定积分与微积分基本定理数学课题学习PPT

球体体积
利用定积分计算球体的体积，利用球 体体积公式V=4/3πr³，对r在区间 [a,b]上积分。
定积分在物理中的应用
变速直线运动的路程
定积分可以用来计算变速直线运动的路 程，将速度函数在时间区间[a,b]上积分 。
VS
静力矩
在力学中，定积分可用于计算平面图形对 某点的静力矩，将力矩函数在区间[a,b]上 积分。
高中数学课件第二章第13节《定积 分与微积分基本定理》
目 录
• 定积分的概念与性质 • 微积分基本定理 • 定积分的计算方法 • 定积分的应用 • 习题与解析
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分定义
牛顿-莱布尼茨公式
定积分是积分的一种，是函数在闭区 间上某个函数的代数和的极限，也可 以理解为求函数在闭区间上的整体效 果。
04
定积分的应用
平面图形的面积
矩形面积
定积分可以用来计算矩形区域的面积 ，只需将矩形的长度在区间[a,b]上 积分即可。
圆面积
定积分也可用于计算圆面积，利用圆 的面积公式A=πr²，其中r为半径，对r 在区间[a,b]上积分即可。
体积的计算
圆柱体体积
定积分可用于计算圆柱体的体积，将 圆柱体的底面积在高度方向上进行积 分。
详细描述：这道题目综合了定积分和微积分基本定理的知识点，需要学生灵活运用所学知识来解决复 杂问题，能够提高学生的综合运用能力。
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下限常数性质
∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)f(x+c)dx，其中c为常数。
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
01 02
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么该函数在区间$[a, b]$上的 定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于$F(b) - F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一 个原函数。

()
【解析】 路程S甲＝ v(t)dt的几何意义为曲线v甲与t ＝t1及t轴所围的区域面积，同理S乙＝ v(t)dt的几何意义 为曲线v乙与t＝t1及t轴所围的区域面积.由图易知S甲＞S乙， 因而选C.
【答案】 C
[自主体验]
在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，若
∈[0,1]，则图中阴影部分的面积S1与
，即
1.定积分 cosxdx＝
()
A.－1
B.0
C.1 解析：
D.π cosxdx＝sinx ＝sinπ－sin0＝0.
答案：B
2.已知k＞0， A.0 C.0或1
(2x－3x2)dx＝0，则k＝ B.1 D.以上均不对
()
解析： (2x－3x2)dx＝ 2xdx－0，∴k＝1. 答案：B
[特别警示] (1)若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上
连续，则
f(x)dx＝2 f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在
区间[－a，a]上连续，则 f(x)dx＝0. (2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用 定积分的性质 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，根据函数 的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析 式，分别求出积分值，相加即可.
S2之和最小值为
.
解析：S1面积等于边长为t与t2矩形面积去掉曲线y＝x2 与x轴、直线x＝t所围成的面积，即
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成面积 去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即
所以阴影部分面积S为
∵S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－ )＝0时，得t＝0，t＝ . ∴当t＝ 时，S最小，且最小值为S( )＝ . 答案：

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自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落
1．定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义：
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A．－1
B．1
C. 3
D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A．9π B．3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
菜单
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固 基
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___，即baf(x)dx＝limi＝n1 b－n af(ξi)．
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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③bf(x)dx＝_____a _______＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．

＝9kb2t4.当
x＝0
时，t＝0；当
x＝a
时，t＝t1＝
(
a b
1
)3
，又
dx＝vdt，故阻
力所做的功为 W 阻＝aF 阻 dx＝
t1 0
kv
2
vdt
＝k
t1 0
v3dt
＝k
t1 (3bt 2 )3 dt
0
0
＝277kb3t17＝277k3 a7b2. 答案：277k3 a7b2
[解题师说] 1．求曲边图形的面积的 4 步骤 (1)根据题意画出图形； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案． 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开：定积 分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的 面积在一般意义上总为正．
t0＝t2－2t＝8，
解得 t＝4 或 t＝－2(舍去)．
答案：D
4.如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成
一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形
的面积是 ( )
A．1
4 B.3
C. 3
D．2
解析：由yy＝＝－1，x2＋2x＋1， 得 x1＝0，x2＝2.
所以所求面积 S＝2 (－x2＋2x＋1－1)dx＝2 (－x2＋2x)dx
a
[冲关演练]
1．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第
二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为 v＝gt(g 为常数)，则
电视塔高为( )
1 A.2g
B．g
3 C.2g
D．2g

