第1课时运用完全平方公式因式分解
1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)
2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)
一、情境导入
1.分解因式：
(1)A2—4/；(2)3/-3/;
(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.
2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？
二、合作探究
探究点：运用完全平方公式分解因式
［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式
(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()
(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；
(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)
= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.
方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
［类型二］运用完全平方公式分解因式
≡3因式分解：
(1)—3a2—+24,才一48 才;
(2)(才+4) 2 —16 才.
解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.
解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；
(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.
方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.
【类型三】利用完全平方公式求值
(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.
解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.
解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—
5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.
方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.
［类型四］运用因式分解进行简便运算
利用因式分解计算：
(1)342÷34×32 + 162;
(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.
解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；
(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.
方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.
［类型五］利用因式分解判定三角形的形状
(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，
并说明理由.
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即
可.
解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.
方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.
［类型六］整体代入求值
［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.
解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.
解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。时，原式=
1 2
-×10× 52=125.
方法总结:解答此类问题的关键是对原式进行变形,将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入.
三、板书设计
运用完全平方公式因式分解
1.完全平方公式：a÷2aΛ÷Z>2= (a÷∆)2, a~2ab+t} = (a—Δ)
2.
2.完全平方公式的特点：
(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的平方项；
(3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍). 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
小数除法
教材简介：
本单元的主要内容有：小数除以整数、一个数除以小数、商的近似值、循环小数、用计算器探索规律、解决问题。
教学目标
1、使学生掌握小数除法的计算方法。
2、使学生会用“四舍五入”法，结合实际情况用“进一”法和“去尾”法取商的近似数，初步认识循环小数、有限小数和无限小数。
3、使学生能借助计算器探索计算规律，能应用探索出的规律进行小数乘除法的计算。
4、使学生体会解决有关小数除法的简单实际问题，体会小数除法的应用价值。
教学建议：
1.抓住新旧知识的连接点，为小数除法的学习架设认知桥梁。
2.联系数的含义进行算理指导，帮助学生掌握小数除法的计算方法。
课时安排：
本单元可安排11课时进行教学。
第一课时小数除以整数（一）
——商大于1
教学内容：P16例1、做一做，P19练习三第1、2题。
教学目的：
1、掌握比较容易的除数是整数的小数除法的计算方法，会用这种方法计算相应的小数除法。
2、培养学生的类推能力、发散思维能力、分析能力和抽象概括能力。
3、体验所学知识与现实生活的联系，能应用所学知识解决生活中的简单问题，从中获得价值体验。
教学重点：理解并掌握小数除以整数的计算方法。
教学难点：理解商的小数点要与被除数的小数点对齐的道理。
教学过程：
一、复习准备：
计算下面各题并说一说整数除法的计算方法.
224÷4=416÷32= 1380+15 =
二、导入新课：
情景图引入新课：同学们你们喜欢锻炼吗？经常锻炼对我们的身体有益，请看王鹏就坚持每天晨跑，请你根据图上信息提出一个数学问题？
出示例1：王鹏坚持晨练。他计划4周跑步22. 4千米，平均每周应跑多少千米？
教师：求平均每周应跑多少千米，怎样列式？（22.4÷4）
观察这道算式和前面学习的除法相比有什么不同？
板书课题：“小数除以整数”。
三.教学新课：
教师：想一想，被除数是小数该怎么除呢？小组讨论。分组交流讨论情况：（1）生：22. 4 千米=22400 米22400÷4=5600 米5600 米=5. 6 千米（2）还可以列竖式计算。
教师：请同学们试着用竖式计算。计算完后，交流自己计算的方法。
教师：请学生将自己计算的竖式在视频展示台上展示出来，具体说说你是怎样算的？追问:24表示什么？
商的小数点位置与被除数小数点的位置有什么关系？
引导学生理解后回答“因为在除法算式里，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上面，也就是说，被除数和商的相同数位是对齐了的，只有把小数点对齐了，相同数位才对齐了，所以商的小数点要对着被除数的小数点对齐”.
问：和前面准备题中的224除以4相比,224除以4和它有哪些相同的地方?有哪些不同的地方？
怎样计算小数除以整数？（按整数除法的方法除,计算时商的小数点要和被除数的小数点对齐）
教师：同学们赞同这种说法吗？（赞同）老师也赞同他的分析.
