【2015高考数学(广东专用,理)一轮题库：第7章 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性

第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都□01相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的□02符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划中的基本概念画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．1．(2019·山西临汾模拟)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析 由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项中阴影部分所表示的区域．故选C.2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 A解析 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24. 3．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为( )A.3B. 5C. 3D. 2答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，y ≥x ≥1表示的平面区域如图，z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z 的最小值为 2.故选D.4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 不等式组表示的可行域是以A (5,4)，B (1,2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.6．(2019·河南新乡联考)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是________．答案 14解析 可见A (m ，m )，B (1,1)，所以当直线z ＝2x ＋y 过点A 时有最小值为3m ，当过点B 时有最大值为3，所以3＝4×3m ，所以m ＝14.核心考向突破考向一 二元一次不等式(组)表示平面区域例1 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y －1≥0，3x －2y －6≤0表示的平面区域的面积等于________．答案 32解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A (1,0)，B (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，3x －2y －6＝0，得C (4,3)．∴S △ABC ＝12AB ·|y c |＝12×1×3＝32.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.触类旁通如何确定二元一次不等式(组)表示的区域(1)直线定界，特殊点定域．注意边界线是实线还是虚线． 2不等式组中含有参数时，先正确作出不含参数的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域，然后转动或平移含参数直线使其满足题目要求，从而确定参数的取值范围.即时训练 1.(2019·郑州模拟)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．答案 13解析区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0,1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1,0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2,3)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.答案 ±1解析 直线x －ky ＋k ＝0过定点(0,1)，当k <0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定平行，此时k ＝－1，形成的四边形为等腰梯形，满足题意；当k >0时，若得到对称四边形，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0一定垂直，验证(0,1)到直线x ＋y －2－1＝0的距离d ＝|0＋1－2－1|2＝1，满足题意，此时k ＝1.综上可知，k ＝±1.考向二 求目标函数的最值问题角度1 求线性目标函数的最值例2 (2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45答案 C解析 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，－x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)．由图知，当直线3x ＋5y －z ＝0过点A 时，z 取得最大值，故z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.触类旁通求目标函数z ＝ax ＋by 的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.即时训练 3.(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下平移，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.角度2 求非线性目标函数的最值例3 (2019·重庆一中模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0，则z ＝y ＋12x的最大值为________．答案 56解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图．因为z ′＝y ＋1x表示可行域内的点P (x ，y )与点A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －5＝0，得直线交点为B (3,4)，所以当P 在点B (3,4)时，z ′＝y ＋1x 有最大值4＋13＝53，因此z ＝y ＋12x 的最大值为56. 触类旁通目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：1x 2＋y 2表示点x ，y 与原点0，0间的距离x －a2＋y －b2，表示点x ，y 与点a ，b 间的距离.2y x 表示点x ，y 与原点0，0连线的斜率，y －b x －a表示点x ，y 与点a ，b 连线的斜率.即时训练 4.(2019·辽宁五校联考)已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么a 2＋b 2的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16 解析以a 为横轴，b 为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2<a ＋2b <4表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD 内部(不包括边界)．其中A (2,0)，B (0,1)，C (0,2)，D (4,0)．设P (a ，b )为区域内一个动点，则|OP |＝a 2＋b 2表示点P 到原点O 的距离，所以z ＝a 2＋b 2＝|OP |2.可得当P 与D 重合时，P 到原点距离最大，此时z ＝a 2＋b 2＝42＋0＝16；当P 点在直线BA 上，且满足OP ⊥AB 时，P 到原点距离最小，为212＋22＝25，此时z ＝a 2＋b 2＝45.综上所述，可得a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，16.角度3 求线性规划中的参数例4 (2019·江西红色七校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，若z ＝mx＋y 的最小值为－3，则m 的值为________．答案 －23解析作出可行域如图中阴影部分所示．当m ≤0时，z ＝mx ＋y ⇒y ＝－mx ＋z ，当直线y ＝－mx ＋z 过点C 时纵截距最小，从而z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴C ＝(3，－1)，∴3m －1＝－3，∴m ＝－23.当0≤m ≤1时，直线y ＝－mx ＋z 过点C 时，z 最小，由上面解法知不符合题意 当m >1时，直线y ＝－mx ＋z 过点B 时纵截距最小，从而z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由12m ＋32＝－3得m ＝－9与m >1矛盾． 综上可知m ＝－23.