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2023年中小学数学教师招聘专业知识及
试题精选
本文档旨在总结和介绍2023年中小学数学教师招聘考试中的
专业知识要点，并提供一些试题精选供考生参考。
以下是主要内容：
一、专业知识要点
1. 数学教学理论：介绍数学教学的基本原理、教学方法和教学
设计原则。
2. 数学基础知识：概括数学的基本概念、定理、公式等重要内容。
重点关注中小学阶段数学课程的核心内容。
3. 教材解读和设计：解读教材的结构和教学要求，掌握合理选
用教材、设计教学方案的方法。
4. 数学题型和解题技巧：分析各类数学题型的特点和解题技巧，培养学生的问题解决能力和数学思维。
5. 数学教学评价：了解数学教学评价的基本方法和工具，掌握
学生学业水平的评估和反馈手段。
二、试题精选
以下是一些2023年中小学数学教师招聘考试中常见的试题类型：
1. 选择题：针对数学概念、定理和公式进行选择题测试，考察考生对基础知识的掌握和运用能力。
2. 计算题：要求考生进行具体的计算和推导，考察考生的计算能力和推理能力。
3. 应用题：结合实际问题进行综合性的解答和分析，考察考生的问题解决能力和应用能力。
4. 解题思路题：要求考生给出解题思路和解题过程，考察考生的数学思维和解题策略。
以上试题精选仅供参考，考生在备考过程中应结合自身实际情况进行有针对性的练和复。
希望以上内容对考生具有一定的帮助，祝愿大家在2023年中小学数学教师招聘考试中取得优异的成绩！。
第一部分小学数学第一章数与代数第一节数的认识一、基础知识（一）整数：1.整数的读法和写法例：“3121700”读作：三百一十二万一千七百2.整数的近似数“四舍五入”3.整数的运算加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4.自然数：5.数的整除：①整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
②如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
③个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
④偶数、奇数⑤一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）⑥一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
注意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
⑦每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
⑧几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
⑨公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
⑩几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
（二）小数：1.小数的读法和写法:2.小数的分类：①纯小数、带小数②有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
教师招聘考试：小学数学教师经典复习资料一、数与代数1、数的认识（1）整数、小数、分数、百分数等，都是数的范畴。
（2）掌握数的读写方法，理解数的意义，区分整数、小数、分数，是小学数学基础知识之一。
2、数的运算（1）掌握数的加减乘除、四则运算，以及简便运算方法，能够解决生活中的简单问题。
（2）理解小数、分数、百分数的转化方法，能够进行单位换算。
3、数的性质（1）理解数的整除性、倍数与约数等概念，掌握最大公约数、最小公倍数等性质。
（2）掌握质数、合数、质因数等概念，能够判断一个数是质数还是合数。
二、图形与几何1、图形的认识（1）掌握圆形、正方形、长方形、三角形等基本图形，了解图形的特点与性质。
（2）掌握轴对称、平移、旋转等基本图形变换方法。
2、图形的测量（1）掌握周长、面积、体积等基本测量方法，能够计算图形的周长与面积。
（2）掌握角的度量单位，能够计算角的度数。
三、统计与概率1、统计的基础知识（1）掌握数据的收集、整理、描述和分析方法。
（2）掌握条形图、折线图、扇形图等基本统计图，能够制作简单的统计图表。
2、概率的基础知识（1）理解随机事件、可能性等概念，掌握概率的计算方法。
（2）理解事件发生的频率与概率的关系，能够解决生活中的概率问题。
四、实践与应用1、数的应用（1）能够利用数的加减乘除解决生活中的简单问题，如购物计算、测量计算等。
（2）能够利用四则运算解决生活中的复杂问题，如行程问题、工程问题等。
2、图形的应用（1）能够利用基本图形设计简单的图案或创作美术作品。
（2）能够利用图形变换方法解决生活中的实际问题，如设计建筑方案等。
浙江省教师招聘考试资料小学英语浙江省教师招聘考试资料：小学英语一、考试概述浙江省教师招聘考试旨在选拔优秀的教育人才，为浙江省的小学教育注入活力。
小学英语作为重要的考试科目，要求考生具备扎实的英语基础、良好的教学能力和独特的教学理念。
二、考试内容小学英语教师招聘考试主要包括以下几个部分：1、专业知识：包括英语语法、词汇、阅读理解、写作等，着重考察考生的英语基础知识和应用能力。
小学数学复习考试知识点汇总一、小学生数学法则知识归类（一）笔算两位数加法，要记三条1、相同数位对齐；2、从个位加起；3、个位满10向十位进1。
（二）笔算两位数减法，要记三条1、相同数位对齐；2、从个位减起；3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。
（三）混合运算计算法则1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算；2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减；3、算式里有括号的要先算括号里面的。