.
【解析】∵0
1 2
1
f(x)dx=
1 0
(ax+c)dx= a ������ 2 + cx |1 0
1 2
= a+c=f (x0 )=ax0 +c,
1 1 ∴ a+c=ax0 +c. 故 x0 = ∈[0 , 1 ]. 2 2
������ 2 ,x∈[0,1], 5. (2012·陕西西安模拟) 设f (x) = 1 (e为自然对数的底数) , 则 ,x∈(1,e]
3
1 3
8 3
2 0
x dx= x |2 c= 0 =4 ,
3 4
1 4
2 0
sin xdx=-cos
因为 1<1-cos 2<2, 所以 c<a<b.
3. (2012·湖北卷 , 3 )已知二次函数 y=f(x) 的图象如图所示, 则它与 x轴所围图 形的面积为( )
A.
2π 5
B.
3
C.
3 2
S= ������ ������(������) d������ +
������
������ ������
f(x)dx=
������ - ������ f ( x)dx+ ������������
f(x)dx.
(3) 定积分的性质 ① ② ③
������ ������ ������ ������ ������ ������
(3 ) 由两条直线 x=a , x=b( a<b) , 两条曲线 y=f(x), y=g ( x) 〔f(x) ≥g ( x) 〕围成
的平面图形的面积: S= ������

a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝
a
(其中 a<c<b)
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫
a
表示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
函数 f(x)的图象以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代数 和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx＝
a
(k 为常数)；
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积 分．
(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.
由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如图)． a
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方
便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝
a
F(b)－F(a)．
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
思想方法技巧
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．

119
1
函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 x= 和直线 x=4 所围成的封闭图形的面积为 24
.
2
【解析】
由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积
S=
1
1
2
x2dx+
4
1
1
1 3
2 3 4
1
1
1
dx= x 1 + 2 = − ×
3
3
3
3
8
1
2
+
16
2
−
3
3
=
119
3
− 2
2
+ 25ln(1 + )
4
0
=28-24+25ln 5=4+25ln 5.
点拨：定积分在物理中的应用是定积分最重要的应用之一,在利用导数几何意义求
参数范围时注意化归与转化思想的应用.
答案
解析
【追踪训练 3】一物体在力 F(x)=
5,0 ≤ ≤ 2,
(单位:N)的作用下沿与力 F
3 + 4, > 2
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一、定积分的几何意义


f(x)dx(f(x)>0)的几何意义:表示直线 x=a,x=b,y=0 及曲线 y=f(x)所围成
的 曲边梯形 的面积.
二、定积分的性质
1.
2.
3.






kf(x)dx=k

1
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+

2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=

表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围 成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴
有正有负 下方的曲边梯形的面积
(3)定积分的基本性质
①bkf(x)dx＝kbf(x)dx (k 为常数)；
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx ；
所以6 f(x)dx＝2 6f(x)dx＝8×2＝16.故选 D.
-6
0
[答案] D
2． (x－sin x)dx 等于( )
A.π42－1
B.π82－1
π2 C. 8
D.π82＋1
[解析]
(x－sin x)dx＝(12x2＋cos x)
[答案] B
＝π82－1.故选 B.
3．曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的图形面积为( )
考向二 应用定积分求面积
例 2 (1)(2015·郑州模拟)由曲线 xy＝1，直线 y＝x，x＝3
及 x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )
11
9
A. 6
B.2
C.12＋ln 3
D．4－ln 3
(2)(2014·陕西汉中模拟)抛物线 y2＝4x 与直线 y＝2x－4 围
成的平面图形的面积是________.
a
成的图形一定在 x 轴下方．
④若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.
-a
0
⑤微积分基本定理中 F(x)是唯一的．
其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
[解析] ①正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下