触类旁通1线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中. 2一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.即时训练 5.(2019·北京模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k >0时，如图1所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图2所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.考向三 线性规划中的实际应用问题例5 (2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元答案 B解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N ，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.触类旁通解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．2设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数.3作图：准确作出可行域，平移找点最优解. 4求解：代入目标函数求解最大值或最小值. 5检验：根据结果，检验反馈.即时训练 6.某中学生在制作纸模过程中需要A ，B 两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A ，B 两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A ，B 两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m ，n (m ，n 为整数)，则m ＋n 的最小值为( )A 规格B 规格甲种卡纸 2 1 乙种卡纸13A ．2 C ．4 D ．5答案 B 解析 由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0，m ，n ∈N ，又不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ≥4，m ＋3n ≥7，m ≥0，n ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z ＝m ＋n 在点(1,2)处取得最小值3.故选B.。

课时作业34 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、填空题 1．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3＜0表示的平面区域内，则a 的值为__________．2．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为__________．3．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是__________．4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x －3≤0，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋4y 的最小值为__________．5．给出平面区域如图所示，目标函数t ＝ax －y .若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数t 取最小值，则实数a 的取值范围是__________．6．已知点(3,1)和点(－4,6)在直线3x －2y ＋m ＝0的两侧，则实数m 的取值范围是__________．7．(2012福建高考改编)若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为__________．8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )．若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__________．9．(2012江苏高考，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是__________． 二、解答题10．(2012江苏如皋石庄中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，求a 的取值范围．11.(2012江西高考改编)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54(单位：亩)分别为多少．12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资的金额不超过10万元．(1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一投资方案，使得投资人获得的利润最大；(2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率．参考答案一、填空题1．－3 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3－3<0|4a －3×3＋1|42＋－2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <0|a －2|＝5⇒a ＝－3.2．－3 解析：如图，过点A (k ，k )时，z m ax ＝2k ＝6，k ＝3.z ＝x ＋y 在点B 处取得最小值，B 点在直线x ＋2y ＝0上，则B (－6,3)，∴z min ＝－6＋3＝－3.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≥0解析：根据题中图，先求出平面区域边界所在的直线，分别是x ＝0，y ＝－1及2x －y ＋2＝0，并且容易写出y ≥－1和x ≤0这两个不等式，对于另一个不等式，可把原点代入检验其符号为正，故为2x －y ＋2≥0.4．－6 解析：可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＋y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得B (3,8)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，得C (3，－3)．易知当目标函数过C 点时z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310 解析：由题意知k AC ＜a ＜k BC ，k AC ＝45－023－1＝－125，k BC ＝45－123－0＝－310，则－125＜a ＜－310. 6．(－7,24) 解析：依题意可知将点(3,1)和点(－4,6)的坐标代入直线方程应满足(3×3－2×1＋m )[3×(－4)－2×6＋m ]＜0即(m ＋7)(m －24)＜0⇒－7＜m ＜24，所以实数m 的取值范围是(－7,24)．7．1 解析：由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m .8．(1，＋∞) 解析：画出不等式组表示的可行域，如图：经计算，三条直线的交点坐标分别为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)，由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1－3a ，3－a ＞9－7a ， 解得a ＞1.9．[e ,7] 解析：由c ln b ≥a ＋c ln c ，得ln b ≥ac＋ln c ，即b ≥c ·ae e ，所以，原问题可化为满足约束条件35,4,ac b a c b a c b c e⎧+≥⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥⋅⎩的线性规划问题，如图所示，可行域为阴影部分．故可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，7c 2.目标函数b a 可视为可行域内的点与原点连线的斜率．下面求曲线b ＝c ·a ee 过原点的切线，b ′＝a ee ，设切点为(a 0，b 0)，则有b 0a 0＝00a cc ea⋅＝0a ee，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＝c ，b 0＝ec .将a 0＝c 代入两条直线b ＋a ＝4c ，b ＋3a ＝5c ，可知切点在点B ，C 之间．所以目标函数线过A 点取得最大值，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ax＝7c2c2＝7，过切点(c ，ec )取得最小值⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝e c c＝e ，故b a的取值范围为[e ,7]．二、解答题10．解：由约束条件可得可行域如图中阴影部分所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y在点(3,1)处取得最大值，则应有－a ＜－1，即a ＞1.11．