教师：大家会用这种方法计算吗？（会）请同学们用这种方法算一算.
四、巩固练习
完成“做一做”：25.2÷6 34.5÷15
五、课堂作业：练习三的第1、2题
课后反思：
学生们在前一天的预习后共提出四个问题：
1,被除数是小数的除法怎样计算？（熊佳豪）
2,为什么在计算时先要扩大，最后又要将结果缩小？（郑扬）
3,小数除以整数怎样确定小数点的位置？（梅家顺）
4,为什么小数点要打在被除数小数点的上面？
特别是第4个问题很有深度，有研究的价值. 在这四个问题的带动下，学生们一直精神饱满地投入到学习的全过程，教学效果相当好.
第二课时小数除以整数（二）
-- 商小于1
教学内容：P17例2、例3、做一做，P18例4、做一做，PI9—20练习三第3一11 题。教学目的：
1、使学生学会除数是整数的小数除法的计算方法，进一步理解除数是整数的小数除法的意义。
2、使学生知道被除数比除数小时，不够商1,要先在商的个位上写O占位；理解被除数末位有余数时，可以在余数后面添O继续除。
3、理解除数是整数的小数除法的计算法则跟整数除法之间的关系，促进学习的迁移。教学重点：能正确计算除数是整数的小数除法。
教学难点：正确掌握小数除以整数商小于1时，计算中比较特殊的两种情况。
教学过程：
一、复习：
教师出示复习题：
（1）22.4÷4 （2） 21.45÷15
教师先提问：“除数是整数的小数除法，计算时应注意什么？”然后让学生独立完成。
二、新课
1、教学例2：
上节课我们知道王鹏平均每周跑5.6千米，那他每天跑多少千米呢?这道题
该如何列式？
问：你为什么要除以7, 题目里并没有出现〃7〃？
原来〃7〃这个条件隐藏在题目中，我们要仔细读题才能发现.
尝试用例1的方法进行计算，在计算的过程中遇到了什么问题？（被除数的
整数部分比除数小）
问：“被除数的整数部分比除数小，不够商1,那商几呢?为什么要商0?（在被除
数个位的上面，也就是商的个位上写“0” ,用0来占位。）强调：点上小数点后接着算. 请同学们试着做一做。
2. 4/3 7. 2/9
学生做完后，教师问：在什么情况下，小数除法中商的最高位是0?
2、教学例3：
先让学生根据题意列出算式，再让学生用竖式计算。当学生计算到12除6时，教师提问：接下来怎么除？请同学们想一想。
引导学生说出：12除6可以根据小数末尾添上0以后小数大小不变的性质，在6 的右面添上0看成60个十分之一再除。
请同学们自己动笔试试。
在计算中遇到被除数的末尾仍有余数时该怎么办？
在余数后面添0继续除的依据是什么？
3、做教科书第17页的做一做。
4、教学例4：想一想，前面几例小数除以整数是怎样计算的？在计算过程中应注意什么？整数部分不够商1怎么办?如果有余数怎么办？
引导学生总结小数除以整数的计算方法。（D小数除以整数按照整数除法的方法去除，（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐，（3）整数部分不够除,商0,点上小数点再除；（4）如果有余数，要添0再除。
师：怎样验算上面的小数除法呢？（用乘法验算）自己试一试。
5、P18 做一做。
三、课堂小结：
1、说说除数是整数的小数除法的计算法则。
2、被除数比除数小时，计算要注意什么？
四、课堂作业：P19第4题，P20第8、11题。
五、作业：P19第3、5、6题，P20第7、9、10题。
课后小记：
本课新增知识点多，难度较大,特别是例3应引导学生去思考其计算依据。课堂中张子钊同学问到“为什么以往除法有余数时都是写商几余几，可今天却耍在小数点后面添0继续除呢？”这反映出新知与学生原有知识产生了认知冲突，在此应帮助学生了解到知识的学习是分阶段的，逐步深入的。以往无法解决的问题在经过若干年后就可以通过新的方法、手段、途径来解决，从而引导其构建正确的知识体系。
学生归纳综合能力的培养在高年段显得尤为重要。虽然教材中并没有规范的计算法则，但作为教师有必要让学生经历将计算方法归纳概括并通过语言表述出来的过程，所以引导学生小结小数除法的计算法则，然后再由教师总结出规范简洁的法则是必不可少的教学环节。
作业应注意以下几方面错误：
1、整数除以整数，商是小数的计算题，学生容易遗忘商的小数点。
2、商中间有零的除法掌握情况不太好，需要及时弥补。对于极个别计算确有困难的同学建议用低段带方格的作业本打草稿，这样便于他们检查是否除到哪一位就将商写在那一位的上面。
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第1课时运用完全平方公式因式分解 1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点) 2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点) 一、情境导入 1.分解因式： (1)A2—4/；(2)3/-3/; (3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2. 2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？ 二、合作探究 探究点：运用完全平方公式分解因式 ［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式 (≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有() (1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2； (3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16) = - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B. 方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ［类型二］运用完全平方公式分解因式 ≡3因式分解： (1)—3a2—+24,才一48 才; (2)(才+4) 2 —16 才. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解. 解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2； (2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解. 【类型三】利用完全平方公式求值