（四）四位数的读法1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推；2、中间有一个0或两个0只读一个“零”；3、末位不管有几个0都不读。
（五）四位数写法1、从高位起，按照顺序写；2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。
（六）四位数减法也要注意三条1、相同数位对齐；2、从个位减起；3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。
（七）一位数乘多位数乘法法则1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数；2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。
（八）除数是一位数的除法法则1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数；2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面；3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
（九）一个因数是两位数的乘法法则1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐；2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐；3、然后把两次乘得的数加起来。
（十）除数是两位数的除法法则1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小，2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商；3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
（十一）万级数的读法法则．1、先读万级，再读个级；2、万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字；3、每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。
江西省中小学教师招聘考试小学数学学科专业知识考试大纲（2022年版）第一部分试卷结构与题型一、考试形式1.答卷方式：闭卷、笔试。
选择题用2B铅笔在专用答题卡上填涂作答，非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在专用答题纸上作答。
2.试卷分值：150分。
3.考试时间：120分钟。
二、试卷结构试卷分选择题和非选择题两部分。
1.选择题为单项选择题，共50题，共80分。
其中1~20题，每小题1分；21~50题，每小题2分。
试题涉及学科专业知识基础、新课程标准理念、教学实践知识等内容。
2.非选择题为解答题、材料分析题、教学片段设计题等，共4题，共70分。
其中解答题2题，分值分别为10分、15分；材料分析题1题，分值为20分；教学片段设计题1题，分值为25分。
三、试卷难度试卷包括容易题、中等难度题和较难题，其三者占比约为4：4：2，难度适中。
四、题型说明1.选择题为单项选择题，主要为学科专业知识基础和新课程标准理念及教学实践知识等内容。
学科专业知识基础考查适应小学数学教学必须掌握的基础数学知识和必备的数学素养，考查基础理论和常用的运算方法，考查运算能力和空间想象能力，初步的抽象思维、逻辑推理及模型思想。
新课程标准理念及教学实践知识考查新课标相关理念在教学中的应用等内容。
2.非选择题共4题，包括解答题、材料分析题、教学片段设计题等题型。
内容涉及小学数学教学必须掌握的基础数学知识和必备的数学素养、小学数学课程、教学论及教材教法等内容。
（1）解答题共2题，一题为小学方面内容，一题为中小衔接方面内容。
主要考查考生推理论证能力、运算求解能力，以及数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
（2）材料分析题为主观性试题。
题目形式是在试题中引出一段或几段材料，要求应试者在读懂试题材料的前提下，依据文本所体现的知识网络，从提供的材料中最大限度地获取有效信息，并能结合相应的教育理论知识逐一解答试题中所提出的各个问题。
这种试题能够有效地考查考生驾驭材料的阅读能力、分析能力、综合运用能力及知识迁移能力等较高层次的学科能力，反映考生的知识掌握熟练程度和相关知识的应用创新能力。
2024教师招聘考试小学数学学科专业知识2024年教师招聘考试：小学数学学科专业知识深度解析在2024年的教师招聘考试中，小学数学学科专业知识将是一个重要的考察领域。
本文将深入解析小学数学学科专业知识，为备考者提供指导和帮助。
一、考试内容及题型分析小学数学学科专业知识考试主要涵盖以下内容：数的认识、数的运算、方程与不等式、图形与几何、概率与统计等。
题型通常包括选择题、填空题、计算题、应用题等。
二、知识点梳理与解析1、数的认识：要求掌握整数、小数、分数的概念和性质，能够进行大小的比较和四则运算。
2、数的运算：掌握加减乘除四则运算的意义和规则，理解运算顺序和括号的使用，能解决简单的实际问题。
3、方程与不等式：理解方程的概念和解题方法，掌握一元一次方程的解法，了解不等式的概念和性质，能解简单的不等式。
4、图形与几何：掌握常见图形的特征和周长、面积、体积的计算方法，理解图形的平移、旋转、对称等变换。
5、概率与统计：理解概率的概念和计算方法，掌握统计图表的基本知识和绘制方法，能进行简单的数据分析。
三、备考策略1、梳理知识点：将考试内容梳理成模块，按照模块进行知识点的分解和整理，形成自己的知识框架。
2、理论联系实际：在掌握理论知识的同时，注重与实际问题的结合，提高解决问题的能力。
3、做题训练：多做真题和模拟题，训练做题的速度和准确率，找出自己的薄弱环节，进行有针对性的补充。
4、拓展视野：关注数学教育的最新动态和相关政策，了解小学数学的教学改革趋势，提高综合素质。
