2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章+第八节+曲线和方程及答案

＋ ｘ ，代入圆 Ｎ 的 方 程， 得 １０ （ ｘ＋３） ２ ＝ １， 所 以， 当 Ｐ 点 坐 标 为
３
９
æ
ç
－
３＋
３
１０ ，
１０
ö
÷
时，
｜
ＰＦ
｜
有最小值
１０ －１．
è
１０ １０ ø
（２）存在．设 Ｒ（２ｔ，ｔ２ ）， 过点 Ｒ 的切线方程为 ｘ－ ２ｔ ＝ ｍ（ ｙ－
ｔ２ ） ，
令 ｙ ＝ －１，则有 ｘ ＝ ２ｔ－ｍ（ ｔ２ ＋１） ．
ｍ ＝ １ 时，ｌ：ｘ－ｙ ＝ １，直线 ｘ－ｍｙ－１ ＝ ０ 为 ｘ－ｙ－１ ＝ ０，两直线重合，故 舍去 ｍ ＝ １，所以 ｍ ＝ －１．
显然直线 ｌ 过定点（０，－１） ，要使得直线 ｌ 被圆 ｘ２ ＋２ｘ＋ｙ２ －２４ ＝ ０ 截得的弦长最小，仅需圆心与定点（０，－１） 的连线与直线 ｌ 垂 直，此时圆心（ －１，０） 到（０，－１） 的距离为 ２ ，
１＋２
ａ２
ｂ２
＝
( ) æ
ç
１
＋
２
ö
÷
è ａ２ ｂ２ ø
２ａ２ ＋ｂ２ ２
＝
１ ２
æ
ç
４
＋
è
ｂ２ ａ２
＋４ａ２ ｂ２
ö
÷
ø
≥
１ ２
×（４＋４） ＝
４，当且仅
当
２ａ２
＝ ｂ２
１ 时等号成立，即 ａ２
＋
２ ｂ２
的最小值为
４．
二、直线与圆的综合应用的解题策略
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ｙ－２ ＝ －（ｘ－３）或 ｙ－２ ＝
２ ３
（ ｘ－ ３） ，
即 ｘ＋ｙ－５ ＝ ０ 或 ２ｘ－３ｙ ＝ ０．
答案 ｘ＋ｙ－５ ＝ ０ 或 ２ｘ－３ｙ ＝ ０
１－１ 直线 ｌ 经过点 Ｐ（３，２） 且与 ｘ 轴、ｙ 轴的正半轴分别交
于 Ａ、Ｂ 两点，△ＯＡＢ 的面积为 １２，则直线 ｌ 的方程为
０３ 解题方法 公式法、待定系数法、数形结合法和转化法．
０４ 核心素养 数学运算、直观想象．
０５ 关联考点 平面向量、方程、不等式、解三角形、圆锥曲线．
０６ 命题趋势 从近 ５ 年考题分析，高考在本章考查形式 比较稳定．对直线、圆进行单独考查的可能
性不大，仍将与圆锥曲线进行综合考查，以 求方程、长度、角度、斜率、最值、变量的取 值范围为主．
应关系；
[ )π
联 系
②当直线 ｌ 的倾斜角 α∈
０， ２
时，α 越大，直线 ｌ 的斜率越大；
( ) π
当 α∈
，π ２
时，α 越大，直线 ｌ 的斜率也越大；
③所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率
２．经过两点 Ｐ１（ ｘ１ ，ｙ１ ） ，Ｐ２（ ｘ２ ，ｙ２ ） （ ｘ１ ≠ｘ２ ） 的直线的斜率公
２０１５ 课标Ⅰ，２０
１２ 分
解答题
难
直线方程
求直线方程，直线斜率 与倾斜角关系的应用
公式法 直接法 直接法 公式法
数学运算 数学运算 数学运算 数学运算
公式法
数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容 直线的斜率、直线和圆的方程、直线与圆的 位置关系、弦长和切线方程等．
０２ 命题特点 将直线的斜率、直线方程、圆的方程与圆锥 曲线综合考查，有关直线、圆的基本知识虽 然难度不大，但它至关重要，是解题的基础 和关键．

第八节 曲线与方程1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P 点的坐标为(x ，y )，∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，平方得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]， 化简得(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝4. 答案：(x －2)2＋y 2＝42．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝M Q ，则Q 点的轨迹方程是________．解析：设Q(x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.答案：2x －y ＋5＝03．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －11．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [小题纠偏]1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM ―→·PN ―→＝0，则P 点的轨迹是________． 解析：因为PM ―→·PN ―→＝0，所以PM ⊥PN . 所以点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：以线段MN 为直径的圆2．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件 sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得AB 2R －AC 2R ＝12×BC2R，即AB －AC ＝12BC ，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．答案：16x 2a 2－16y23a2＝1(x ＞0且y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是________． 解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则x －2＋y ＋2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0. 答案：8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝02．已知M (－2,0)，N (2, 0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程． 解：设P (x ，y )，因为△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， 所以MP 2＋NP 2＝MN 2，所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得x 2＋y 2＝4.因为M ，N ，P 不共线，所以x ≠±2， 所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．3．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解：设M (x ′，0)，P (0，y ′)，N (x ，y )， 由MN ―→＝2MP ―→，得(x －x ′，y )＝2(－x ′，y ′)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x ′＝－2x ′y ＝2y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝y2.因为PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x ′，－y ′)，PF ―→＝(1，－y ′)， 所以(x ′，－y ′)·(1，－y ′)＝0， 即x ′＋y ′2＝0， 所以－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝0，即y 2＝4x .因此所求的轨迹方程为y 2＝4x .[谨记通法]直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．考点二 定义法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2017·扬州模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________________．解析：如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)2．(2019·常熟中学检测)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程________．解析：由题意知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切， ∴动点M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是以C (0，－3)为焦点，直线y ＝3为准线的抛物线， 故所求M 的轨迹方程为x 2＝－12y . 答案：x 2＝－12y[由题悟法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[即时应用]1．(2019·海门中学检测)已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是________．解析：∵△ABC 的周长为20，顶点B (0，－4)，C (0,4)， ∴BC ＝8，AB ＋AC ＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4，∴b 2＝20， ∴椭圆的方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)．答案：x 220＋y 236＝1(x ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP ＝1，动点C 的轨迹为曲线M .求曲线M 的方程．解：由题知CA ＋CB ＝CP ＋C Q ＋AP ＋B Q ＝2CP ＋AB ＝4＞AB ，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－12＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．考点三 代入法求轨迹方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN ―→＝λNM ―→.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1， 所以PN ―→＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM ―→＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN ―→＝λNM ―→得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . 因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.所以当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．[由题悟法]代入法求轨迹方程的4个步骤 (1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求所求动点P (x ，y )与已知动点Q(x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．[即时应用]1．