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[考研数学]北京航天航空大学线性代数7-3向量的坐标

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北京航空航天大学线性代数知识点框架

北京航空航天大学线性代数知识点框架

线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。

换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。

我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。

我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

系数矩阵和增广矩阵。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。

阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。

换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。

高等数学7.3向量的坐标

高等数学7.3向量的坐标



{x，y，z}{x1，y1，z1} { x2，y2， 2}{x，y，z}， 1 {x，y，z} {x 1 x 2，y 1 y 2，z 1 z 2}， 1 x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 x ，y ，z ． 1 1 1
{ a b ，a b ，a b }． a b x x y y z z a ( a xi a yj akz ) ( a x)i (a y)j (a k) z
{ a x ，a y ，a z}．
利用向量的坐标判断两个向量的平行：
•R1称为点M1在 z 轴上的投影，
R2称为点M2在 z 轴上的投影． •向量 R1 R2 称为向量 a 在 z 轴 上的分向量． •有向线段 R1 R2 的值R1R2叫做 向量 a 在轴 z 的投影，记为 Pr j z a 或az ．az= z2z1．

R2
z
R1
a
P P2 a x i (x 2x 1) i 、 1 Q1Q2 a y j ( y 2y 1) j 、 R1 R2 a z k ( z 2z 1) k ，

R2
z
R1
a
M1
M2
y
P1 P2
O
Q1
Q2
x
P P2 a x i (x 2x 1) i 、 1 Q1Q2 a y j ( y 2y 1) j 、 R1 R2 a z k ( z 2z 1) k ，

R2
z
R1
a
M1
M2
起点为M 1(x 1，y 1，z 1) 而 终点为M 2(x 2，y2，z 2)的向量

大学线性代数—— 空间直角坐标系 向量坐标表示

大学线性代数—— 空间直角坐标系 向量坐标表示



|

|

{cos
,
cos

,
cos
}.
ex4
求平行于向量a

6i
7
j
6k 的单位向量
的分解式.
Solution:
所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向
| a| 62 72 (6)2 11,

a0

|
a a|

6
i
11
7 11

即 AM


，求分点的坐标.
MB
Solution. 设 M( x, y, z) 为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
o
y
MB {x2 x, y2 y, z2 z} x
由题意知： AM MB
{ x x1, y y1, z z1} { x2 x, y2 y, z2 z},
B
已知向量的起点A 和终点B 在
A
轴u上的投影分别为 A, B那
A
B u 么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.

AB
,

AB
与
u同向
Pr
ju

AB

AB


AB ,

AB 与
u反向
0,
A B

关于向量的投影定理1
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
三个坐标轴的正 方向符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指

北京航空航天大学 线性代数 课件 空间向量

北京航空航天大学 线性代数 课件 空间向量
2009工科高等代数
刘敬伟 博士 jwliu_2005@
机动
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相 关 事 宜
学习辅导用书：
《高等代数方法指导》姚幕生编---复旦大学出版社 参考书： 1.《高等代数》第三版,北京大学数学系编—高教出版社 2.《线性代数》第三版,同济大学数学系编—高教出版社 作业规格：16开作业纸，注明姓名、学号 交作业时间：每周四上完《高代》课后 答疑时间：每周三、四、五 19:00---21:00
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2. 向量的减法
规定: b a = b + ( a ) 特别地，当 b = a 时
b a = a a = a + ( a ) = 0
a
b b a b + ( a )
a
三角不等式:
ab a b
ab a b
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推论2. 向量a, b, c 不共面的充分必要条件是: 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 例2. 设向量a, b, c , 证明 a + b, b + c, c a 共面. 证: 因为 1(a + b) + (1)(b + c) + 1(c a)=0, 且 1, 1, 1 不全为零, 由命题3可知, a + b, b + c, c a 共面.
c=a+b.
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[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-3