四、结语小学数学学科专业知识是教师招聘考试的重要科目，备考者需要全面了解考试内容和题型，掌握知识点并灵活运用。
还需注重理论联系实际，提高解决问题的能力。
希望本文的解析和备考策略能对备考者有所帮助，祝愿大家取得优异的成绩！。
小学数学教师专业知识考试试题及答案一、填空(每空0.5分，共20分)1、数学是研究( 数量关系 )和( 空间形式 )的科学。
2、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，表达(根底性 )、(普及性 )和(开展性 )。
义务教育的数学课程应突出表达(全面 )、(持续 )、(和谐开展 )。
3、义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性开展的需要，使得：(人人都能获得良好的数学教育)，(不同的人在数学上得到不同的开展 )。
4、学生是数学学习的(主体)，教师是数学学习的( 组织者 )、( 引导者)与(合作者)。
5、"义务教育数学课程标准"(修改稿)将数学教学内容分为(数与代数 )、(图形与几何 )、(统计与概率)、( 综合与实践)四大领域；将数学教学目标分为(知识与技能 )、(数学与思考)、(解决问题 )、(情感与态度)四大方面。
6、学生学习应当是一个(生动活泼的)、主动的和(富有个性)的过程。
除(承受学习 )外，(动手实践)、(自主探索)与(合作交流)也是学习数学的重要方式。
学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、(计算)、推理、(验证)等活动过程。
7、通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步开展所必须的数学的"四基〞包括(根底知识 )、(根本技能 )、(根本思想)、( 根本活动经历)；"两能〞包括(发现问题和提出问题能力)、(分析问题和解决问题的能力)。
8、教学中应当注意正确处理：预设与(生成)的关系、面向全体学生与(关注学生个体差异 )的关系、合情推理与(演绎推理)的关系、使用现代信息技术与(教学手段多样化)的关系。
二、简答题：(每题5分，共30分)1、义务教育阶段的数学学习的总体目标是什么？通过义务教育阶段的数学学习，学生能：(1). 获得适应社会生活和进一步开展所必须的数学的根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经历。
(2). 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进展思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
小学数学教师专业知识考试试题及答案小学数学教师专业知识考试试题及答案文章类型：说明文在小学数学教育领域，教师的专业知识掌握程度至关重要。
为了评估教师的专业知识水平，许多学校和教育机构都会组织专业知识考试。
本文将提供一份小学数学教师专业知识考试试题及答案，帮助教师了解考试内容和提高自身专业素养。
一、试题部分1、请简述小学数学教学中的十种教学方法？2、请说明小学数学中的五大运算定律及其应用。
3、请解释“等腰三角形”的概念，并列举三种证明方法。
4、请说明“分数”的定义和分类，并举例说明。
5、请简述如何培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、答案部分1、小学数学教学中的十种教学方法：讲解法、演示法、练习法、实验法、游戏法、故事法、图解法、探究法、讨论法和竞赛法。
2、小学数学中的五大运算定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和分配律。
它们在数学运算中起到重要作用，如加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变；乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
这些定律在解决数学问题时非常实用。
3、等腰三角形是指两条边长度相等且两个角相等的三角形。
证明方法包括：利用等腰三角形的定义，通过测量两条边的长度相等；利用三角形内角和定理，证明两个内角相等；或者利用全等三角形的性质，证明两角和一边相等。
4、分数是指部分与整体的关系，用分母表示整体，分子表示部分。
分数可分为真分数、假分数和带分数。
例如，真分数就是分子小于分母的分数，如2/3；假分数就是分子等于或大于分母的分数，如3/2；带分数就是整数和真分数组合而成的数，如1 1/2。
5、培养学生的数学思维能力和创新能力需要从多个方面入手。
首先，激发学生对数学的兴趣，让他们热爱数学，主动思考；其次，强化基础知识，让学生熟练掌握数学概念和公式；再次，培养学生的逻辑思维能力，让他们能够分析、推理和归纳；最后，鼓励学生动手实践，通过解决问题来培养创新能力。
三、总结本文提供了一份小学数学教师专业知识考试试题及答案，旨在帮助教师了解考试内容和提高自身专业素养。
教师招聘小学数学专业基础知识必考(史上最全)标题：教师招聘小学数学专业基础知识必考（史上最全）导言本文旨在为教师招聘考试中的小学数学专业基础知识提供全面的复资料。
通过掌握下述知识点，考生可以在考试中有更好的准备，提高通过率。
知识点一：数的认识与运算1. 自然数、整数、有理数、实数和虚数的概念及其相互包含关系。
2. 加法、减法、乘法和除法的性质及其运算规则。
3. 分数、小数和百分数的相互转化和运算。
4. 竖式计算、口算以及简便计算法。
知识点二：代数式与方程1. 代数式的定义及其基本性质。
2. 一次方程、二次方程以及含参数方程的解法。
3. 分式方程和绝对值方程的解法。
4. 代数式的展开与因式分解。
知识点三：几何与图形1. 图形的基本概念，如点、线、线段、射线、角、面等。
2. 二维图形的分类及其性质，如三角形、四边形、圆等。
3. 二维图形的面积、周长和体积的计算方法。
4. 三维图形的表面积和体积的计算方法。
知识点四：函数与图像1. 函数的定义、性质及其表示方法。
2. 一次函数、二次函数和分段函数的图像特征和变化规律。
3. 函数的概念扩展，如反函数、复合函数等。
