。

就像数学家们用对数来探索未知数一样，我们也可以用对数来探索函数的值域。

比如，函数y=log_2(x)的值为域是所有正数，因为任何正数的对数都是正数。

这四种方法各有千秋，就像是四种不同的工具，帮助我们揭开函数值域的秘密。

但是，别忘了，最重要的还是直觉。

我们的直觉就像是一把钥匙，能够打开函数值域的大门。

所以，不要害怕犯错，大胆地尝试吧！我想说的是，函数值域就像是一场奇妙的冒险，充满了未知和惊喜。

只要我们有勇气、有智慧，就能像探险家一样，找到属于自己的宝藏。

所以，让我们一起踏上这场冒险之旅吧！。

高中数学，函数值域的求法，方法总结与例题分析1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

（2）f(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 f(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。

那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么只需在坐标系中作出f(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,-3)，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域。

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。

函数定义域的求法姓名：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例1求函数f(x)=211x x -+的定义域．二、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例1 求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.三、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例1 求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。

⑴y=x x -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x -（4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f四、抽象函数（一）、已知的定义域，求的定义域， 其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

练习 1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 21(f -的定义域是________。

3设函数)x (f y =的定义域为),4[A +∞=，给出下列函数：)4x (f y ),4x 2(f y 2=-=，)x16(f y ),x 2(f y -==，其定义域仍是A 的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是B A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4]U D ．(0,1)（二）、已知的定义域，求的定义域。

函数值域求法（例题）在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的X 围可能比y 的实际X 围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

高中数学求值域的10种方法求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】 1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c=++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y xx x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y xx =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