解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩、y 亩，总利润为z 万元，则z 关于x ，y 的关系式为z ＝4x ×0.55－1.2x ＋6y ×0.3－0.9y ＝x ＋0.9y ，且x ，y 满足约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54.画可行域，如图所示：设l 0：y ＝－109x ，将l 0上下平移可知，当直线z ＝x ＋0.9y 过点A (30,20)(注：可联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －50＝0，1.2x ＋0.9y －54＝0，解得点A 的坐标)时，z 取最大值，因此当总利润z 最大时，x ＝30，y ＝20，即黄瓜的种植面积为30亩，韭菜的种植面积为20亩．12．解：(1)设分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，z 代表盈利金额．则z ＝x ＋0.5y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.作出可行域，如下图所示．易知B 点为最优解，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得B (4,6)．故z m ax ＝4＋0.5×6＝7，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大．(2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图：P ＝S △AOC S △AOD ＝12×103×1012×10×10＝13. 故投资人资金亏损不超过1万元的概率为13.。

第六章 不 等 式第第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划1. 已知点P(x ，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则点P 到直线4x ＋3y ＋1＝0的距离的最大值是________．答案：3解析：由题意结合可行域可知，P(2，2)到直线4x ＋3y ＋1＝0的距离最大，由点到直线的距离公式可计算出d ＝3.2. 若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．答案：－1解析：作出不等式所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图象可知当直线经过点C(0，1)时，直线y ＝3x －z 的截距最大，此时z 最小，最小值为z ＝3x －y ＝－1.3. 设实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x 、y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是________．答案：13解析：作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，x 、y 为整数，所以x ＝3，y ＝1，z min ＝3×3＋4×1＝13.4. 设变量x 、y 满足|x|＋|y|≤1，则x ＋2y 的最大值为________.答案：2解析：不等式|x|＋|y|≤1对应的区域如图所示，经过点(0，1)时x ＋2y 的最大值为2.5. 已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1x ＋y ≤m ，，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝________．答案：5解析：画出可行域便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与x ＋y ＝m 的交点⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13时， 函数z ＝x －y 取得最小值，∴ m ＋13－2m －13＝－1， 解得m ＝5.6. 设m>1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________． 答案：(1，1＋2)解析：画出可行域，或分别解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝mx ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1得到三个区域端点(0，0)，(12，12)，⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1，当且仅当直线z ＝x ＋my 过点⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，z 取到最大值z ＝m 2＋1m ＋1<2，解得m ∈(1，1＋2)．7. 已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3≥04x ＋3y －6≤0y ≥0，Q ＝{(x ，y)|(x －a)2＋(y －b)2≤r 2，r>0}，若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab ＝________．答案：14解析：依题意Q P ，在坐标平面内画出P 中不等式组表示的平面区域，结合图形分析可知，当(x －a)2＋(y －b)2＝r 2恰好是Rt △ABC(其中点A(－1，0)、B ⎝⎛⎭⎫32，0、C ⎝⎛⎭⎫35，65，AB ＝52，BC ＝32，CA ＝2)的内切圆时，r 取得最大值， 此时r ＝CA ＋BC －AB 2＝12，⎩⎨⎧b ＝r ＝12，3a －4b ＋35＝12， 由此解得a ＝b ＝12，所以ab ＝14. 8. 设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x)n －8≥0对任意x ∈[－4，2]都成立，则n m的最大值为________．答案：3解析：设y ＝2xm ＋(2－x)n －8，整理可得y ＝(2m －n)x ＋(2n －8)．当2m －n ≥0时，∵ x ∈[－4，2]，∴ y min ＝(2m －n)·(－4)＋(2n －8)＝－8m ＋6n －8；当2m －n<0时，∵ x ∈[－4，2]，∴ y min ＝(2m －n)·2＋(2n －8)＝4m －8.∵ 不等式2xm ＋(2－x)n －8≥0对任意x ∈[－4，2]都成立，。

第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题[基础题组练]1．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤12，2x ＋3y ≥－6，0≤x ≤6所表示的平面区域的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．1213解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积S ＝(4＋2)×6＝36.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋2y ）≥0x ≥1，则2x －y ( )A ．有最小值，无最大值B ．有最大值，无最小值C ．有最小值，也有最大值D ．无最小值，也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，z 表示直线在y 轴上的截距的相反数．平移直线y ＝2x －z ，可得当直线过点A 时z 取得最小值，z 没有最大值．故选A.4．(2020·台州高三质检)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m 表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为( ) A.32 B.43 C ．2D ．4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43.5．(2020·金华十校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8，10]B ．[8，9]C ．[6，9]D ．[6，10]解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a的最大值是( )A.25B.23C.16D.14解析：选A.易知a ≠0，那么目标函数可化为y ＝－1a x ＋1az .要使目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－1a ＝k AC ＝1，则a ＝－1，故y x －a ＝yx ＋1，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点M (－1，0)的连线的斜率，可知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋1max＝k MC＝25，故选A.