(2019·丰县中学检测)定长为3的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，动点P 满足BP ―→＝2PA ―→，求点P 的轨迹方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2x ，y －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32x ，y 0＝3y ，又因为AB 的定长为3，所以x 20＋y 20＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简得x 24＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎪⎫33，0， 故MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0. 所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1. 因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是______________．解析：由(x ＋y －1)x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.所以方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.答案：射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝12．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ―→⊥BC ―→，则动点C 的轨迹方程为________．解析：由题意得AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB ―→⊥BC ―→，得AB ―→·BC ―→＝0，即2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．(2018·江苏太湖高级中学检测)若动点P (x ，y )满足条件|x ＋2＋y 2－x －2＋y 2|＝6，则点P 的轨迹是________．解析：|x ＋2＋y 2－x －2＋y 2|＝6表示点P 到(4,0)，(－4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P 轨迹是双曲线．答案：双曲线4．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________．解析：如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连结MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且MA ＝1，又因为PA ＝1， 所以PM ＝MA 2＋PA 2＝2， 即PM 2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝25．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )，满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6，则动点P 的轨迹方程是________．解析：因为动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2－6， 所以(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2－6，即y 2＝x ， 所以动点P 的轨迹方程是y 2＝x . 答案：y 2＝x6．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→，则点P 的轨迹方程为________．解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ，代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城一模)设点Q(2,0)，圆C ：x 2＋y 2＝1，若动点M 到圆C 的切线长与M Q 长的比等于2，则动点M 的轨迹方程是________．解析：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 满足MN ＝2M Q ，∵圆的半径ON ＝1， ∴MN 2＝MO 2－ON 2＝MO 2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )， 则x 2＋y 2－1＝2x －2＋y 2，化简得3x 2＋3y 2－16x ＋17＝0.答案：3x 2＋3y 2－16x ＋17＝02．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，AC ―→＝2CB ―→，则点C 的轨迹方程为________________．解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，① 又AC ―→＝2CB ―→，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋y 24＝13．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN ―→2＝λAN ―→·NB ―→，当λ＜0时，动点M 的轨迹为________．解析：设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN ―→2＝y 2，λAN ―→·NB ―→＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M 的轨迹为双曲线．答案：双曲线4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．解析：因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则AM ＝M Q ，所以MC ＋MA ＝MC ＋M Q ＝C Q ＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.答案：4x 225＋4y221＝15．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q(－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1. 故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6.(2019·扬州一模)如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段Q N 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：因为点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线P Q 的对称点Q ′在直线F 1P 的延长线上，故F 1Q ′＝PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又O Q 是△F 2F 1Q ′的中位线，所以O Q ＝12F 1Q ′＝2，设M (x ，y )，则Q(2x ，y )， 所以有4x 2＋y 2＝4.故点M 的轨迹方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 和点M (－2,0)，N (2,0)满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：因为|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0， 所以4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简变形，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x8．(2019·通州一模)已知⊙C ：(x ＋1)2＋y 2＝36及点A (1,0)，点P 为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C (－1,0)，半径等于6，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵AP 的垂直平分线交CP 于M ，∴MA ＝MP ，又MP ＋MC ＝6，∴MC ＋MA ＝6＞AC ＝2，∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝6,2c ＝2，∴a ＝3，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴点M 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝19．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ―→＝22PB ―→，求点P 的轨迹方程． 解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由已知知AP ―→＝22PB ―→， 又AP ―→＝(x －x 0，y )，PB ―→＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2， 化简得x 22＋y 2＝1. 即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. 10．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点．所以O 1M ＝x 2＋42，又O 1A ＝x －2＋y 2， 所以x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，所以动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0. 则Δ＝－32kb ＋64＞0.且x 1＋x 2＝8－2kb k 2，① x 1x 2＝b 2k 2，② 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0，所以k ＝－b ，此时Δ＞0，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC ―→＝t OM ―→＋(1－t )ON ―→(t ∈R)，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由OC ―→＝t OM ―→＋(1－t )ON ―→ (t ∈R)，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－－5－1(x －1)， 即y ＝x －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0,设C 的轨迹方程与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，因为OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0,所以OA ⊥OB .(2)假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其方程为x ＝ny ＋m ，代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0,此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m＝－1， 所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4,0)满足题意． 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n 2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n 得y 2＝2x －8.。

