中考数学压轴题解析二十五

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。

2021中考考点必杀500题专练15（二次函数类压轴题）（30道）1．（2021·江西赣州市·九年级一模）规定：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，与该抛物线关于点M（m，n）（m ＞0，n≥0）成中心对称的抛物线为y′，我们称抛物线y′为抛物线y的发散抛物线，点M称为发散中心．已知抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），顶点为A，抛物线y1与该抛物线关于点（1，0）成中心对称．（1）m＝，点A的坐标是，抛物线y1的解析式是．（2）对于抛物线y0＝mx2＋4x＋3，如图，现分别以y1的顶点A1为发散中心，得抛物线y2；再以抛物线y2的顶点A2为发散中心，得抛物线y3，…，以此类推．①求抛物线y0＝mx2＋4x＋3以A1为发散中心得到的抛物线y2的解析式；②求发散抛物线y4的发散中心A3的坐标；③若发散抛物线y n的顶点A n的坐标为（3×2n﹣2，2n﹣1），请直接写出A n A n﹣1的长度（用含n的式子表示）．【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣．【分析】（1）把点（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得A的坐标，进而根据中心对称的性质得到A1，即可判断抛物线y1的解析式；（2）①先求得A2的坐标，即可根据中心对称的性质求得抛物线y2的解析式；②根据中心对称的性质求得A3的坐标；③根据勾股定理求得AAn，则由直线对称的性质得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得结果．【详解】解：（1）∵抛物线y0＝mx2＋4x＋3经过点（﹣1，0），∴m﹣4＋3＝0，∴m ＝1，∴y 0＝x 2＋4x ＋3，∵y 0＝x 2＋4x ＋3＝（x ＋2）2﹣1，∴顶点A 的坐标是（﹣2，﹣1），∵抛物线y 1与抛物线y 0关于点（1，0）成中心对称，∴抛物线y 1的顶点A 1为（4，1），∴y 1＝﹣（x ﹣4）2＋1，即y 1＝﹣x ＋8x ﹣15，故答案为：1，（﹣2，﹣1），y 1＝﹣x ＋8x ﹣15；（2）①∵A （﹣2，﹣1），A 1（4，1），抛物线y 2与抛物线y 0关于点A 1成中心对称，∴A 2（10，3），∴y 2＝﹣（x ﹣10）2＋3＝﹣x 2＋20x ﹣97；②设A 3（a ，b ），则2102a -+=，12b -+＝3，解得：a ＝22，b ＝7，∴A 3（22，7）；③∵A （﹣2，﹣1），An 的坐标为（3×2n ﹣2，2n ﹣1），∴AAn ＝2，∴AnAn ﹣1＝12AAn ＝2n ﹣．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法、抛物线的性质，新定义的理解，点的对称坐标的求法等知识，综合性较强，理解新定义并熟练掌握抛物线的性质是解题关键．2．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=-+≠L y ax ax c a 与x 轴交于点O ，B ，点(3,3)A 在抛物线L 上．（1）求点B 的坐标与抛物线L 的解析式；（2）将抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数），平移后抛物线分别记作1L ，2L ，…，n L ，顶点分别为1M ，2M ，…，n M ，顶点横坐标分别为2，3，…，1n +，与y 轴的交点分别为1P ，2P ，…，n P ；①在1L ，2L ，…，n L 中，是否存在一条抛物线，使得点A 恰好落在这条抛物线上？若存在，求出所有满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由；②若3n ≥，过点n M 作y 轴的平行线交2-n L 于点Q ，若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求n 的值；（3）如图2，E 是抛物线L 上的一动点，且保持在第四象限，直线AE 关于直线OA 的对称直线交抛物线于点F ，点E ，F 到直线x 1=-的距离分别为1d ，2d ，当点P 在抛物线上运动时，12d d ⋅的值是否发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，请说明理由．【答案】（1）()2,0B 抛物线：22y x x=-（2）①n L ：21230y x x =-+②3n =（3）不变化，12=1d d ⋅【分析】(1)把()()3,3,0,0A O 两点带入抛物线即可求出解析式，B 点坐标；(2)①根据平移规律设出n L ：()22y x n x n n =----（）再带入()3,3A 即可算出来②根据平移规律设出1n L -，2-n L ，n L 求出n M 坐标，进而求出Q 点坐标，再根据1n n n M Q P p -=即可求出n ；（3）不变化，12=1d d ⋅，设E(11,x y )，由对称性可知F 11,y x ()，进而可以求出直线L AF 联立L AF 与抛物线解得F ，从而1d 和2d 都用11,x y 带数式子表示出来，即可求出定值【详解】(1)抛物线22y ax ax c =-+过点()()3,3,0,0A O 带入得0396ca a =⎧⎨=-⎩解得1a c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式：22y x x=-当y=0时，220x x -=，解得x 1=0,x 2=2()20B ∴,(2)①∵抛物线L 沿直线y x =-作n 次平移（n 为正整数）∴设n L ：()22y x n x n n =----（）若过()3,3A ,则有()23323n n n =----（），解得n 1=0(舍去),n 2=5∴n L ：21230y x x =-+②根据平移可得()222:2232n L y x n x n n -=--+-+，()22:22n L y x n x n n =-+++∴n M （n+1,-n-1）当1x n =+时，25n y n-=-()1,5Q n n ∴+-()516n M Q n n ∴=----=由平移可得2211:2n n L y x nx n n --=-+-()()2210,,0,n n P n n P n n -∴-+12n n P P n-∴=若由1n P -，n P ，n M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形则126n n n M Q P p n -===解得3n =（3）不变化，12=1d d ⋅设E(11,x y )，则11=1d x +由对称性可知F 11,y x ()，()3,3A 设直线L AF :y kx b=+{1133x y k b k b =+=+解得1111339333x k y x b y -=--=--⎧⎪⎨⎪⎩∴L AF :1111393333x x y x y y --=+---联立111123933332x x y x y y y x x --=+---=-⎧⎪⎨⎪⎩解得F 12111,12x y ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()21112111111111111d x x d d x x ∴=+-=++∴=+⋅=+【点睛】本题是二次函数综合题，考察了二次函数图像平移，平行四边形等知识点，善于用用代数式设抛物线，用代数式表示点是解题关键3．（2021·江西九年级二模）如图，已知抛物线21:()(0,0,0)C y a x m n a m n =-+>>>，与y 轴交于点A ，它的顶点为B ．作抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C ，与y 轴交于点C ，它的顶点为D ．我们把2C 称为1C 的对偶抛物线．若,,,A B C D 中任意三点都不在同一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线1C 的对偶四边形，直线CD 为抛物线1C的对偶直线．（1）求证：对偶四边形ABCD 是平行四边形．（2）已知抛物线21:(1)1C y x =-+，求该抛物线的对偶直线CD 的解析式．（3）若抛物线1C 的对偶直线是25y x =--，且对偶四边形的面积为10，求抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式．【答案】（1）见解析；（2）直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【分析】（1）根据题意，利用勾股定理分别解出AB CD AD BC 、、、的长，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可解题；（2）由抛物线21:(1)1C y x =-+，分别解出(0,2),(1,1)A B ，(0,2),(1,1)C D ---，利用待定系数法即可求得直线CD 的解析式；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，根据中心对称的性质，解得10AC =，求得对偶四边形的面积，进而得到D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，再代入二次函数的解析式即可解题．【详解】解：（1）1C 关于原点对称的曲线为2C A ∴点关于原点对称的是点C ，B 点关于原点对称的是点D ，令20,nx y am ==+22(0,),(0,),(,),(,)A am n C am nB m n D m n ∴+----AB ==C D ==AD ==BC ==,AB CD AD BC∴==∴对偶四边形ABCD 是平行四边形；（2） 抛物线21:(1)1C y x =-+，此时(0,2),(1,1)A B设直线CD 的解析式为：2y kx =-，代入点(1,1)D --得，1k =-，∴直线CD 的解析式为：2y x =--；（3）过点B 作BE AC ⊥，垂足为点E ，当0,5x y ==-，(0,5)C ∴-A 点与C 点关于原点对称，(0,5)A ∴10AC ∴=∴对偶四边形的面积为10，152ABC S AC BE ∴=⋅= 1BE ∴=B ∴点的横坐标为1，即D 点的横坐标为1-，点D 在直线CD 上，∴顶点(1,3)D --，顶点()1,3B 抛物线21:(1)3C y a x =-+，将(0,5)A 代入得，2(01)35a -+=2a ∴=抛物线21:2(1)3C y x =-+，∴抛物线1C 的对偶抛物线2C 的解析式为：22(1)3y x =-+-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及勾股定理、平行四边形的判定是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·江西九年级一模）如图，已知抛物线C 1：y 1＝x 2＋2x ＋a ＋1的顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2：y 2＝（x ﹣a ）2＋2a ＋1，抛物线C 2的顶点为D ，两抛物线交于点C ．（1）若a ＝1，求点C 的坐标．（2）随着a 值的变化，试判断点A ，B ，D 是否始终在同一直线上，并说明理由．（3）当2AB ＝BD 时，试求a 的值．【答案】（1）11324⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）A ，B ，D 始终在同一直线上，理由见解析；（3）-2或2．【分析】（1）令y1=y2，并把a=1代入，即可得到关于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y1，进而得到C 点坐标；（2）由题意可以得到A、B坐标，并得到直线AB的解析式，然后把D点坐标代入直线AB的解析式即可得知A，B，D是否始终在同一直线上；（3）分两种情况讨论．【详解】解：（1）若a=1，令y1=y2，即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，即4x=2，∴x=1 2，将12x=代入y1＝x2＋2x＋2中得：1134y=，∴C点坐标为（11324，）；（2）点A，B，D始终在同一直线上，理由如下：由题意可得点A坐标为（-1，a），点B坐标为（0，a+1），∴直线AB的解析式为y=x+a+1，∵D是抛物线y2的顶点，∴D点坐标为（a，2a+1），∵当x=a时，y=x+a+1=2a+1，∴点D在直线AB上，∴A、B、D始终在同一直线上；（3）①如图，当A为BD中点时，满足2A B=BD，此时可得01 2a+=-，即a=-2；②如图，当B在线段AD上，存在2AB=BD，分别过A、D两点作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N，可得AM∥DN，∴12AM ABDN BD==，即112a=，解得a=2，综上所述，a的值为-2或2．【点睛】本题考查抛物线平移的综合应用，熟练掌握抛物线的图象与性质、一次函数的图象与性质、中点坐标公式及平行线分线段成比例定理是解题关键．5．（2021·江西）如图，已知二次函数L ：y ＝22x n﹣4x ﹣2，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1①若二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数y ＝22x n﹣4x ﹣2中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线y ＝﹣2于点A 1，A 2，A 3，…，A n ，顶点依次为B 1，B 2，B 3，…，B n ．①连接CB n ﹣1，B n ﹣1A n ﹣1，CB n ，B n A n ，求证：△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ；②求11CA B S ∆：22CA B S ∆：33CA B S ∆：…：B CAn n S ∆的值．【答案】（1）22n --；（2）①n ＝4；②y ＝x ﹣6；（3）①证明见解析；②22221:2:3,,n ．【分析】(1)用顶点坐标公式即可求最小值；(2)①求出二次函数L 与二次函数L 1的顶点，二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，列方程可求n ；②二次函数L 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 与n 有关，消去n 即可得到y 与x 的函数关系；(3)①画出图形，用抛物线对称性可以得到△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n 均为等腰三角形，从而可证；②用n 表示n n CA B S ∆即可得到答案．