高一数学求函数的解析式、定义域、值域的常用方法一、求函数的解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值（3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之（4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式二、求函数定义域的方法1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域5、分段函数的定义域是各个区间的并集6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域三、求函数值域的方法1、分离变量法2、配方法3、判别式法4、单调性法5、换元法一、求函数解析式1、换元法例1 已知22+1++1=x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求()f x2、构造方程组法例2 （1）已知21()+2()=3+4+5f x f x x x，试求()f x （2）已知2()+2(-)=3+4+5f x f x x x ，试求()f x例3 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f二、求函数定义域例1 求+3-4x y x 的定义域例2 求下列函数的定义域（1）35)(--=x x x f ； （2）x x x f -+-=11)( 例例4已知(f x ，(g x ，求=(g())y f x 值域 三、求函数的值域与最值1、分离变量法例1 求函数2+3=+1x y x 的值域2、配方法例2 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域说明：对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c3、判别式法例3 求函数2223456x x y x x ++=++的值域4、单调性法例4 求函数23y x-=+，x ∈［4，5］的值域5、换元法例5 求函数=2y x例6 求下列函数的值域： （1）{}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+=x y （3）2211xx y +-=（4）)25(,322-≤≤-+--=x x x y练习1、函数y ＝f （x ）的值域是［－2，2］，则函数y ＝f （x ＋1）的值域是2、已知函数f （x ）＝x 2－2x ，则函数f （x ）在区间［－2，2］上的最大值为3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］（a<b ），值域也是［a ，b ］，则区间［a ，b ］是5、函数y ＝f （x ＋2）的定义域是［3，4］，则函数y ＝f （x ＋5）的定义域是6、函数22+2=3+4x y x x的值域是 7、若f （x ）＝（x ＋a ）3对任意x ∈R 都有f （1＋x ）＝－f （1－x ），则f （2）＋f （－2）＝8、若函数2()=-2f x x 的值域为1-,-3⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，则其定义域为 9、求函数5-+3+4=+2x x y x 的定义域 11、已知2-2+1,2()=-,>2x x x f x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩，若f （a ）＝3，求a 的值12、已知函数f （x ）满足2f （x ）－f （－x ）＝－x 2＋4x ，试求f （x ）的表达式13、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 求不等式)1()(f x f >的解集 14、函数xax y 213-+=的值域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，求实数a 的值为 15、已知函数()y f x =的定义域为(0,1)，则2()f x 的定义域是16、已知函数221()1x f x x +=-，则在①()()f x f x -=，②1()()f f x x =-，③()()f x f x -=-，④1()()f x f x-= 中成立的个数是17、如果一元二次函数23y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是18、已知函数[](),f x x x x R =-∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]352,33,222⎡⎤⎡⎤-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()f x 的值域是19、已知函数31(3)()3(3)x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域与值域相同，则常数a =20、若函数(21)f x -的定义域是[0,1),则函数(13)f x -的定义域是21、已知二次函数2()f x ax bx =+,若12(1)(1)f x f x -=+其中122x x -≠,则12()f x x +的值为22、已知函数2()(1)f x x a x a =+-+，在区间[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是23、已知全集U R =，集合{}312A x m x m =-<<，{}13B x x =-<<，若A U C B ,求实数m 的取值范围24、已知一元二次函数()f x 满足(2)(2)()f k f k k R -+=--∈，且该函数的图象与y 轴交于点（0，1），在x 轴上截得的线段长为2225、已知集合{}2|1,A x y x x Z ==-∈,},1|{2A x x y y B ∈+==,则B A I =____26、若方程()[]24330,0,1x x k x -+-=∈没有实数根，求k 的取值范围 27、已知集合{}{}22221,350A x x x B x x ax a =--=-=-+-=,若A B B =I ,求实数a 的取值范围28、函数2()f x x bx c =-++()x R ∈满足(1)(3)f x f x -=-,且方程()0f x =的两个根12,x x 满足1222x x -=，求()f x 解析式29、已知二次函数)(x f y =的图象过点(0,3)-，且方程0)(=x f 的两个根的平方和为10，又对任意的x 都有)1()1(x f x f -=+（1）求二次函数)(x f y =的表达式；（2）求该二次函数在[0,3]上的最大最小值30、求函数212y x x =-的值域 31、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）（1）若方程0)(=x f 的两根一个大于-3，另一个小于-3，求a 的取值范围（2）若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式31、已知集合}03)3(|{},03)32(|{222=-+-+==--+=m m x m x x B m x m x x A ，且满足条件：（1）B A ≠；（2）.),0(B A m a B A a Y I 及求≠∈32、已知集合2{|0},{||1|1},2x A x B x x x -=<=->+I 则A B 等于 33、若函数2143mx y mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是34、已知函数4()42xx f x =+， （1）若01a <<，求()(1)f a f a +-的值（2）求122008()()()200920092009f f f +++L 的值35、已知函数()f x 定义域为区间A ，若其值域也为区间A ，则称区间A 为()f x 的保值区间．一般来说，函数的保值区间有(,],[,],[,)m m n n -∞+∞三种形式（1）求函数2()1f x x x =-+的保值区间（2）函数1()1(0)g x x x =->是否存在形如[,]()a b a b <的保值区间，若存在，求出实数,a b 的值；若不存在，请说明理由。

高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y 的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数x 1y =的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

君子有三乐,而王天下不与存焉。

父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。

函数值域（最值）的常用方法姓名：一、基本函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，反比例函数(k y k x=≠指数函数(0x y a a =>(最值)的简单函数）1、求242-+-=x y 的值域．2、求函数y =的值域．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制．2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法反函数的值域和定义域”原函数的值域。

12x2四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域．2、求函数2122x y x x +=++的值域．君子有三乐,而王天下不与存焉。

父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。

3、五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数x x y 41332-+-=的值域．六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13y x x =-+-的值域。

七、不等式法，）1a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ．八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）1、求函数122+--=x x x x y 的值域．九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）十、利用导数求函数的值域（若函数f 在（a 、b ）内可导，可以利用导数求得f 在（a 、b ）内的极值，然后再计算f 在a ，b 点的极限值。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。