因式分解(完全平方公式)教案 14.3.2因式分解(公式法)——完全平方公式》教案 教学目标】 一、知识技能：掌握完全平方式的特征，运用完全平方公式进行简单的因式分解。 二、过程方法：通过对完全平方公式的逆向变形进行分解，发展学生的观察、类比、归纳等能力，提高处理数学问题的技能。 三、情感态度：培养学生严谨的思维，激发学生求知的欲望与对数学的研究兴趣。 教学重难点】 重点：运用完全平方式分解因式。 难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式。 教学过程】 一、复回顾：
1.因式分解就是把多项式分解为几个整式的乘积的形式，如：2x²－x= x (2x－1)。例子中的变形利用了我们上一节课所学的因式分解中的法则。 2.把下列的式子进行因式分解： 1）4y + 8=4(y+2)（2）3a－ab=a(3-b) 3）5b²－10b=5b(b-2)（4）2ab²－4a²b=2ab(ab-2a) 二、探究新知 一）完全平方式的概念：形如a²＋2ab＋b²、a²－2ab＋b²这样的式子叫做完全平方式，例如： 1）a²＋4a＋4＝a²＋2·a·2 + 2² 2）a²＋6a＋9＝a²＋2·3a·3a+3² 3）a²－10a＋25＝a²－2·5a·5a+5² 4）a²＋64－16a＝a²－2·8a·8+a² 跟踪练：判断下列各式是完全平方式吗？ 1）a²+b²不是完全平方式 2）a²－4a +4 是完全平方式 3）a²－ab +b²是完全平方式 4）x²－6x－9 不是完全平方式 5）x²＋x＋1 是完全平方式
6）a²+16－8a 不是完全平方式 完全平方式的特点：1、必须是三项式；2、有两个项的平方；3、有这两项的积的2倍。 二）运用完全平方公式进行因式分解： 完全平方公式：a²＋2ab＋b²=(a+b)² a²－2ab＋b²=(a-b)² 例如： 1）x²＋8x＋16=(x+4)² 2）4x²＋12x＋9=（2x+3）² 3）25a²－10a＋1=(5a-1)² 练： 1）a²＋12a＋36=(a+6)² 2）x²－14x＋49=(x-7)² 3）a²＋81－18a=(a-9)² 4）9m²－12mn＋4n²=(3m-2n)² 5)－x²+4xy－4y²=-(x-2y)²
利用完全平方公式因式分解 当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方 公式来进行因式分解。完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式 转化为一个平方的方法。 完全平方公式如下： (a+a)^2=a^2+2aa+a^2 (a−a)^2=a^2−2aa+a^2 我们以一个具体例子来说明这个方法。假设我们要因式分解 a^2+6a+9这个二次多项式。我们可以将这个多项式写成一个完全平方 的形式。 根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将 a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。 因此，a^2+6a+9=(a+3)^2 接下来我们来看一个更复杂的例子。假设我们要因式分解 a^2+8a+12这个二次多项式。我们可以尝试将这个多项式写成两个完全 平方的和的形式。 首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6 然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。 a^2+8a+12=(a+2)(a+6)
通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。 除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。 我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。 根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。 通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。 总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。因此，对于一些多项式，完全平方公式是一种非常有用的因式分解方法。