【详解】解：（1）∵二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，∴顶点为224(2)(4)4(,)2224n n n⨯⨯---⨯⨯，化简得(,22)n n --，∴二次函数的最小值是22n --；（2）∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴二次函数L 向左平移（3n ﹣4）个单位得到二次函数L 1，2222(34)22(24)22y x n n n x n n n n=-+---=+---，∴抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，①∵二次函数L 与二次函数L 1关于y 轴对称，∴顶点也关于y 轴对称，即(,22)n n --与(42,22)n n ---关于y 轴对称，∴(42)0n n +-=，解得n ＝4，②∵抛物线L 1的顶点坐标为(42,22)n n ---，∴顶点横坐标42x n =-，顶点纵坐标22y n =--，即4222x n y n =-⎧⎨=--⎩，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系为：6y x =-，（3）①∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴顶点横坐标x n =，顶点纵坐标22y n =--，∴顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在的函数关系是22y n =--，即抛物线L ：2242y x x n =--，其中n 为正整数的顶点都在直线22y n =--上，如图所示：∴系列抛物线中的顶点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在同一直线22y x =--上，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠A n CB n ，根据抛物线的对称性可知：B n ﹣1C ＝A n ﹣1B n ﹣1，B n C ＝A n B n ，∴∠A n ﹣1CB n ﹣1＝∠B n ﹣1A n ﹣1C ，∠B n A n C ＝∠A n CB n ，∴∠B n ﹣1A n ﹣1C ＝∠B n A n C ，∴△CA n ﹣1B n ﹣1∽△CA n B n ．②过B n 作B n D n ⊥直线y ＝﹣2于D n ，如图所示：∵二次函数L ：2242y x x n=--的顶点为(,22)n n --，∴B n (,22)n n --，∴B n D n ＝(2)(22)n ----＝2n ，由22422y x x n y ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩可得1102x y =⎧⎨=-⎩或2222x n y =⎧⎨=-⎩，∴A n （2n ，﹣2），∴A n C ＝2n ，∴n n A B C S ∆＝12A n C •B n D n ＝2n 2，112233:::...:n nCA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆2222(21):(22):(23):...:(2)n =⨯⨯⨯⨯22221:2:3:...:n =．【点睛】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是画出图形，求出相关点坐标从而表示线段、面积等．6．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，OAC ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到ONB ∆，3OB OC ==，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B ，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①点D 是抛物线的顶点，试判定BND ∆的形状，并加以证明；（3）如图②在第一象限的抛物线上，是否存在点M ，使2MBN AOC S S ∆∆=？若存在，请求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由见解析；（3）存在点720,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使 2MBN AOC S S ∆∆=【分析】（1）由3OB OC ==，可得出点B 、C 的坐标，然后将点B 、C 的坐标代入二次函数进行求解即可；（2）过点D 作DG y ⊥轴于点G ，根据2223(1)4y x x x =-++=--+与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，即可求出A 、D 的坐标，然后可证明NOB DGN ∆≅∆，从而得出90ONB GND ∠+∠=︒，即可判断；（3）连接OM ，设点M 的坐标为()2,23M m m m -++，根据MBN MON MOB NOB S S S S ∆∆∆∆∴=+-即可求解；【详解】解：（1）3OB OC == ，(30)B ∴，，(03)C ，，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，3093c b c =⎧∴⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）BND ∆是等腰直角三角形，理由如下：过点D 作DG y ⊥轴于点G ，2223(1)4y x x x =-++=--+ 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D ，(14)A -∴，，(14)D ，，1ON OA DG ∴===，3OB GN ==，90NOB DGN ∠=∠=︒ ，NOB DGN ∴∆≅∆，90ONB OBN ∠+∠=︒，OBN GND ∴∠=∠，BN ND =，90ONB GND ∴∠+∠=︒，90DNB ∴∠=︒，BND ∴∆是等腰直角三角形，（3）连接OM ，设点M 的坐标为()223M m m m -++，，3OB OC ==，1OA ON ==，()223M m m m -++，，MBN MON MOB NOBS S S S ∆∆∆∆∴=+-()211132313222m m m =+⨯-++-⨯⨯237322m m =-++131322AOC S ∆=⨯⨯= ，237332222m m ∴-++=⨯，解得：173m =，20m =（不合题意舍去）72039M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，即存在点72039M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使2MBN AOC S S ∆∆=（方法有很多的，比如过点M 作//MH y 轴交BN 于H 等等，正确的请按步骤给分）【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数与几何图形的结合、以及求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键；7．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，已知抛物线1C 与x 轴交于(4,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,2)C ．将抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线22C C ，与x 轴交于D ，E 两点（点D 在点E 的左侧），与抛物线1C 在第一象限交于点M ．（1）求抛物线1C 的解析式，并求出其对称轴；（2）①当1m =时，直接写出抛物线2C 的解析式；②直接写出用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）连接DM AM ，．在抛物线1C 平移的过程中，是否存在ADM △是等边三角形的情况？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =；（2）①21522=-+y x x ；②点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在，5m =-．