高数求极限的方法小结

高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x x αα+-．例1求01cos limarctan x xx x→-．解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-Q 时，故，原式220112lim 2x xx →== 例2求123(1)1limcos 1x x x →+--．解12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--Q 时,因此:原式202123lim 132x xx→==-． 例3求01tan x x→． 解0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim3x xx →=． 例4求()21lim2ln(1)xx ex x →-+．解0,1~,ln(1)~x x e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==． 例5试确定常数a 与n ，使得当0x →时，n ax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解330ln(1)lim 1n x x x ax →-+=而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=， 故15n -=即6n =0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'='.[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6求22201cos lim()sin x xx x→-. 分析秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+=或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-== 3300sin cos sin cos sin cos limlim 2limx x x x x x x x x x x xx x x →→→-+-==， 由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2limlim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7求201lim x x e x x→--. 解22000(1)1limlim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'---.例8求332132lim 1x x x x x x →-+--+. 解原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9求02lim sin x x x e e xx x-→---. 解原式0002limlim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10求22143lim 21x x x x x →-+-+. 解原式1112422limlim lim 02211x x x x x x x x x →→→---===∴---Q 原式=∞. 例11求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-. 解原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim 33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====. 例12求0cot lim ln x xx+→.解原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞. 例13求22201cos lim()sin x xx x→-. 解原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+== “0⨯∞”型：例14求lim(arctan )2x x x π→+∞-.解原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+. “∞-∞”型：例15求()2lim sec tan x x x π→-. 解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=Q ， 故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x xππ→→--===-. “00”型： 例16求0lim x x x +→.解原式ln 0lim ln ln 00lim lim 1x xxx e x x xx x ee e +→++→→====.“1∞”型：例17求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解原式lim 1xe ee x e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. “0∞”型： 例18求tan 01lim ()x x x+→.解原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 00lim lim x xxx e x xxx x ee e -+→++-→→===，而tan ~00lim(tan ln )lim(ln )0x xx x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 2.3泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n +n R (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值.[1]例19利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sin cos limsin x x x xx→-. 解由于公式的分母33sin ~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==++++++， 2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 2.4无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21求sin limx x xx →∞+. 解原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解111sin sin sin11n n n i i i i i i n n n n n o n iπππ===≤≤+++∑∑∑， 1011sin 12lim lim sin nn n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰， 1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰，根据夹逼定理1sin2lim 1nx i i n n iππ→∞==+∑. 2.6等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1）[1]例23设1||<δ，证等比数列1，δ，2δL 1n δ-，…的极限为0. 证任取01δ<<，为使n x a ε-<，而nn x a δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦， ln ln nn δεδε<⇒<即n x a ε-<，由定义知()lim 10n δδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99...1n n→∞==.2.7各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24求()111lim 1...2*33*41n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解原式111111lim 1 (2334)1n nn →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭=32.2.8求左右极限的方式例25求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解()()00lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()00lim lim 11x x f x x ++→→=+=，因为()()00lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在.例26()0lim 0x x x xαα→>.解0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx x x x x x ， 因为0lim )(lim 00==-+-→→xxx x x x x x αα，所以,原式=0. 2.9应用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 例27求xe x x 1lim 0-→. 解记()ln 1x t =+1x e t -=，则原式=1001limlim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为. 例28求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.解原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10根据增长速度)(ln ∞→<<x e x x x n λ例30求()lim 0nx x x n e λλ→∞>为正整数，. 解原式=1lim n x x nx e λ-→∞=()221!lim lim0n xn xx x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==. 例31求()ln lim0n x xn x→∞>. 解01lim lim ln lim11===∞→-∞→∞→nx n xx n x nx nx x x . 同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x 次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度：)(ln ∞→<<x e x x x n λ. 故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11换元法例321lim(1)x x x→-∞+. 解令x t =-，则原式=1lim 1tt t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim tt t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e2.12利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1)如果()()lim ,lim ,f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[ 若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim（2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf = （3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则n n x f x f )]([lim )](lim [= （4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ;n n n x y A B →∞+=+ 那么，()lim ;n n n x y A B →∞+=+limn n n x y A B →∞=⋅ 当()01,2,...n y n ≠=且0b ≠时，limn n n x A y B→∞= 2.13求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33已知()f x =在区间[]0,1上求()01lim ni i i f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解由已知得:()()1001lim ni i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰ 4π=.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法： （1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()baf x dx x b a ϕ=-⎰()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=ta t a dx x f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=a A f x dx ⎰的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1ni i A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤； 然后，求和，得A 的近似值()1ni i i A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→ba i ni i dx x f x f A )()(lim 1ϕλ. 例34设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限()()()[]2lim .xx x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰.解()()()0lim x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰=()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()()()()()001lim 002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35计算反常积分:21dxx+∞-∞+⎰. 解21dx x +∞-∞+⎰=[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=. 2.14利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36数列{}n x :2……．极限存在吗？解由已知可得{}n x 单调递增且有界，由单调有界原理，知limn n x →∞存在．又n x，lim n n n x →∞=记lim=t,n n x t →∞=则 即可证2n x <，得到2=t . 2.15直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆； （2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36()()()()1f x x x e x π=---，求()'f π. 解()'f π()()()()()()=lim lim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f ，()''0=-2f ， 则()()2limx f x xx→-=.A:不存在B ：0C ：-1D ：-2 解()2lim x f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.例38若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '. 解0()(0)(0)lim x f x f f x→-'=2010!=.2.16利用连续性求极限[1]例39设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim x ddx+→+. 解原式1lim sin x f +→'=-1=-.2.17数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40求21lim(1sin )n n n n→∞-. 解令1t n =,则原式2320001sin sin 1cos lim (1)lim lim3t t t t t t ttt t t →→→--=-==， 所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim13t tt→=16=.。