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高一数学基础知识讲义函数及其性质

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第二讲 函数及其性质

函数及其相关概念

⑴映射：设,AB是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作：:fAB。

⑵象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且,aAbB，如果,ab对应那么元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

⑶一一映射：设,AB是两个非空集合，:fAB是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

⑷函数：设集合A是一个非空数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：,yfxxA这里x叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：

定 义 名 称 符 号

xaxb 闭区间 ,ab

xaxb 开区间 ,ab

xaxb 半开半闭区间 ,ab

xaxb 半开半闭区间 ,ab

闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R可以表示为,，“”读作“无穷大”，例如：“3x”可以表示为3,，“4x”可以表示为,4。

高考要求：

了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列关系哪些是映射。 学习必备 欢迎下载

1）,,:AZBZf平方；

2）,,:ARBRf平方；

3）11,,:AxxBRf求倒数；

4）,0,1,:ANBf当n为奇数时，1n；当n为偶数时，0n；

5）,ZACZB正奇数，:21,fnmn其中,nAmB；

二、已知23,1xfxx求,2ftfx。

23()1223272121tfttxxfxxx解：

三、求下列函数的定义域。

2123yxx 2230(3)(1)031xxxxxx解：

且

3）0111xyx1101110x110xxxxxxxx解： 0且

且

四、求函数解析式：

1）已知,1)1(2xxxf求)(xf。 2）已知569)13(2xxxf，求)(xf。

221()11()1()1xfxxfxxxxfxx解：

22221313(1)1()96593212254848txtttfxtttttxx解： x= = = = 学习必备 欢迎下载

3）已知)(xf是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(xxfxff求)(xf。

222(0)(0)1(1)(1)2211xbxcafCxbxcxbxcxxbxabbxxab解：设a

aa 2a

2()1fxxx

4）若函数)(xf满足方程axRxaxxfxaf,0,,)1()(为常数，且1a，求)(xf。

222222211()()(1)1()()(2)a()()aaffxaxxafxafaxxfxaxaaxafxx

解：

（-1） （-1）

注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：

①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。

小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；

②函数表达式形式是分式的，分母不为0；

③函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；

④零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；

⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；

⑥多个限制条件取交集。

五、求下列函数的值域

()4113(1)4115(3)43111fxxxff解：

222()241234122(2)224211(3)2343171,7fxxxxxffy解：

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3）223yxx 2221414yxxx解： （） （） 0y2

4）1yxx

22222210151()241511()445{}4xtxtxttyttttttyy解：设 =1-

注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。

知识要点二：

函数性质

⑴函数的单调性：

①定义：一般地，设fx的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数；区间D称为单调递增区间。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数；区间D称为单调递减区间。

②复合函数的单调性：同增异减

⑵函数的奇偶性

①设函数yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，

且fxfx，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出00f）

设函数ygx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，

若gxgx，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当学习必备 欢迎下载

x在其定义域内时，x也应在其定义域内有意义。

②图像特征

如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。

如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于y轴对称。

③复合函数的奇偶性：同偶异奇。

高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列函数的单调性。

10,yxx当 12121221121212,(0,)()()1101()()xxxxfxfxxxxxxxfxfxyx证明：任取

=

是

1fxx当1,x

1212112221121212211212,1,)111111101100()1,)xxxxfxxfxxxxfxfxxxxxxxxxfxfxfx证明：任取

=

在是

3）231xfxx在（11x）

二、判断下列函数的奇、偶性。

1）33yxx 奇函数

2）111xfxxx

1010111xxxx

关于原点不对称. 非奇非偶

0fx

既是奇函数，又是偶函数. 学习必备 欢迎下载

)0()0(22xxxxxxxf 2222解： x>0 -x<0 f(x)=-x+x f(-x)=x-x f(x)=f(-x) f(0)=0 x<0 -x>0 f(x)=x+x f(-x)=-x-x f(-x)=-f(x)

5）2212xxxf2222011xxxfxxfx解： 1-x0

-1 x-4 x0 x0

为奇函数

结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。

三、已知yfx是奇函数，当0x时，221fxxx，求当0x时，fx得解析式。

解：设0x，则0x

当0x时，221fxxx

222121fxxxxx

yfx是奇函数，

222121fxfxxxxx为所求0x时yfx的解析式。

能力提升

一、已知函数121xfxa，若fx为奇函数，求实数a的取值。

解：首先考虑定义域，知xR，由奇函数的定义fxfx建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出00f，00f易得12a。