4. 函数的应用，如函数模型的建立和函数关系的分析。
知识点五：数据分析与统计1. 统计数据的收集、整理和描述方法。
2. 样本与总体的概念以及抽样调查的方法。
3. 数据的图表表示与分析。
4. 数据的统计指标，如平均数、中位数、众数等。
总结教师招聘考试中的小学数学专业基础知识是考生取得成功的重要基石。
通过充分掌握上述的知识点，并进行系统化的练习和复习，考生们将可以在考试中有更好的发挥，取得优异的成绩。
祝各位考生成功！。
江西教师招聘考试小学数学真题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪一个选项是小学数学课程标准中提出的数学课程性质？（）A. 实用性B. 工具性C. 基础性D. 应用性答案：C解析：小学数学课程标准中提出的数学课程性质是基础性、普及性和发展性。
故选C。
2. 在小学数学教学中，以下哪种教学方法最有利于激发学生的学习兴趣？（）A. 讲授法B. 演示法C. 探索法D. 练习法答案：C解析：探索法是一种以学生为主体的教学方法，通过引导学生自主探索、发现、解决问题，有利于激发学生的学习兴趣。
故选C。
3. 以下哪一个选项是小学数学课程内容的主线？（）A. 数的概念B. 数的关系C. 数的运算D. 数的应用答案：C解析：小学数学课程内容的主线是数的运算，包括加法、减法、乘法、除法等。
故选C。
二、填空题（每题2分，共20分）4. 小学数学课程标准中，要求学生掌握的四则运算顺序是______、______、______、______。
答案：先乘除，后加减，同级从左到右，有括号先算括号5. 小学数学中，自然数的个数是______。
答案：无限6. 0.3的计数单位是______，它有______个这样的计数单位。
答案：0.1，37. 一个三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm，这个三角形是______三角形。
答案：直角三、判断题（每题2分，共20分）8. 小学数学教学中，让学生多做练习题，就能提高学生的数学成绩。
（）答案：错误解析：提高学生的数学成绩需要从教学方法、学生兴趣、课堂氛围等多方面入手，仅靠多做练习题是不够的。
9. 在小学数学教学中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。
（）答案：正确解析：逻辑思维能力是数学能力的重要组成部分，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。
10. 小学数学课程标准中，要求学生掌握的数的概念包括整数、小数、分数。
（）答案：正确四、简答题（每题5分，共15分）11. 简述小学数学教学原则。
数学教师招聘考试专业知识复习一、复习要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
二、学习指导1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。
3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x ∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。
4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。
对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p 为真。
（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。
因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。
从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当A⊆B 时，p是q的充分条件。
B⊆A时，p是q的充分条件。
A=B时，p是q的充要条件；（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。
学会用集合的思想处理数学问题。
三、典型例题例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。
解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。
M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。
其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。
M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。
一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。
此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。
集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
解题思路分析：化简条件得A={1，2}，A∩B=B⇔B⊆A根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m2-8<0∴22m22<<-当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆2m242m1或，m无解当B={1，2}时，⎩⎨⎧=⨯=+221m21∴ m=3综上所述，m=3或22m22<<-说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾∴假设不成立∴ x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。