[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-3

1 1 1 1 1 1 0 0 3 0 0 －3 3 1 1 1 1 (-1) 0 0 1 1 0 0 0 0 于是原方程组的解为 x1 x 2 1 1 0 0 x x 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 x4 x3 x4 x4
j 1 j 1
故(kl1, kl2, …, kln) 为齐次方程组Ax=0的解向量. 注：解向量的任意线性组合仍为解向量. 齐次线性方程组Ax=0解向量的维数为n, 当 它有无穷多解时, 解向量的个数大于n, 因此所 有解向量构成的向量组线性相关, 这样解向量 组就必存在最大线性无关组, 使得每一解向量 可由这个最大线性无关组线性表出.
aij x j 0
j 1
n
i 1,2 ,m
齐次线性方程组解的性质 性质1 齐次线性方程组Ax=0的两个解向量 的和仍是解向量. 证 设(k1, k2, …, kn)及(l1, l2, …, ln) 是齐次 方程组Ax=0的两个解向量，则有
aij ( k j l j ) aij k j aij l j 0
定义 设α1, α2, …, αk是齐次线性方程组(2)的 一组解向量，并且 1. α1, α2, …, αk是线性无关的； 2.方程组(2)的任意一个解向量均可由α1, α2, …, αk 线性表出. 则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组(2)的一个 基础解系. 基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性 无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯 一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向 量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax=0的基础 解系所含向量个数是唯一确定的.
证 设β1, β2,…, βn-r 是齐次方程组(2)的任意nr个线性无关的解向量， α 是任意一个解向量. 因为R(A)=r<n，则由定理3.1知方程组有基础 解系α1, α2,…, αn-r .

北航理学院线性代数教学大纲(Word)

北航理学院线性代数教学大纲(Word)

《线性代数》教学大纲课程编号：课程名称：线性代数英文名称：Linear Algebra学时学分：学时 52 学分3先修课程：向量代数，空间解析几何一、课程教学目标线性代数是讨论有限维空间中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科大学本科各专业的重要基础理论课。

本课程不仅是学生必须掌握的数学基础，同时也在现代科学技术的各个领域有着十分广泛的应用。

通过本课程的教学，应达到以下的目的和要求：l．使学生掌握线性代数的基本理论和研究方法，并能较为灵活地加以运用。

2．培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，运用线性代数的基本理论分析问题的能力，并为学生进一步学习其它数学课程和专业课程打下良好的基础。

为达到以上目的和要求，在教材内容和课程设置中应注意以下问题：（1）鉴于本课程对初学者较为抽象，故应通过较多的实际例子和直观的几何图形及与空间解析几何的内容相结合等方法来引入相关的概念和加深对有关定理的理解。

（2）应通过相关的定理证明及应用，逐步培养学生抽象的思维能力和严谨的推理能力，以及运用线性代数的基本理论分析问题的能力。

二、大纲的基本内容及学时分配第一章行列式（6学时）第一节行列式的定义第二节行列式的性质第三节行列式的计算第四节克拉默（Cramer）法则基本要求：1．理解n阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式2．熟练掌握行列式的基本性质和计算方法3．掌握行列式的展开定理，并能运用定理将高阶行列式化成较低阶行列式进行计算。

4．熟练掌握克莱姆法则，理解齐次线性方程组有非零解的必要条件。

第二章矩阵（11学时）第一节矩阵的概念第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节分块矩阵第五节矩阵的秩第六节初等变换与初等矩阵基本要求：1．理解矩阵的概念，掌握矩阵的简单代数运算（线性运算、乘法、转置）及其运算法则。

2．理解矩阵的秩和逆矩阵的概念。

掌握逆矩阵存在的条件，掌握逆矩阵的性质及熟悉矩阵求逆的方法。

3．熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念与性质。

2019北京航空航天大学线性代数课件第一章行列式的定义-文档资料

北京航空航天大学 数学与系统科学学院
朱立永
线性代数
这一讲的主要内容
• 这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及考核方式 • 行列式的定义
线性代数
线性代数课程简介
• 英文名字：Linear Algebra • 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； • 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； • 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。
2.
线性代数
本门课程的特点
• 具有较强的抽象性和逻辑性
• 各部分内容有紧密的联系
线性代数
课程安排及考核方式
• 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 • 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90％ 2．平时作业占10％
线性代数
其它要注意的几点
线性代数
本章的主要内容
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆（Cramer）法则
§1.5 数域
线性代数
§1.1
n阶行列式
1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义
线性代数
1.1.1 排列与逆序
•
定义1.1.1
• 课前一定要做好预习 • 课后要认真完成作业 • 有问题要及时问（/google），（答疑时间 和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：
线性代数
第一章 行列式
• 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。