运用完全平方公式分解因式 完全平方公式是高中数学里常用的因式分解方法之一，它适用于求一 个二次多项式的因式分解。在这个过程中，我们需要运用到二次多项式的 完全平方公式。 一个二次多项式表示为 a^2 + 2ab + b^2，它是一个完全平方。我们 可以使用这个公式将这个完全平方分解为两个一次多项式的乘积，即 (a + b)^2 那么，如何将一个二次多项式转化为完全平方呢？ 假设我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以通过以下步骤将其 转化为完全平方： 1.先观察二次多项式的首项系数和末项系数。这里的首项系数是1， 末项系数是9 2.将首项系数的一半取出，即1/2*1=1/2，记作a。将末项系数取出，即9，记作b。 3. 将这两个数字代入完全平方公式 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 中。得到 (1/2 + 9)^2 = (1/2)^2 + 2 * (1/2) * 9 + 9^2 4.进行计算，得到(19/2)^2=(1/4)+(2/2)*9+81 5.化简表达式，得到(19/2)^2=1/4+18+81 6.继续化简表达式，得到(19/2)^2=81+18.25 7.最终得到(19/2)^2=99.25
通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的应用过程。那么，接下来我们将通过更多例子来理解和掌握这个公式的运用。 例1： 将二次多项式x^2+10x+25分解为完全平方。 解： 首项系数是1，末项系数是25 取首项系数的一半为a，即1/2*1=1/2 取末项系数为b，即25 代入完全平方公式得到(1/2+25)^2=(1/2)^2+2*(1/2)*25+25^2 进行计算得到(25.5)^2=1/4+25+625 化简表达式得到(25.5)^2=25+625.25 最终得到(25.5)^2=650.25 所以，x^2+10x+25=(x+5)^2 例2： 将二次多项式4x^2-16x+16分解为完全平方。 解： 首项系数是4，末项系数是16 取首项系数的一半为a，即1/2*4=2 取末项系数为b，即16
因式分解—完全平方公式 因式分解是一种数学运算，用于将一个多项式表示为它的因式的乘积。因式分解是数学中一个基本的操作，它在解决方程、简化代数表达式等问 题中起着重要的作用。其中，完全平方公式是一种特殊的因式分解方法， 用于将一个二次多项式表示为两个完全平方的乘积。 在解决因式分解问题时，首先需要了解完全平方公式。完全平方公式 指出，一个二次多项式可以表示为两个完全平方的和或差。具体地说，如 果一个二次多项式为x²+2ax+a²，则它可以分解为(x+a)²，即平方的和。 而如果一个二次多项式为x²-2ax+a²，则它可以分解为(x-a)²，即平方的差。 运用完全平方公式分解一个二次多项式的步骤如下： 1.检查二次多项式的形式，确保它符合完全平方公式的形式。 2.提取二次项和线性项的系数。 3.根据完全平方公式的形式，将二次项和线性项的系数带入公式中。 4.计算和、差的平方，并展开得到简化的形式。 下面我们通过几个实例来具体说明如何运用完全平方公式进行因式分解。 例1：将多项式x²+6x+9进行因式分解。 解：首先我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形式 x²+2ax+a²。然后我们提取二次项和线性项的系数，得到a=3、接下来， 我们带入完全平方公式中，得到(x+3)²。因此，多项式x²+6x+9可以分解 为(x+3)²。
例2：将多项式x²-10x+25进行因式分解。 解：同样地，我们检查多项式的形式，发现它符合完全平方公式的形 式x²-2ax+a²。我们提取二次项和线性项的系数，得到a=5、然后，我们 带入完全平方公式中，得到(x-5)²。因此，多项式x²-10x+25可以分解为(x-5)²。 通过上述两个例子可以看出，使用完全平方公式进行因式分解可以简 化计算，使我们能够更快地找到多项式的因式。这是一种非常有用的技巧，尤其在解决方程和简化代数表达式时。 除了上述的基本情况，完全平方公式也可以用于更复杂的情况。例如，在一个二次多项式中，如果二次项和线性项之间存在其他项，我们可以通 过重新排列和组合项的顺序，将其转化为一个完全平方的形式。然后，我 们可以继续使用完全平方公式进行因式分解。 总结起来，完全平方公式是一种非常有用的因式分解方法，特别适用 于二次多项式。它可以帮助我们快速找到一个多项式的因式，提高解决问 题的效率。因此，在解决因式分解问题时，我们应该熟练地掌握和运用完 全平方公式。希望本文对你理解完全平方公式和因式分解有所帮助！
用完全平方公式因式分解教案 一、教学目标 1、学生能正确理解并使用完全平方公式因式分解原理； 2、能熟练掌握并使用完全平方公式因式分解； 3、能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。 二、教学重点 1、教育学生正确理解并使用完全平方公式因式分解原理； 2、让学生熟练掌握并使用完全平方公式因式分解； 3、让学生能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。 三、教学内容 1、完全平方公式因式分解的概念： 完全平方公式因式分解是指把已知的式子按照公式的形式进行因式分解，它将一个多项式分解成多个完全平方式，可以利用此方法减少复 杂的运算，求出更简单的表达式，便于解题。 2、完全平方公式因式分解的原理： 完全平方公式因式分解的原理是把一个多项式按完全平方的方式分解，因为是平方的变化，所以可以得到输出的式子乘积比输入的式子中的 幂次（未分解之前的）总数要少，因而也能得到不那么复杂的结果， 更便于进行解答。