解题思路分析：利用“⇒”、“⇔”符号分析各命题之间的关系D⇒C⇔B⇒A∴ D⇒A，D是A的充分不必要条件说明：符号“⇒”、“⇔”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。
例5、求直线 ：ax-y+b=0经过两直线 1：2x-2y-3=0和 2：3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。
由⎩⎨⎧=+-=--1y5x33y2x2得 1， 2交点P（411,417）∵ 过点P∴0b411417a=+-⨯∴ 17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11∴4a1711b-=代入 方程：04a1711yax=-+-整理得：0)417x(a)411y(=---此方程表明，直线 恒过两直线0417x,0411y=-=-的交点（411,417）而此点为 1与 2的交点∴充分性得证∴综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“⇔”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。
四、同步练习（一）选择题1、设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是A、{a}=MB、M≠⊆{a}C、{a}≠⊇MD、M⊇{a}2、已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是A、[0，2]B、（-2，2）C、（0，2]D、（0，2）3、已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是A、M≠⊆NB、M≠⊇NC、M=ND、不确定4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是A、11B、10C、16D、155、集合M={1，2，3，4，5}的子集是A、15B、16C、31D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是A、所给命题为假B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真D、它的否命题为真7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3 +1， ∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是A、S≠⊆B≠⊆AB、S=B≠⊆AC、S≠⊆B=AD、S≠⊇B=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0<m≤1或m<0B、0<m≤1C、m<1D、m≤110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的A、充分不必要条件B、必要不充分条件充要条件 D、既不充分又不必要条件（二）填空题11、已知M={Z24m|m∈-}，N={x|}N23x∈+，则M∩N=__________。
12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。
13、关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。
14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。
15、非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠⊆{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________。
（三） 解答题16、设集合A={(x ，y)|y=ax+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A ∩B 是单元素集合，求a 取值范围。
17、已知抛物线C ：y=-x 2+mx-1，点M （0，3），N （3，0），求抛物线C与线段MN 有两个不同交点的充要条件。
18、设A={x|x 2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A ∩M=φ，A ∩N=A ，求p 、q 的值。
19、已知21x a 2+=，b=2-x ，c=x 2-x+1，用反证法证明：a 、b 、c 中至少有一个不小于1。
函 数一、复习要求7、函数的定义及通性； 2、函数性质的运用。
二、学习指导1、函数的概念：（1）映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。
若A 中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B 中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。
既是单射又是满射的映射称为一一映射。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f(x)|x ∈A}为值域。
定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。
逆过来，值域也会限制定义域。
求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。
要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。
复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。
理解函数定义域，应紧密联系对应法则。
函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
其中解析式是最常见的表现形式。
求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