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4则z ＝－x ＋y 的最小值是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (1，1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，C (0，4)．经过点A 时，目标函数z 达到最小值． 所以z min ＝－1＋1＝0. 答案：08．(2020·杭州中学高三期中)已知点A (3，3)，O 为坐标原点，点P (x ，y )满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则满足条件的点P 所形成的平面区域的面积为________，OP →在OA →方向上投影的最大值为________．解析：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由⎩⎨⎧3x －y ＝0x －3y ＋2＝0得到C (－2，0)，B (1，3)，所以其面积为12×2×3＝ 3.令OP →在OA →方向上投影为z ＝OA →·OP →|OA →|＝3x ＋3y 23＝32x ＋12y ，所以y ＝－3x ＋2z ，过点B时z 最大，所以，OP →在OA →方向上投影的最大值为32＋32＝ 3.答案： 339．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0，1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：610．(2020·温州市高考实战模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为________． 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4，0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.答案：1611．(2020·杭州市高三模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x |＋|y |的取值范围．解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，0≤x ≤1. (2)当x ≥0，y ≥0时，z ＝|x |＋|y |＝x ＋y 过(1，12)时有最大值为32，过O (0，0)时有最小值0； 当x ≥0，y ≤0时，z ＝|x |＋|y |＝x －y 过(1，－1)时有最大值为2，过O (0，0)时有最小值0.所以|x |＋|y |的取值范围是[0，2]．12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．[综合题组练]1．(2020·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)C ．[－7，7]D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2x －y ≤0x ≥－4所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ，当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值，即z max ＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m 2≥7，即实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.2．(2020·温州校级月考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B ．(1，5) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．(1，5]解析：选C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域M 至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点C (2，2)时，圆与平面区域M 至少有两个公共点，此时a ＝5，故实数a 的取值范围是12<a ≤5.3．(2020·丽水模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是____________．解析：作出可行域，如图所示(阴影部分)，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，所以a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同的实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＞0，f （1）＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0⇒－103＜k ＜－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 4．设a ＞0，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y －4≤0，x －y ＋2a ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤a 2}．若“点P (x ，y )∈A ”是“点P (x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是____________．解析：由题意知BA ，从而得到圆面的半径≤圆心到相应直线的距离，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤3，|1＋1－4|2≥a ，|1－1＋2a |2≥a ，解得0＜a ≤ 2.答案：0＜a ≤ 25．甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者订做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，求组委会订做该工艺品的费用总和最低为多少元．解：设甲厂生产一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，x ，y ∈N ， 则乙厂生产一等奖奖品(3－x )件，二等奖奖品(6－y )件．则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3－x ≥0，6－y ≥0，x ，y ≥0，设费用为z 元，则z ＝500x ＋400y ＋800(3－x )＋600(6－y )＝－300x －200y ＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即A (3，1)，故组委会订做该工艺品的费用总和最低为z min ＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．6．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，求ba的取值范围．解：条件5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c 可化为：⎩⎪⎨⎪⎧3·a c＋b c≥5，a c ＋b c≤4，b c ≥e a c .设a c＝x ，b c＝y ，则题目转化为：已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x，x ＞0，y ＞0，求yx 的取值范围．求目标函数z ＝b a ＝y x的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，过原点作y ＝e x的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72时，z max ＝7，故b a ∈[e ，7]．。