3、完全平方公式因式分解的步骤： （1）将多项式分开化简； （2）查看乘积中对称的字母数量； （3）如果有两个就可以分解出平方根； （4）如果只有一个就可以把它们包装成一个平方； （5）将结果拆分成平方根； （6）最后将项按照完全平方的左右结构组合，即完成完全平方公式因 式分解。 四、教学方法 主要采用讲授法、示范法、讨论法等，使学生运用完全平方公式因式 分解解决实际问题，即“先上一道习题，把学生教会讲解，通过几道练 习让学生自己解决，通过交流方式归纳总结，使得学生由解答变为分析，从而更好的掌握完全平方公式因式分解的知识。 五、教学设计 （1）课前准备：准备若干相关的实际问题供学生讨论解答； （2）课前检测：通过一些随机出的习题，检测学生对完全平方公式因 式分解的现有知识水平； （3）概念讲解：讲解完全平方公式因式分解的定义、特征及原理；（4）实例讲解：以实例分析演示完全平方公式因式分解的步骤和思想；（5）讨论练习：准备一些重难点习题，学生分组分析，练习完全平方 公式因式分解；
4.3.2利用完全平方公式因式分解 授课时间：2019.4.11下午第二节指导老师：陈平老 师 授课班级：八年（1）班授课教师：邱振荣老师 授课地点：M1春晖楼阶梯教室级别：区级 一、教学目标： (一)知识与技能： 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.理解并掌握完全平方式的概念、特征，会用完全平方公式分解因式. 3.清楚地知道通常情况下提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用公式法进行因式分解. (二)过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展逆向思维和推理能力. (三)情感态度与价值观： 通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识，体验数学的化归转化思想. 二、教学重点： 掌握用完全平方公式分解因式. 三、教学难点： 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式. 四、教学方法： 问答法、讲授法、练习法、演示法 五、教学用具： PPT 六、教学过程： 第一环节练习引入 1.把下列各式因式分解： （1）x2–2x；（2）x2–1 ；（3）x2–2x+1 . 2.回顾（乘法公式）完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 第二环节探究新知 1、引导学生把上述完全平方公式反过来： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 2、“公式法” 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式（如平方差、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 3、探究：完全平方式 (1)形如a2±2ab＋b2的多项式称为完全平方式. a2 ± 2·a·b ＋ b2 ↕ ↕ ↕ ↕ ↕
运用完全平方公式分解因式教案思路 【】教案是老师对教学内容，教学步骤，教学方法等进展详细的安排和设计的一种实用性教学文书，都要经过周密考虑，精心设计而确定下来，表达着很强的方案性。在此小编为您整理了运用完全平方公式分解因式教案思路，希望能给老师教学提供参考。 学习目的 或学习任务 1、理解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进展因式分解. 2、通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，开展学生逆向思维才能和推理才能. 3、通过猜测、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察才能，理论才能和创新才能. 本课时 重点难点 或学习建议教学重点：运用完全平方公式分解因式. 教学难点：掌握完全平方公式的特点. 本课时 教学资源 的使用电脑、投影仪. 学习过程学习要求 或学法指导老师
二次备课栏 自学准备与知识导学： 1、计算以下各式: ⑴ (a+4)2=__________________ ⑵ (a-4)2=__________________ ⑶ (2x+1)2=__________________ ⑷ (2x-1)2=__________________ 下面请你根据上面的等式填空: ⑴ a2+8a +16=_____________ ⑵ a2-8a +16=_____________ ⑶ 4x2+4x+1=_____________ ⑷ 4x2-4x+1=_____________ 问题：比照以上两题，你有什么发现? 2、把乘法公式(a+b)2= a2+2ab+b2和(a-b)2= a2-2ab+b2反过来就得到__________________和__________________，这两个等式就是因式分解中的完全平方公式.它们有什么特征? 假设用△代表a，○代表b，两式可表示为 △2+2△○+○2=(△+○)2，△2-2△○+○2=(△-○)2 . 3、a2-4a-4符合公式左边的特征吗?为什么? 4、填空：a2+6a+9符合吗?______相当于a，______相当于 b. a2+6a+9=a2+2( ) ( )+( )2=( )2 a2-6a+9=a2-2( ) ( )+( )2=( )2
