以 2l 为周期的函数的展开式

弦级数.
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l
f
(x)
F (t )
～
a0 2
an
n1
cos
nx l
bn
sin
nx l
其中
an
1
t x
F(t)cos ntdt
l
1
l
l l
f (x)cos nx dx ,
l
n 0 ,1, 2 ,
bn
1 l
l l
f (x)sin
nx dx l
,
n 1, 2 ,
当函数 f (x) 在区间[ l , l ]上按段光滑时, f (x) 可展开为 Fourier 级数.
h
(其中 0 h ) 展开成正弦级数
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bn=int('2/pi*sin(n*x)',0,'h') bn =-2*(cos(h*n)-1)/pi/n
bn
2 n
(1
cos
nx)
h 0
2 n
(1 cos nh)
正弦级数展开式为:
f (x) 2 (1 cos nh) sin nx
註 三角函数系 {1, cos x , sin x ,, cos nx , sin nx ,}是区间[ l , l ]上
ll
l
l
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的正交函数系统 .
例1
把函数
f
(
x)
0 3
, ,
5 x 0 , 展开成 Fourier 级数.
0x5
二. 正弦级数和余弦级数:
1. 区间[ , ]上偶函数和奇函数的 Fourier 级数:

其中
k
2 (k 0)
1
k 0
1、傅里叶正弦级数
若周期函数f(x)为奇函数， f ( )cos
k l
为奇函数

l
l
f ( )cos
k d 0 l
a0、ak系数为0

函数可以展开为
k x f ( x) bk sin l k 1
2 l k bk f ( )sin d l 0 l
傅里叶级数
任何周期函数 都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
若函数以2l为周期
可取三角函数族
f ( x 2l ) f ( x)
2 x k x ,,cos , l l l x 2 x k x sin ,sin ,,sin , l l l ,cos
1,cos
x
作为基本函数族，将f(x)展开为级数
傅里叶正弦级数
其展开系数为
2、傅里叶余弦级数
若周期函数f(x)为偶函数， 同理可得bk=0 函数可以展开为 f ( x) a0 ak cos k x l k 1

傅里叶余弦级数
其展开系数为
2 l k ak 0 f ( )cos l d kl
k x k x f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

周期函数的傅里叶展开式
利用三角函数族Βιβλιοθήκη 正交性，可以求出上式中的展开系数ak
k l l
1
l
k f ( ) cos d , l
傅里叶展开系数
1 l k bk f ( )sin d l l l

基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示成无限三角函数之
和的方法。

基本函数是一组经过选择、归一化的函数，可以作为展开周期函数的基函数。

下面是基本函数的傅里叶级数展开公式：
1. 正弦函数的展开公式
若f(x)为以2L为周期的偶函数，则f(x)可以表示为：
f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nπx/L)+bn*sin(nπx/L)) 其中an和bn为展开系数，计算公式如下：
an=(2/L)∫[0,L]f(x)cos(nπx/L)dx
bn=(2/L)∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dx
2. 余弦函数的展开公式
若f(x)为以2L为周期的奇函数，则f(x)可以表示为：
f(x)=∑[n=1,∞](cn*cos(nπx/L))
其中cn为展开系数，计算公式如下：
cn=(2/L)∫[0,L]f(x)cos(nπx/L)dx
3. 常数函数的展开公式
若f(x)为以2L为周期的常数函数，则f(x)可以表示为：
f(x)=a0/2
其中a0为展开系数，计算公式如下：
a0=(1/L)∫[0,L]f(x)dx
以上是基本函数的傅里叶级数展开公式，展开系数的求法需要用到积分。

在实际应用中，可以利用计算机进行数值积分和求和计算。

∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列 以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简 单复习高 数知识： 周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其 中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l