[考研数学]北京航天航空大学线性代数 5-(1,2)b

因此属于 = 1的全部特征向量为
1 1 k1 1 k 2 0 k1, k2不同时为零. 0 1 对3=5, 解方程组 (5EB)x=0, 4 x1 2 x 2 2 x 3 0 即 2 x1 4 x 2 2 x 3 0 2 x 2 x 4 x 0 1 2 3 4 2 2 1 2 1 1 0 1 由 2 4 2 0 6 6 0 1 1 2 2 4 0 0 0 0 0 0
x1 x 3 得一般解 x 2 x 3 x x 3 3
1 取基础解系为 1 1 因此B的属于=5的全部特征向量为 1 k 1 , k0为常数. 1 上面两个例子中, 特征方程的单根的线性 无关的特征向量为1个, 二重根可以是一个也 可以是两个. 都不超过特征根的重数.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为 1 1 , 1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 , 1 2 ,1 n 有意义. 设xi是A的属于i的特征向量, 则 Axi i xi ( i 1,2,, n) 1 1 x A xi , 左乘A , 有 i i 1 1 即 A xi xi .
例3 若A2=A, 称A为幂等矩阵, 证明幂等矩阵 的特征值只可能是0和1.
证明 设0是A的特征值, x是A的属于0的特 征向量, 则 Ax 0 x . 由于 0 x Ax A2 x A( Ax ) 2 A(0 x ) 0 ( Ax ) 0 x . 2 ( 即 0 0 ) x 0. 0 0或0 1. 而x0, 0 (1 0 ) 0. 得 注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.

向量的坐标知识点总结

向量的坐标知识点总结向量是线性代数中的一个重要概念，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量。

在实际应用中，向量通常使用坐标来进行表示和计算，因此对向量的坐标知识掌握至关重要。

本文将对向量的坐标知识进行总结，包括向量的定义、坐标表示、向量的运算等内容。

1. 向量的定义在数学中，向量通常可以用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，而箭头的方向代表向量的方向。

向量的大小可以用一个实数来表示，而向量的方向可以用一个角度或者另一个向量来表示。

在二维空间中，向量可以用一个有序对表示；在三维空间中，向量可以用一个有序三元组来表示。

2. 向量的坐标表示向量通常可以用其起点和终点的坐标来表示。

在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别代表向量的横坐标和纵坐标；在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b和c分别代表向量在x、y、z轴上的坐标。

3. 向量的基本运算（1）向量的加法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的和可以表示为a+b=(a1+b1, a2+b2, …, an+bn)。

向量的加法满足交换律和结合律。

（2）向量的数乘设有一个向量a=(a1, a2, …, an)，和一个实数k，那么这个向量的数乘可以表示为ka=(ka1, ka2, …, kan)。

向量的数乘满足分配律和结合律。

（3）向量的减法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的差可以表示为a-b=(a1-b1, a2-b2, …, an-bn)。

向量的减法可以转化为向量的加法，即a-b=a+(-b)。

（4）向量的数量积和向量积向量的数量积也称为点积或内积，它表示为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

向量的向量积也称为叉积或外积，它表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。

7.5-3向量的坐标


r r
a b ax bx , ay by , az bz
r r
a b ax bx , ay by , az bz
2.向量与数的乘法的坐标表达式
r
a ax , ay , az ,
ar ax , ay , az
3.平行向量对应坐标成比例
当
r a
0
时,
bx by bz ax ay az
k
O
r j
i
A
B y
x
N
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k 记 (x, y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
沿三个坐标轴方向的分向量,
z C
M
k
O
r j
i
B y
A
x
N
向量的坐标
二、向量运算的坐标表示
1.向量加减法的坐标表达式
r
r
a ax , ay , az , b bx , by , bz ,
向量的坐标
第七章 空间解析几何与向量代数 第5节向量及其线性运算
向量的坐标
一、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量r 可用向径OM 表示. rrr
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x, y , z), 则
z C
M
OM ON NM OA OB OC
bx ax
by ay
bz az
例 1 设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知点，而 在 AB直线上的点 M 分有向线段 AB为两部分 AM 、
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节向量的坐标基变换与坐标变换
一向量的坐标
定义设V是数域K上的n维线性空间, 是V的一组基底,对任意 V,可由基底线性表出
1,2, ,n
x 11 x 22 x n n
则称有序数
x1,x2, ,xn 为元素 在基底
1, 2, , n 下的坐标,记作
(x1,x2, ,xn)
代入 1, 2, …, n的表达式, 得
(k1a11+k2a12+…+knan1) 1+ (k1a21++…k+2(ak12a21n++k…2a2n++…kn+aknann2n)) n=20
由 1, 2, …, n线性无关, 则
a11k1 a21k2 an1kn 0 a12k1 a22k2 an2kn 0 a1nk1 a2nk2 annkn 0
定理3.1 设 1, 2, …, n是线性空间V的一组基底,
V, 则表达式
x 11 x 22 x n n
是唯一的(坐标的唯一性).
证明
设 在基底 1, 2, …, n下有两种表达式
则
x 11 x 22 x n n y 11 y 22 y n n
( x 1 y 1 ) 1 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) n 0
由 1, 2, …, n线性无关, 得
x i y i(i 1 ,2 , ,n )
例1 P4[x]的两组基底为
1,x,x2,x3,x4 1 ,1 x ,1 x x 2 ,x 3 ,x 4 求 f(x ) 4 x 4 5 x 2 3 x 4
1 a111 a122 a1nn 2 a211 a222 a2nn
n an11 an22 annn
是V中一组基底
证明
只要证明 1,
2, …,
Daij 0.
n线性无关.
1, 2, …, n线性无关 k1 1+k2 2+…+kn n=0只有零解.
标分别为(x1, x2, …, xn)与(y1, y2, …, yn), 则
x 1 y 1