运用完全平方公式分解因式 完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一 次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。 设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。根据完全平方公式， 可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次 多项式的系数。 根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下： 1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。 2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。 3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。这一步是 将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。 对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式 相同，则可以直接确定因式分解。否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。 下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。 例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。 步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。 根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。 例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。 步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。 除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式 之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。平方差公式 是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。 完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。因此，熟练掌 握这些公式的应用是很重要的。
《运用完全平方公式分解因式》教学设计 一、内容和内容解析 1、内容 运用完全平方公式分解因式 2、内容解析 本节课是人教版《义务教育教科书﹒数学》八年级上册第十四章第3节《因式分解》第三课时，因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，分解因式是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中有着直接的应用，也为以后学习分式的约分、通分、解一元二次方程及三角函数的恒等变形提供了必要的基础，因式分解是中学代数教材中的一个重要内容。因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。 进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。 在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。 另外，本节课的学习是通过乘法公式（a ±b）2=a2±2ab+b2的 逆向变形展开的，并且正式提出了换元这一重要的数学思想，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、探究、总结等能力，发展有条理的
思考及语言表达能力。 本节课的学习重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求. 本节课的难点是整体、换元思想的掌握。换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解题经验。 二、目标和目标解析 １、目标 1、会用完全平方公式分解因式。 2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。 3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。 2、目标解析 ⑴能记住完全平方公式；⑵能辨认完全平方式；⑶能灵活运用完全平方公式进行因式分解。 提高学生的运算能力，培养学生的观察分析能力，渗透换元与整体的思想，培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向,以及学习数学的兴趣。 三．教学问题诊断分析 由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特
用完全平方公式因式分解教案 教学目标：1．使学生理解完全平方公式的含义，会用完全平方公式进行因式分解。 2．通过因式分解练习，培养学生灵活运用知识的能力。 3．提高学生的逻辑思维能力，发展他们的空间观念。 4．巩固所学知识，培养学生自主探索精神。 5．培养学生动手操作的能力和积极探索的精神。教学重点：用完全平方公式进行因式分解。教学难点：用完全平方公式进行因式分解的方法。教学用具：教学挂图、多媒体课件。教学时数：一课时教学设计第一课时一、导入： 1．组织教学2．检查复习情况3．讲授新课： 2．使学生掌握用完全平方公式进行因式分解的方法，并会正确应用它，完成下面各题：(1)已知5 a+9 b=30。求a的值。(2)已知25 a-28 b=13，求a的值。(3)已知3 a-7 b=14，求a的值。二、课堂练习1．下列有关完全平方公式的叙述中，不正确的是()。①完全平方公式中，各项系数的指数必须相同。②完全平方公式中，每项都可以是整数。③完全平方公式中，每项系数是最简公分母时，必须将分子、分母同时扩大。④若分子、分母不能同时扩大，则可先利用完全平方公式将各项分别进行完全平方。⑤若分子、分母不能同时扩大，但可以同时缩小，则可先利用完全平方公式将各项分别进行完全平方。 2．用完全平方公式进行因式分解：(1)所给的各数中，如果是整数，则必须先把它们变为分数。 (2)所给的各数中，如果不是整数，则必须先把它们变为整数。 【教学过程】一、复习旧知1．复习已学过的因式分解方法。 2．提