2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.6《双曲线》最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)若a <c ，则集合P 为双曲线；(2)若a ＝c ，则集合P 为两条射线；(3)若a >c ，则集合P 为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长度|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.()(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.()(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()解析(1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.答案x 28－y 28＝13.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.答案64.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是()A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析由题意可得3a ＝35a ＝5.答案56.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析由题意可得，a 2＋4a 2＝，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.答案4考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝()A.14B.35C.34D.45(2)(2019·西安调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析(1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案(1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】(1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A.215a 2 B.15a 2C.30a 2D.15a 2(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为()A.8B.10C.4＋37D.3＋317解析(1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.答案(1)B (2)B考点二双曲线的标准方程【例2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1解析(1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.答案(1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】(1)(2018·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.解析(1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成－3b 2＝1，＝3，＝1，＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.答案(1)C (2)y243－x 23＝1考点三双曲线的性质多维探究角度1求双曲线的渐近线【例3－1】(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22x D.y ＝±32x 解析法一由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二由e ＝ca ＝＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .答案A角度2求双曲线的离心率【例3－2】(1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b21(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为()A.5B.2C.3D.2(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是()C.(1，2)D.(2，＋∞)解析(1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1答案(1)C (2)A角度3与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()－33，－36，－223，－233，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.答案A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】(1)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为()A.43B.54C.169D.2516(2)(2019·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.解析(1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x －m >0，－4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).答案(1)B (2)(0，2)[思维升华]已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程.[易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y ＝±12xB.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案B2.(2019·重庆九校联考)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.62解析由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e 1＝ 2.答案A3.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22解析法一由离心率e ＝ca＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.答案D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为()A.x 2－4y 251B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1解析由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，＝52，＝5，＝2，＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案C5.(2019·呼和浩特质检)已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x 解析根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a 28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x .答案D 二、填空题6.(2018·沈阳模拟)直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为________________.解析由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，ba ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案x 25－y 220＝17.设双曲线x 29－y216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.解析a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案32158.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.解析由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝c a ＝ 3.答案3三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.(1)解∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明法一由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.解(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥23.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.＝433，－y 203＝1.0＝43，0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为()A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22xD.y ＝±2x解析不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .c >2a ，a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案D12.(2019·广东六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]解析如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈π12，π6，∴sin 2β∈12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2].又e >1，∴e ∈[2，3＋1].答案D13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.解析设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.答案3－1214.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k的取值范围.解(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得－3k 2≠0，＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，1故k。