二、、已知fx是偶函数，gx是奇函数，且11fxgxx，试求fxgx与的表达式。

解：令11fxgxx的x取x得11fxgxx

fx是偶函数，gx是奇函数，

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高一数学必修一函数及其性质辅导知识(附习题)

高一数学必修一函数及其性质辅导知识(附习题)

1、重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．

考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

③了解简单的分段函数，并能简单应用；

经典例题：设函数f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：

（1）H（x）=f（x2+1）；

（2）G（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）

2、重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．

考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；

②会运用函数图像理解和研究函数的性质．

经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0，＋∞ )上图象与f（x）的图象重合.设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是

① f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A．①④ B．②③ C．①③

D．②④

一、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

高一至高三数学函数知识点

高一至高三数学函数知识点

高一至高三数学函数知识点

函数作为数学的重要概念，是高中数学学习中的重点和难点之一。掌握好函数知识，对于学习其他数学分支以及应用数学都具有重要意义。本文将从高一至高三的角度，全面介绍数学函数的基本知识点。

1. 函数的定义和性质

函数是一个将一个集合中的元素唯一地对应到另一个集合中的元素的关系。通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值/因变量。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2. 基本函数类型

常见的基本函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

线性函数是一次函数，表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为零。

指数函数是以a为底的x的指数函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。

对数函数是指数函数的反函数，以a为底的对数函数表达式为f(x) = logₐx，其中a为常数且a大于0且不等于1。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是与三角比例相关的函数。

3. 函数的图像和性质

函数的图像是函数在直角坐标系上的几何表达。函数图像的性质包括对称性、平移、伸缩等。

对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。

平移是指通过改变函数表达式中的常数项或自变量的值，使得函数图像在坐标系上发生平行移动。

伸缩是通过改变函数表达式中的系数，使得函数图像在坐标系上发生纵向或横向的拉伸或压缩。

4. 函数的运算和复合函数

函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。

加法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) + g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的和。

减法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) - g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的差。

高一数学函数知识点归纳

高一数学函数知识点归纳

高一数学函数知识点归纳

高一数学函数知识点归纳1

高一数学函数知识点归纳

1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路：

⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵偶次方根的被开方数不小于0。

⑶对数式的真数必须大于0。

⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸指数为0时，底数不得为0。

⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数

⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法

⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换

⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵伸缩变换：在x前加上系数。

⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

高一函数 知识点大全

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一、函数的定义

函数是一种数学操作，它将输入值（或参数）映射到输出值（或结果）。函数的定义通常包括函数名称、参数列表和函数体。在高一阶段，我们将学习一些基本的函数，如一次函数、二次函数、幂函数和对数函数等。

二、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：符号表示法、列表表示法和图像表示法。符号表示法是用函数名称和参数列表来表示函数，例如y = 2x + 1；列表表示法是将输入值和对应的输出值列成一个表格；图像表示法是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。

三、函数的性质

函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。奇偶性是指函数是否具有奇偶性；单调性是指函数在某个区间内是单调递增或单调递减；周期性是指函数是否存在周期性；对称性是指函数是否具有对称性。 四、函数的运算

函数的运算包括函数的加减乘除、复合运算和反函数运算等。函数的加减乘除是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除运算；复合运算是指将多个函数嵌套在一起，形成一个复合函数；反函数运算是指将一个函数转换为其反函数。

五、函数的图像

函数的图像是用来描述函数变化的直观工具。在绘制函数的图像时，我们需要先确定函数的定义域和值域，然后根据函数的表达式绘制出对应的图像。同时，我们还需要掌握一些常见的图像变换方法，如平移、伸缩和对称变换等。

六、函数的实际应用

高一函数知识点还包括一些实际应用，如利用函数解决实际问题、利用函数进行数据分析等。在实际问题中，我们需要根据问题的具体情境来选择合适的函数和数学模型进行解决。我们还需要掌握一些数据处理和分析的方法，如回归分析、聚类分析等。

高一函数知识点是数学学习的重要内容之一。通过学习和掌握这些知识点，我们可以更好地理解函数的本质和特点，为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。

高一函数知识点总结

函数是数学的重要概念，是高中数学的核心内容。在初中数学中，函数通常被视为变量之间的依赖关系，而高中的函数则更加强调映射的概念。下面将对高一函数的知识点进行总结。