线性方程组§3.4 矩阵的秩

第三章 线性方程组
a11 a21 证明：设所讨论的矩阵为 A am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n 而A的行 amn
秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证 r s ，再证 r s ）。 用 1,2 ,,m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设 1 ,, r 是它的一个极大线性无关组。因为 1 ,, r 线性无关， 故方程组 x11 xrr 0 只有零解。
a11 a12 a1n a21 ar1 a22 ar 2 的行秩 a2 n arn
r
因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量， 不妨设向量组 a11, a21,, ar1 ,
a12 , a22 ,, ar 2 ,
的秩。
3 4 1 1 2 4 1 2 0 3 0 3 3 4 1 1 2 4 1 2 A 解： 0 2 3 4 1 0 8 12 16 4 0 2 3 4 1 0 12 18 24 6
a11 x1 a21 x2 ar1 xr 0 a x a x a x 0 r2 r 此即齐次线性方程组 12 1 22 2 只有零解。 a1n x1 a2 n x2 arn xr 0
第三章 线性方程组
由引理知，这个方程组的系数矩阵
a1n a2 n ，秩A=r。A中极大无关组的个数为r， amn
不妨设这r个向量正是前r个行向量（不然，可以调换行向量的 位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个 向量取出来，作成新的矩阵 A1
a11 a21 A1 ar1 a12 a1n a22 a2 n ar 2 arn
线性无关。 由上一节的性质5知，其延长向量组：
a1r , a2r ,, arr
a a
11
, a21 , , ar1 , ar 1,1 , am1 ,
12
, a22 , , ar 2 , ar 1,2 , , am 2 ,

第三章 线性方程组
a
1r
, a2 r , , arr , ar 1,r , , amr
1 3 0 0 1 0 0 ，故知A的秩为3。 7 9 5
从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利 用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。 定理3.4.4 初等变换不改变矩阵的秩。
第三章 线性方程组
例3.4.3 求矩阵
2 3 2 1 11 1 2 4 1 2 A 11 14 56 5 18 2 8 10 26 10
充要条件是A的秩小于n。 证：充分性显然： 设A的秩=r<n。用 1 , 2 ,, n 表示A的列向量组。不妨设 1 , a2 ,, r 是列向量组的极大无关组。
第三章 线性方程组
设 n k11 k22 krr
a11
考虑A的行列式 A
a21 an1
极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性 相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1 阶子式的行向量也线性相关。由定理3.4.2知，这种子式全为零， 下证A中至少有一个r阶子式不为零。
第三章 线性方程组
a11 a21 设A am1
a12 a22 am 2
矩阵 A1 的行秩为r。因而其列秩也为r，即 A1 的列向量组的极大 无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而
第三章 线性方程组
a11 a21 ar 1
a12 a1r a22 a2 r 0 。它是矩阵A的一个r阶子式。 ar 2 arr
充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的 r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即
a22 a2 n
a11 an 2 ann
a i ,, ani i 1i 1 , i 2,3,, n 其中 0, a2 a11
由于 A 0, a11 0 ，故n-1阶矩阵 0
an 2 ann
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
a11 a21 的系数矩阵 A am1
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 s 无关，故知A的列秩 r , s 同理可证： பைடு நூலகம் ，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。 定理3.4.2 n n
a11 a12 a21 a22 矩阵 A an1 an 2 a1n a2 n 的行列式为零的 ann
a11 a21 ar 1 a12 a1r a22 a2 r 0 。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线性 ar 2 arr
无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知，A 中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零， 因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个 r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n ar1 x1 ar 2 x2 arn xn 0
（3.4.2）
是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的 个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。 定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等。
a22 a2 n
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组 a a 也线性相关， 2 12 1 ,, n 1n 1
a11 a11 即存在不全为零的数 k2 ,, kn ，使 a a k2 2 12 1 kn n 1n 1 0 a11 a11 第三章 线性方程组
a12 a1n 分别加上第一列的倍数 , , a11 a11
第三章 线性方程组
这样，在把 a12 ,, a1n 消为零的过程中，行列式 A 化为
a11 A a21 an1 0 0 a22 a2 n an 2 ann
1 0 7 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2 3 4 1 0 0 0 6 8 2 0
第三章 线性方程组
向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。 如何求矩阵的秩？ 例3.4.2 求
1 3 0 1 A 7 9 2 6 0 5 0 7 5 3 0 10 4 3 5 8
的秩
解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何 四阶子式均为0，故秩 A 3，现找到一个三阶子式
§3.4 矩阵的秩
上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成 一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向 量组成的。 定义3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的 向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。
1 0 例如3.4.1 求矩阵 A 0 0 2 2 0 0 1 3 2 1 2 2 的行秩和列秩。 4 2
1 1,2,1,2 ,2 0,2,3,2 , 3 0,0,2,3 , 4 0,0,0,1 其极大线性无关组是： 1 , 2 , 3 , 故A的行秩为3。
a12 a1n 整理得 k2 kn 1 k2 2 kn n 0 a11 a11
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 推论： 齐次线性方程组 ，有非零 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 解的充要条件是它的系数矩阵 A 的行列式为0。 an1 an 2 ann
又A的列向量为
第三章 线性方程组
解：A的行向量组是：
1 1,0,0,0 , 2 2,2,0,0 , 3 1,3,2,1 , 4 2,2,4,2 , 则列向量组的极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 故A的列秩也是3。
问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组 的解联系起来。 引理：如果齐次线性方程组
因此 1 , 2 ,, n 线性相关，它的秩小于n。
结论的必要性由Gramer法则立得，结论的充分性是定理 3.4.2的推论。 再考虑一般 m n 矩阵的秩与行列式的关系。
第三章 线性方程组
定义3.4.2 在一个 m n 矩阵A中任意选定k行，k列， 1 k min m, n 。位于这些选定的行和列的交叉位置上的 k 2 个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为A的一 个k阶子式。 定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r 阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。 证明：必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的
a11 a12 a21 a22 a22 a2 n an1 an 2 an 2 ann
a12
a1n
0 0 0 0
必要性： 若 A 0 ，我们对n用归纳法证明。 当n=1时，由 A 0 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为0<1。 假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用 1 , 2 ,, n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全 为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这 n个元素有一个不为0，不妨设 a11 0 ，则从第二列直到n列