出下面各题：(1)已知a+b=29，则a的值是()a．22 b．26 c．32 d．33(2)已知a-b=25，则a的值是()a．11 b．16 c．19 d．21(3)已知5a-8b=30，则a的值是()a．15 b．17 c．18 d．19 二、导入新课： 1．我们在学习了因式分解以后，再用到“完全平方公式”时常常要先考虑这样几个问题，完全平方公式中各项系数的符号，完全平方公式中项的符号及其个数，若分子、分母不能同时扩大，但可以同时缩小，则可先利用完全平方公式将各项分别进行完全平方。 2．今天，我们就来用完全平方公式进行因式分解。 3．下面，就让我们来亲自验证一下，请你选择一个数字：。
14.3 因式分解（第三课时） 14.3.2 公式法（2）（陈洁） 一、教学目标 1.掌握完全平方公式的特点. 2.会运用完全平方公式因式分解. 3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式. 二、学习重点 掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式. 三、学习难点 灵活运用公式分解分解因式. 四、教学设计 1.知识回顾 把下列各式因式分解： （1）22936x y xy xy +-； （2）3a b ab -. 学生独立完成后回答： （1）229363(32)x y xy xy xy x y +-=+-. （2）32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=+- 做后强调：分解因式时有时要考虑综合运用各种方法，一般先观察是否有公因式可提，再考虑能否用平方差公式分解；分解因式要彻底，一直到不能分解为止. 2.问题探究 探究一 探索因式分解的方法——完全平方公式. 活动① 类比学习 问题1：上节课我们将乘法公式中的平方差公式等号两边互换位置得到因式分解的又一种方法：运用平方差公式分解因式，类似地，乘法还有完全平方公式，你能类比学习得到因式分解的新方法吗？ 学生回顾乘法中的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++ ；222()2a b a ab b -=-+. 互换位置可得：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=- 问题2：类比平方差公式，你能用语言叙述该公式吗？ 文字语言：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于这两个数的和（或差）的
平方. 问题3：运用完全平方公式分解因式时，最后分解为和的完全平方还是差的完全平方，有谁来决定？ 学生思考后分小组讨论交流：由2倍项的符号来确定，若2倍项的符号为正，则分解为和的完全平方，若2倍项的符号为负，则分解为差的完全平方. 活动② 剖析完全平方公式. 问题4：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？ 学生思考后分小组讨论，再归纳总结： 完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放. 追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？ 活动③ 辨析完全平方公式 问题5：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b . （1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正. 探究二 直接运用完全平方公式因式分解 例1 分解因式： （1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+- 练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 例2 分解因式： （1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++ 探究三 综合应用 例3 分解因式：
运用完全平方公式分解因式 什么是完全平方公式 在代数学中，完全平方公式是一种用于将二次多项式分解为完全平方的方法。一个二次多项式可以写成(a+b)2的形式，其中a和b是实数。完全平方公式是一种将二次多项式进行因式分解的常用方法。 完全平方公式的形式可以表示为： (a+b)2=a2+2ab+b2 其中，a和b是实数。 运用完全平方公式分解因式的步骤 下面将介绍使用完全平方公式分解因式的步骤： 1.确定给定二次多项式的形式。 一个二次多项式的标准形式为ax2+bx+c，其中a、b和c是实数。 2.计算出二次项系数a、一次项系数b和常数项c。 根据给定二次多项式的表达式，将表达式与完全平方公式的形式进行对比。通过对比可以找到a、b和c的值。 3.将三个系数代入完全平方公式的形式。 将a、b和c的值代入(a+b)2=a2+2ab+b2的形式。 4.展开和简化等式。 将完全平方公式的形式展开并简化。 5.将展开后的等式与给定二次多项式进行对比。 对比展开后的等式与给定二次多项式，确定公式中的a和b是否与二次多项式中的系数相符。 6.将得到的等式重新组合为完全平方。