【分析】（1）直接利用待定系数法即可求得抛物线解析式，继而根据解析式即可求得抛物线的对称轴；（2）①利用抛物线平移规律即可求得C 2解析式；②利用抛物线平移规律即可求得M 的横坐标，进而代入C 1抛物线解析式即可；（3）过点M 做MN AD ⊥于点N ，分别表示出点D 、M 、N 、A 的坐标，根据两点间的坐标公式可得DN 、MN ，根据等边三角形的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）设抛物线1C 的解析式为()20y ax bx c a =++≠．则164002a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，其中对称轴是直线32x =（2）①由（1）知：抛物线1C 的解析式为213222y x x =-++，即21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，根据抛物线平移规律可得：抛物线2C 解析式为：22132515122822y x x x ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭②根据抛物线平移规律可得，抛物线1C 向右平移(0)m m >个单位得到抛物线解析式为：213225228m y x +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其对称轴为：322mx +=∴交点M 横坐标为：3233332222222m m m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭+=+=将其代入1C 抛物线解析式可得：2258m y -=∴点M 的坐标为2325,28m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（3）存在m 值使ADM △是等边三角形．理由如下：过点M 做MN AD ⊥于点N∵()()()232531,0,,,,0,4,004282m m m D m M N A m ⎛⎫+-+⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()35122m m DN m +-=--=2258m MN -=若ADM △是等边三角形，则30DMN ∠=︒，∴3MN DN =即2255382m m --=解得4355m m =-=，（不合题意，舍去），∴当435m =-时，ADM △是等边三角形．【点睛】本题考查二次函数的有关知识，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质、待定系数法求解析式、抛物线平移规律、等边三角形的性质．8．（2021·江西上饶市·九年级期末）已知抛物线2y x 2x 3=-++和抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）．（1）抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点______，顶点坐标______；（2）当1n =时，请解答下列问题．①直接写出n y 与x 轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线y ，n y 的一条相同的图象性质______；②当直线12y x m =+与y ，n y 相交共有4个交点时，求m 的取值范围．（3）若直线y k =（0k <）与抛物线2y x 2x 3=-++，抛物线2233n n n y x x n =--（n 为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点A ，点B ，点C ，点D ，当AB BC CD ==时，求出k ，n 之间满足的关系式．【答案】（1）(1,0)-，(3,0)；(1,4)；（2）①(1,0)-，(3,0)；41,3⎛⎫-⎪⎝⎭；对称轴为直线1x =（或与x 轴交点为(1,0)-，(3,0)）；②97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）32270n k nk ++=．【分析】（1）根据()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题得以解决；（2）①将n ＝1，代入y n 得()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，据此可以求得该抛物线与x 轴的交点和该抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结果，写出抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质即可；②求出直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时m 的值，直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时m 的值，12y x m =+过点(1,0)-时m 的值，12y x m =+过点(3,0)时m 的值，根据函数图象，从而可以得到当直线y ＝12x ＋m 与y ，y n 相交共有4个交点时，m 的取值范围；（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，根据AB BC CD ==可得229AD BC =，进而可以求出k ，n 之间满足的关系式．【详解】解：（1）∵抛物线()()()22233114y x x x x x =-++=--+=--+，∴当y ＝0时，x 1＝3，x 2＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，4），∴抛物线y ＝−x 2＋2x ＋3与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），故答案为：（−1，0），（3，0）；（1，4）；（2）①当n ＝1时，抛物线()()()22112141113133333y x x x x x =--=--=-+，∴当y 1＝0时，x 3＝3，x 4＝−1，该抛物线的顶点坐标为（1，43-），∴该抛物线与x 轴的交点为（3，0），（−1，0），抛物线y ，y n 的一条相同的图象性质是对称轴都是x ＝1（或与x 轴的交点都是（−1，0），（3，0））；②当直线12y x m =+与y 相交只有1个交点时，由21223y x m y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，得23302x x m -+-=，则2234(3)024b a m c ⎛⎫---= ⎪⎭∆⎝=-=，∴5716m =，当直线12y x m =+与n y 相交只有1个交点时，由21212133y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得227(66)0x x m --+=，则()()224742660b ac m ∆=-=--⨯⨯--=，∴9748m =-，∴97574816m -<<.把(1,0)-，代入12y x m =+，得12m =；把(3,0)，代入12y x m =+，得32m =-，∴97574816m -<<，且32m ≠-，12m ≠；（3）由223y k y x x =⎧⎨=-++⎩，得2230x x k -+-=，∴()2221212124164AD x x x x x x k =-=+-=-，由2233y k n n y x x n =⎧⎪⎨=--⎪⎩，得22(33)0nx nx n k --+=，∴()22234343412416k BC x x x x x x n=-=+-=+，∵AB BC CD ==，∴229AD BC =∴12164916k k n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，化简得：32270n k nk ++=．