x2

P

y2
或
x n
y n
y 1
x 1

y2

P
1
x2

y n
x n
或
(y1, y2, …, yn)= (x1, x2, …, xn)(P )-1.
称为坐标变换公式.
证明
设 =x1 1+x2 2+ …+xn n
x1
12Βιβλιοθήκη n
x2

xn
=y1 1+y2 2+ …+yn n
y1
1
x n
y n
由上节例2, P 可逆, 因此
y 1
x 1

y2

P
1
x2
y n
x n
例3 设n维线性空间中1=(1, 0, …, 0), 2=(0, 1, …, 0), …, n=(0, 0, …, 1)是一组基 底(自然基)， 1 =(1, 0, …, 0), 2 =(1, 1, 0, …, 0), …, n =(1, 1, …, 1)也是一组 基底. 求由基底1, 2, …, n到1 , 2 , …, n 的过渡矩阵及坐标间的关系.
得方程组 解得
k1 k2 k3 4

k k
2 3

k3 5

3

k
4

0
k 5 4
k1 7

k k
2 3

8 5
即f(x)在第二组基底下的坐标为 (7, -8, 5, 0, 4).

k
4

0
k 5 4
例2 若 1, 2, …, n是线性空间V的基底, 则
定义 设 1, 2, …, n与 1, 2, …, n是n维线性空间V的两组基, 并且
1 p111 p122 p1nn
2 p211 p222 p2nn
(1)
n pn11 pn22 pnnn
令
p11
P


p12
此方程组只有零解 系数行列式不为零
Daij 0.
注 (1) 例2给出了用已知基底构造其它基的方法. (2) 利用坐标的概念, 抽象的线性空间中的元素得到数量化, 这时其运算同一般向 量空间相同, 同样把n维线性空间称为n维向量空间, 它的元素也称为向量.
二 基变换与坐标变换 问题：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐标之间的关系如何？
2

n

y2

yn
由
( 1, 2, …, n)=( 1, 2, …, n)P,
代入得
y1
1
2

n
P
y2

由坐标的唯一性, 得
yn
x 1 y 1

x2


P

y2
p1n
p21 p22

pn1 pn2
称P为由基底 1, 2, …, n到 1, 2, …, n的过渡矩阵, (1)称为基底
变换公式.
p2n pnn
利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成 ( 1, 2, …, n)=( 1, 2, …, n)P.
定理3.2 设 1, 2, …, n与 1, 2, …, n是线性空间V的两组基底, 由 1, 2, …, n到 1, 2, …, n的过渡矩阵为P, 如果V中任意元素 在这两组基底下坐
在上述两组基底下的坐标.
解 显然f(x)在第一组基底下的坐标为
(4, 3, 5, 0, 4) 设
f ( x ) k 1 k 2 ( 1 x ) k 3 ( 1 x x 2 ) k 4 x 3 k 5 x 4 ( k 1 k 2 k 3 ) ( k 2 k 3 ) x k 3 x 2 k 4 x 3 k 5 x 4 4 x 4 5 x 2 3 x 4