如果展开后的等式与二次多项式相符，将等式重新组合为一个完全平方。此时需要将2ab这一项进行因式分解。 7.检验结果。 检验得到的完全平方是否与给定二次多项式相等。 实际例子 让我们通过一个实际的例子来演示运用完全平方公式分解因式的过程。 假设我们要分解因式x2+6x+9。 1.确定二次多项式的形式。 给定的二次多项式为x2+6x+9。 2.计算系数。 根据给定二次多项式的表达式，可以确定a=1，b=6，c=9。 3.代入完全平方公式。 将系数代入完全平方公式的形式得到(1+3)2=12+2(1)(3)+32。 4.展开和简化等式。 将完全平方公式的形式展开并简化得到4=1+6+9。 5.对比展开后的等式。 通过对比展开后的等式与给定二次多项式x2+6x+9，可以发现二次多项式中的系数与展开后的等式中的系数相同。 6.重新组合为完全平方。 由于展开后的等式与给定二次多项式相同，可以将等式重新组合为一个完全平方，即(x+3)2。 7.检验结果。 检验得到的完全平方(x+3)2是否与给定二次多项式x2+6x+9相等。可以通过展开完全平方进行验证，得到x2+6x+9，与给定的二次多项式相等。
运用完全平方公式分解因式 下面我将从教材分析、教法、学法、教学过程四方面来说明。 一、教材分析： （一）地位与作用： 分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。 根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。 （二）教学目标 课时教学目标对课堂教学起着导向作用、激励作用和标准作用，研究教材的一个重要内容是为了制定明确、具体、可行的教学目标。根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下： 1、知识目标 ⑴能记住完全平方公式； ⑵能辨认完全平方式； ⑶能灵活运用完全平方公式进行因式分解。 ２、能力目标 ⑴提高学生的运算能力； ⑵培养学生的观察分析能力； ⑶渗透换元与整体的思想。 ３、情感目标 培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。 （三）教学的重点和难点 本节课的重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求，本节课的难点是整体、换元思想的掌握。换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解体经验。 二、说教法 （一）本节课采用的教学方法主要是启发诱导法和练习法，并辅以讲解法、分
课题14.3.2 运用完全平方公式进行因式分解 设计理念： 因式分解是学生进一步学习数学不可或缺的基础知识和基本技能。本节课以培养学生熟练运用完全平方公式因式分解，反复练习熟练掌握，以老师讲解例题与方法，学生多联系为具体的教学指导思想。 教材分析： 本节内容主要是用完全平方公式来因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 一、教学目标 （1）了解运用完全平方公式法分解因式的意义； （2）了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤； （3）会用完全平方公式进行因式分解。 二．学习重点 运用完全平方公式法分解因式 学习难点： 平方差公式和完全平方式的识别及运用公式法分解因式。 三．学情分析 学生在前边已学习过乘法公式，有了一定的学习基础，本节内容的学习应该比较顺利。 （一）教学指导：本节内容的学习应指导学生多探究平方差公式和完全平方公式的结构特点，讲练结合，直至能够灵活运用。 （二）学习准备：巩固已学过的乘法公式。 .
四．教学过程 （一） 1.下列哪些属于因式分解 （1）(2x-1)²=4x ²-2x+1 （2）3x ²+9xy-3x=3x(x+3y-1) （3）4x ²-1=(2x+1)(2x-1) 根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如：a 2+2ab+b 2 a 2-2ab+ b 2 的式子分解因式吗？ 2.计算下列各式 （1）(4x+3)²= （2）- (x-2y)²= 3、根据左面的算式将下列各式分解因式 （1）16x ²+24x+9 （2）–x ²+4xy –4y ² （二）合作交流 1.思考：上面3题中左边的结构特征是 ； 右边的结构特征是 ； 2.据据上面式子填空：； （1） a 2 –2ab+b 2 = ； （2）a 2 +2ab+b 2 = ； 结论：形如a 2 +2ab+b 2 与a 2 –2ab+b 2 的式子称为完全平方式 口诀：首平方，尾平方 。 3.小结：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解 因式的方法叫做 。 完全平方公式 a 2 +2ab+b 2 =（a+b ）2 a 2–2ab+ b 2 =（a –b ）2 4.思考：下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解． （1）x 2+4xy+4y 2 （2）a 2 -6ab+4y 2 （3）-2xy+x 2 +y 2 （4）a 2 +2ab+4b 2 （三）例题 将下列各式因式分解： （1）924162++x x （2）224y xy x -+-