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；（3）存在点D（32，154），使四边形ABDC的面积最大为758．（4）在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；（3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．【详解】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3，令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为M （1，﹣4），连接OM ．则△AOC 的面积=32，△MOC 的面积=32，△MOB 的面积=6，∴四边形ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图（2），设D （m ，m 2﹣2m ﹣3），连接OD ．则0＜m ＜3，m 2﹣2m ﹣3＜0且△AOC 的面积=32，△DOC 的面积=32m ，△DOB 的面积=﹣32（m 2﹣2m ﹣3），∴四边形ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积=﹣32m 2+92m+6=﹣32（m ﹣32）2+758．∴存在点D （32，154-），使四边形ABDC 的面积最大为758．（4）有两种情况：如图（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E 的坐标为（0，3）．∴直线BE 的解析式为y=﹣x+3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1125x y =-⎧⎨=⎩2230x y =⎧⎨=⎩∴点Q 1的坐标为（﹣2，5）．如图（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F 的坐标为（﹣3，0）．∴直线CF 的解析式为y=﹣x ﹣3．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩解得：1103x y =⎧⎨=-⎩2214x y =⎧⎨=-⎩∴点Q 2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（﹣2，5）、Q 2（1，﹣4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．说明：如图（4），点Q 2即抛物线顶点M ，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．考点：二次函数综合题．10．（2021·江西赣州市·九年级期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F 2都是抛物线F 1的过顶抛物线，设F 1的顶点为A ，F 2的对称轴分别交F 1、F 2于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax 2+bx ，C （2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A 、B 、C 、D 四点，那么四边形ABCD 为（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形（2）如图2，抛物线y=ax 2+c 的过顶抛物线为F 2，B （2，c －1）．求四边形ABCD 的面积．（3）如果抛物线2127333y x x =-+的过顶抛物线是F 2，四边形ABCD的面积为B 的坐标．【答案】（1）①a=1，b=2；②D ；（2）4；（3）（1+1），（11）．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；（2）根据对称性，可得AC 的长，根据顶点式解析式，可得F 2根据待定系数法，可得41a c c +-=，根据四边形的面积公式，可得答案；（3）分类讨论：B 在A 的右侧，B 在A 的左侧，AC=BD =2，可得答案．【详解】解：（1）①由A 、C 点关于对称轴对称，得对称轴1x =将C 点坐标代入解析式，及对称轴公式，得12420b a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故答案为：1,2a b ==-．②当1x =时，2y x =，()11B ，；221y x x =-=-，()11D -，；四边形ABCD 的对角线相等互相平分，且互相垂直，∴四边形ABCD 时正方形故选D ．（2）∵B （2，c －1），∴AC =2×2=4．∵当x =0，y =c ，∴A （0，c ）．∵F 1：y=ax 2+c ，B （2，c －1）．∴设F 2：y=a （x －2）2+c －1．∵点A （0，c ）在F 2上，∴4a +c －1=c ，∴14a =．当2x =时，24y ax c a c =+=+，()24B a c +，∴BD =（4a +c ）－（c －1）=2．∴S 四边形ABCD =4．（3）如图所示：()221271123333y x x x =-+=-+设F 2的解析式()21123y x a b =--++，()()211,2,31,2,1,23B a b C b a D a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭B 点在A 点的右侧时，11132AC a =+-=212223BD a b =+--=解得：3a =1b =-，()113,1B +B 在点A 的左侧时，()11132AC a =-+=212223BD a b =+--=解得：3a =-1b =-，()213,1B -综上所述，()113,1B +，()213,1B ．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．11．（2021·江西九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线1y =与抛物线24y x =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点C 在AB 的延长线上，且BC n AB =⋅（n 为正整数）．过点B ，C 的抛物线L ，其顶点M 在x 轴上．（1）求AB 的长；（2）①当1n =时，抛物线L 的函数表达式为______；②当2n =时，求抛物线L 的函数表达式；（3）如图2，抛物线2:n n n E y a x b x c =++，经过B 、C 两点，顶点为P ，且O 、B 、P 三点在同一直线上，①求n a 与n 的关系式；②当n k =时，设四边形PAMC 的面积k S ，当n t =时，设四边形PAMC 的面积t S （k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤），若4k t S S =，请直接写出k t a a ⋅值．【答案】(1)1，(2)①()2241484y x x x =-=-+，②2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，(3)163或85【分析】（1）把y=1代入，求出A 、B 两点坐标即可；（2）①把1n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；②把2n =代入，求出B 、C 、M 坐标即可；（3）①类似于（2）求出求出B 、C 、P 坐标，代入解析式可求；②根据4k t S S =，求出k 和t 的关系，确定它们的值，再根据①中结论求解即可．