第03节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【2017北京，理4】若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2.【2017届浙江台州高三上期末】已知实数满足，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以，应选答案A.3. 【2017北京西城区5月模拟】在平面直角坐标系中，不等式组320, {330,x yx yy-≥--≤≥，表示的平面区域的面积是（）A. 1B.32C. 2D.52【答案】B4.已知,x y满足约束条件20,6,26,xx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若目标函数3z x y a=++的最大值是10，则a=（）A．4- B．0 C．1 D．6【答案】A 【解析】y=-3xA(4,2)2x-y=6x+y=6x=2Oy5.实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若32x y m -≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)9,+∞B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,93⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】试题分析：因为实数,x y 满足10230260x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域如图，由图可知，当经过点 ()3,0时，32x y -有最大值9，所以m 9≥，故选A.6. 【2018湖北襄阳四中模拟】设,x y满足约束条件70{310350x yx yx y+-≤-+≤--≥，则142yxz⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最大值为( )A. 1024B. 256C. 8D. 4【答案】B平移直线y=2x−u由图象可知当直线y=2x−u过点A时，直线y=2x−u的截距最小，此时u最大，由70 {310 x yx y+-=-+=,解得5{2xy==,即A(5,2).代入目标函数u=2x−y，得u=2×5−2=8，∴目标函数21422yx x yz-⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭,的最大值是28=256.本题选择B选项.7. 【2018贵州贵阳第一中模拟】若变量满足条件，则的最小值是（）A. 13B. 18C. 20D. 26【答案】B8.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足4a b m+=，则11a b+的最小值为（）A.3B.32C.2D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题.【答案】B【解析】如图，画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然z 的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距. 由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以z 的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以46a b +=. 故1111114()(4)(5)66b a a b a b a b a b+=++=++ 143(52)62b a a b ≥+⨯=. 当且仅当4b aa b=，即2b a =时等号成立. 9. 设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，则m 的取值范围为（ ）.A.()21,1+B.()+∞+,21 C.()3,1 D.()+∞,3 【答案】B10. 【2018湖北武汉调研】某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为（）A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元，则根据题意可得2212{212,0,,x yx yx y x y N+≤+≤≥∈，300400z x y=+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y+=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y==，此时z最大2400z=，故选C.11．【2018黑龙江大庆大庆实验中学模拟】已知,x y满足221{1x yx yy+≤+≥-≤，则z x y=-的取值范围是（）A. -2,1⎡⎤⎣⎦ B.[]-1,1 C. -2,2⎡⎤⎣⎦ D. -1,2⎡⎤⎣⎦【答案】D12. 【2018湖北武汉联考】已知()20{,|20360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥ ()2,,210;P x y D x y ∀∈-+≤：()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤-- ()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥： 其中真命题的是( )A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P 【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中()()()2,0,0,2,1,3A B C --，,所以直线z x y =+过点A 时取最小值20-<； 2-1z x y =+过点A 时取最大值1-；斜率11y x +-最大值为011-4-213+=->-，到原点距离的平方的最小值为2|002|22+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2018江西红色七校联考】设,x y满足约束条件2{103x yx yx+-≥-+≥≤，若z mx y=+的最小值为3-，则m的值为______.【答案】23m=-联立3{2xx y=+=解得A(3,−1)，化目标函数z=mx+y为y=−mx+z，目标函数的最小值就是函数在y轴上的截距最小，最小值为：−3，由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,−1),把A(3,−1)代入z=mx+y=−3,求得m=−2314. 【2018江西吉安新干县第二中模拟】设O 为坐标原点, ,若点B(x,y)满足，则的最大值是__________．【答案】15. 【2017四川泸州四诊】当实数,x y 满足不等式组0{022x y x y ≥≥+≤时， 10ax y a +++≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； 【解析】绘制不等式组表示的可行域，不等式即： ()()11a x y +≥-+，很明显10x +>，则： 11y a x +≥-+恒成立，即max11y a x +⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭，目标函数11y z x +=-+表示可行域内的点与点()1,1--连线的斜率的相反数，观察可知，目标函数在点()1,0处取得最大值111012+-=-+，据此可得实数a的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.16．已知点P在圆222410x y x y+-++=上，点Q在不等式组221x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，表示的平面区域内，则线段PQ长的最小值是__________．【答案】52-，，结合图象可得，20Q （，）当CPQ 共线，如上图时，有最小值2221252PQ CQ CP =-=+-=-；故答案为52-．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m AC n AB m OP ∈+=→→→.（Ⅰ）若31==n m ，求→OP ； （Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最小值.18．已知ABC ∆的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求b a的取值范围． 【解析】设a x b =，c y a =，则121210,0x y x y x y x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪⎨<+⎪⎪>>⎩， 作出平面区域（如图），由图知：21(,)33A ，31(,)22C ， ∴2332x <<，即2332b a <<． 19．设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1)若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝;(2)记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是.20．【2017届浙江台州高三4月调研】已知函数.（1）若函数在上存在两个极值点，求的取值范围；（2）当时，求证：对任意的实数，恒成立.【答案】(1)的取值范围;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）在上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组，，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当时，，利用导数分和两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明.试题解析：（1），由已知可得在上存在两个不同的零点，故有，即，令，由图可知，故的取值范围.（2）证明：，所以，当时，在上恒成立，则在上单调递增，故，所以；当时，由，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，要证，只需证，即证，因为，所以，所以成立.综上所述，对任意的实数恒成立.。