【详解】解：（1）对于24y x =，当y=1时，有214x =，解得：1=2x 或1-2，∴A (1-2，1)，B (12，1)，∴AB =11-(-)=122，故答案为：1；（2）①当n=1时，BC =AB =1，则C(32，1)，抛物线对称轴为：13()2122+÷=,由M 为抛物线顶点，∴M(1，0)，设抛物线解析式为：()21y a x =-，把B(12，1)代入得，114a =，∴a =4，∴抛物线L 的函数表达式为：()2241484y x x x =-=-+；故答案为:()2241484y x x x =-=-+②当n=2时，BC =2AB =2，则C(52，1)，同理，M(32，0)，设232y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点B ，则有1a =，∴抛物线L 的函数表达式为：2239324y x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭；（3）①如图，可知BC nAB n ==，则21,12n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵O 、B 、P 三点共线，直线OB 解析式为：2y x=∴1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴122n nbn a +=-，将点B(12，1)，1,12n P n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：211142(1)1142122n n n n n n n na b c n n a b c n b n a ⎧++=⎪⎪++⎪++=+⎨⎪+⎪=-⎪⎩即4n a n =-；②当n=k 时，AC=k+1，21(1)22k k S AC PM +=⨯⨯=，当n=t 时，AC =t+1，21(1)22t t S AC PM +=⨯⨯=，又∵4k t S S =，∴22(1)4(1)22k t ++=，解得，21k t =+，∵k ，t 为正整数，16k ≤≤，16t ≤≤，当t =1时，k =3，4416313k t a a --⋅=⨯=，当t=2时，k =5，448525k t a a --⋅=⨯=，【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的知识，准确进行计算．12．（2021·江西九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为D （0，4），AB ＝，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C '的解析式为（用含m 的关系式表示）；②求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C '上的对应点为P '，设M 是C 上的动点，N 是C '上的动点，试探究四边形PMP 'N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+4；（2）①y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②2＜m ＜；（3）能，m ＝﹣3或6．【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），再设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （，0）代入可得a ＝﹣12即可解答；（2）①由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），可得出抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4；②联立两抛物线的解析式，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m 的不等式组，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF ＝FM ，∠PFM ＝90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE ＝FH ＝2，EF ＝HM ＝2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】解：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （﹣，0），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+4，把A （﹣，0）代入可得a ＝﹣12，∴抛物线C 的函数表达式为y ＝﹣12x 2+4．（2）①∵将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '，∴抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），∴抛物线C ′的解析式为y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4，故答案为：y ＝12（x ﹣2m ）2﹣4．②由221421(2)42y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到x 2﹣2mx +2m 2﹣8＝0，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有222(2)4(28)020280m m m m ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，解得2＜m ＜，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在y＝﹣12x2+4上，∴m﹣2＝﹣12（m+2）2+4，解得m17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣12x2+4中，2﹣m＝﹣12（m﹣2）2+4，解得m ＝6或0（舍弃），∴m ＝6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上，四边形PMP ′N 能成为正方形，m ＝﹣3或6．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．13．（2021·江西九年级月考）如图，已知二次函数L ：2242y x x n=--，其中n 为正整数，它与y 轴相交于点C ．（1）求二次函数L 的最小值（用含n 的代数式表示）．（2）将二次函数L 向左平移()34n -个单位得到二次函数1L ．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，求n 的值；②二次函数1L 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式．（3）在二次函数2242y x x n=--中，当n 依次取1，2，3，…，n 时，抛物线依次交直线2y =-于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，顶点依次为1B ，2B ，3B ，…，n B ．①连接1n CB -，11n n B A --，n CB ，n n B A ，求证：11n n n n CA B CA B --∆∆∽；②求112233::::n n C B C B C B C B S S S S ∆∆∆∆ 的值．【答案】（1）二次函数的最小值是22n --；（2）①4n =；②6y x =-；（3）①见解析；②22221:2:3::n【分析】（1）把二次函数写成顶点式即可；（2）①根据两个解析式的顶点关于y 轴对称的坐标变化，列方程即可；②抛物线1L 的顶点坐标之间的关系，确定解析式即可；（3）①根据两个等腰三角形的底角对应相等可证相似，或三角函数证角相等也可；②可以求出三角形面积的规律，分别表示三角形面积，再比即可；或利用相似三角形的性质求面积比．【详解】解：（1）二次函数2224n y x x =--化为顶点式为：()2222y x nx n =--()2222][y x n n n =---()2222y x n n n =---，所以，二次函数的最小值是22n --．（2）∵()22422222y n nx x x n n =--=---，∴抛物线L ：242y x x =--的顶点坐标为()22n n --,，∴平移后的抛物线1L ：()()222342224222y n x n n x x n x n=-+---=+---，∴抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---．①若二次函数L 与二次函数1L 关于y 轴对称，则420n n -+=，解得4n =．②∵抛物线1L 的顶点坐标为()42,22n n ---，∴42x n =-，∴226y n x =--=-，∴6y x =-．（3）①∵系列抛物线中的顶点1B ，2B ，3B ，…，n B 都在同一直线22y x =--上，∴11n n n n A CB A CB --∠=∠．方法一：根据抛物线的对称性可知11n n CA B --∆和n n CA B ∆都是等腰三角形，∴1111n n n n A CB B A C ----∠=∠，n n n n B A C A CB ∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．方法二：过点n B 作n B F ⊥直线2y =-于点F ，过点1n B -作1n B E -⊥直线2y =-于点E ，∵tan 22n n A C n B n ==∠，()11212n 1ta n n n A C n B --=--==∠，∴11tan tan n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n B A C B A C --∠=∠，∴11n n n n CA B CA B --∆∆∽．②方法一：∵212222n n CA B S n n n ∆=⨯⨯=，∴()()()()11223322222222::::21:22:23::21:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S S S n n S ∆∆∆∆=⨯⨯⨯⨯= ．方法二：∵系列抛物线中的n n CA B ∆都相似，∴112233::::n n CA B CA B CA B CA B S S S S ∆∆∆∆ 等于相似比的平方．∵这些三角形的相似比恰好等于123::nCA CA CA CA ::2:4:6::2n= 1:2:3::n = ，∴1122332222::::1:2:3::n n CA B CA B CA B CA B S n S S S ∆∆∆∆= ．【点睛】本题考查了二次函数和相似三角形的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质进行计算．14．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为B （4，0），另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点．（1）求m 的值及C 点坐标；（2）P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q ．①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．【答案】（1）m=4；C （0，4）；（2）①P （P （；②当t=2时，S 四边形PBQC 最大=16；理由见解析．【分析】（1）把B （4，0）代入可求解析式，再用解析式C 点坐标；（2）根据菱形对角线互相垂直平分，求直线PQ 解析式，与抛物线解析式联立方程组即可；（3）过点P 作y 轴的平行线l 交BC 于点D ，交x 轴于点E ；过点C 作l 的垂线交l 于点F ，设点P （t ，-t 2+3t+4），表示出S △PCB 的面积，再乘以2，得到S 四边形PBQC 的函数解析式，根据解析式求最大值．【详解】（1）将B （4，0）代入y=-x 2+3x+m ，解得m=4，∴二次函数解析式为y=-x 2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4）（2）①如图，∵点P在抛物线上，∴设P（a，-a2+3a+4），当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，∵B（4，0），C（0，4）∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，∴a=-a2+3a+4，∴1a=±∴P（）或P（）②如图，设点P（t，-t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=-x+4，∵点D在直线BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC =2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=112()22PD CF PD BE⨯⨯+⨯⨯24416PD CF PD BE PD t t =⨯+⨯==-+∵0<t<4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16【点睛】。

2020上海中考数学第18题（填空压轴题）18、已知四边形ABCD 是矩形，AB =6，BC =8，点O 在对角线AC 上，已知圆O 半径为2，且与矩形ABCD 没有公共点，则线段AO 的取值范围是 。

解：如右图所示AO 的下限为10sin 3r DAC ÷∠=如右图所示AO 的下限为20sin 3AC r DAC -÷∠=综上所述：102033AO <<24、在平面直角坐标系中，直线152y x =-+交y 轴于点B ，抛物线2y ax bx=+经过点A .(1)求线段AB 的长.解：直线152y x =-+与y 轴交点为()0,5B ，与x 轴交点为()10,0A则OA =10，OB =52222210552AB AO BO AB =+∴=+=(2)若抛物线经过点C ，点C 在线段AB 上，且BC=5，求抛物线解析式. 解：过C 作CH ⊥x 轴，垂足为H()()()245455554,2,42,410,014244100100521542CH OB CH AC BO AB AC CH CH C C A a a b a b b y x x∴==∴=∴=⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩∴=-+则∥又将和代入可得：抛物线解析式为(3)若抛物线顶点在AOB △内，求a 的取值范围. 解：()201001010a b a =+=-由可得，即525250252110D D D bx ax y a a ∴=-==∴<-<∴-<<将代入解析式得：2020上海中考数学第25题（压轴题）25、如图，O 是 ABC ∆的外接圆，且AB AC =，BO 延长线交AC 于D .(1)求证：2A ABD ∠=∠证：联结OA ，OC()12..132321O ABC OA OB OC OAB OCA OA OC OB OAAB CA OAB OCA S S S BAC ∴==∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴≅∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠是△的外接圆在△和△中有△△得证(2)如果BDC ∆是等腰三角形，求C ∠的大小 解：1233318023318022.5367.523344BD BCABD A ABD BDC ABD A C AB AC ABC ABC ABC A C C BD CDABD A BDC DBC ABC AB AC C ABC ABC A C αααααααααααααααα=∠=∠=∠=∠+∠=∴∠==∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∠=∴∠=∠==∴∠=∠∠+∠+∠=①若记，由（）得在△中，在中，，②若同①可知，，，在中，180244180184727267.5C BD CD DBC C AB ACABC C C ααααα︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∴∠=∠∠=︒︒，③若则又，矛盾，此情况舍去综上所述，或(3)如果AD =2，CD =3，求BC 的长. 解：222222222211224334437325491692556AO BC EA AF BC BD FBAE CAE OA OB AB ACAE BC BE BCAF BCAD AF BC BE AO AO BO a EO a AE a EO Rt AEC AC AE CE Rt BOE OB OE BE a a a a BE ∠=∠==∴⊥=∴==∴=====-=-=∴-=-=∴=联结并延长，交于过做交延长线于由（）得，，且，，设，，在△中，在△中，解得：BC ==∴=。

2012-2021年上海中考数学真题解答题第25题201225．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠=90AOB，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当=1BC 时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设=BD x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚：奥孚升学众号公众号：奥孚升公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201325．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x的值．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升孚升学公众号：奥孚升公众公众号：奥孚升学号：奥孚升学公众号：奥孚公众号：奥孚升公众号：奥孚升学图10备用图公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号201425．如图,已知在平行四边形ABCD 中,AB=5,BC=8,cosB=45,点P 是边BC 上的动点,以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点EF(点F 在点E 的右侧),射线CE 与射线BA 交于点G.(1)当圆C 经过点A 时，求CP 的长；(2)联结AP ，当AP//CG 时，求弦EF 的长；(3)当AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长.201525．已知，如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点,P Q 分别在线段,OC CD 上，且,DQ OP AP =的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C ，D不重合），420,cos 5AB AOC =∠=设OP x =，CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE 是直角三角形时，求线段OP的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚公众号201625.如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒，15AD =，16AB =，12BC =，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且AGE DAB ∠=∠；（1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公公众学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学学奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号孚公众号201725．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图9，已知O e 的半径长为1，AB 、AC 是O e 的两条弦，且AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升学公众号公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学升学公众号公众号：（1）求证：OAD ABD V :V ；（2）当OCD V 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；（3）记AOB V 、AOD V 、COD V 的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：孚升学孚升学奥孚升学公众号：奥孚升学孚公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升学公众号孚升学公众：奥孚升学公众号公众号：奥孚升201825．（14分）已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD ⊥AC ，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n +4）边形的一边，求△ACD的面积．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号201925.（14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）如图10，AD 、BD 分别是A4BC 的内角∠BAC 、∠4BC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E.（1）求证：∠E ＝21∠C ；（2）如图11，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ABCADES S △△的值.孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：202025.如图，△ABC 中，AB =AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC =2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小；（3）当AD =2，CD =3时，求边BC的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：孚升学孚升学公众公众公众号：奥孚升学号：奥孚升公众号：奥孚升学202125.如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求ADBC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：学孚升号：奥孚升学公众号：奥孚升学：公众号：奥孚升学公众号：公众号：奥孚孚升学公公众号公众奥孚升学学号：奥孚升孚升学公众号公众号：。