教师招聘考试小学数学教师专业知识大全
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数学教师招聘考试专业知识复习
一、复习要求(由于招考题目仅为高考知识,所以本内容以均为高考知识点)
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;
3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;
4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。
二、学习指导
1、集合的概念:
(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;
(2)集合的分类:
①按元素个数分:有限集,无限集;
②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;
(3)集合的表示法:
①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。
2、两类关系:
(1)元素与集合的关系,用或表示;
(2)集合与集合的关系,用,,=表示,当A B时,称A是B的子集;当A B时,称A是B的真子集。
3、集合运算
(1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},C U A={x|x∈U,且x A},集合U表示全集;
(2)运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),C U(A∩B)=(C U A)∪(C U B),
C U(A∪B)=(C U A)∩(C U B)等。
4、命题:
(1)命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2)复合命题的形式:p且q,p或q,非p;
(3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
(3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题
为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
(1)定义:对命题“若
p 则q ”而言,当它是真命题时,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件,当它的逆命题为真时,q 是p 的充分条件,p 是q 的必要条件,两种命题均为真时,称p 是q
的充要条件;(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要
条件。从集合角度看,若记满足条件p 的所有对象组成集合A ,满足条件q 的所有对象组成集合q ,则当A B 时,p 是q 的充分条件。B A 时,p 是q 的充分条件。A=B 时,p 是q 的充要条件;
(3)当p 和q 互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。
三、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x 2+1,x ∈R},N={y|y=x+1,x ∈R},求M ∩N 。
解题思路分析:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。
M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x 2+1,x ∈R}={y|y ≥1},N={y|y=x+1,x ∈R}={y|y ∈R}
∴ M ∩N=M={y|y ≥1}
说明:实际上,从函数角度看,本题中的M ,N 分别是二次函数和一次函数的值域。
一般地,集合{y|y=f(x),x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x ,y )|y=x 2+1,x ∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线
y=x 2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。例2、已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B+{x|x 2-mx+2=0},且A ∩B=B ,求实数m 范围。
解题思路分析:
化简条件得A={1,2},A ∩B=B
B A 根据集合中元素个数集合
B 分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2} 当B=φ时,△=m 2-8<0
∴2
2m 22当B={1}或{2}时,02m 2402m
10
或,m 无解当B={1,2}时,
221m
21∴ m=3
综上所述,m=3或2
2m 22说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当
B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。例3、用反证法证明:已知
x 、y ∈R ,x+y ≥2,求证x 、y 中至少有一个大于1。解题思路分析:
假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质
x+y<2与已知x+y ≥2矛盾
∴假设不成立
∴ x 、y 中至少有一个大于 1
说明;反证法的理论依据是:欲证“若
p 则q ”为真,先证“若p 则非q ”为假,因在条件p 下,q 与非q 是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p 则非q ”为假时,“若p 则q ”一定为真。
例4、若A 是B 的必要而不充分条件,C 是B 的充要条件,D 是C 的充分而不必要条件,判断D 是A 的什么条件。
解题思路分析:
利用“”、“”符号分析各命题之间的关系
D C B A
∴ D A ,D 是A 的充分不必要条件
说明:符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。
例5、求直线:ax-y+b=0经过两直线1:2x-2y-3=0和2:3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析:
从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
由01y 5x 30
3y 2x 2得1,2交点P (411
,417)
∵过点P
∴0
b 411
417a ∴ 17a+4b=11
充分性:设a ,b 满足17a+4b=11
∴4
a
1711b 代入方程:0
4a
1711y ax 整理得:0
)417
x (a )411
y (此方程表明,直线恒过两直线0417x ,0411y 的交点(411
,417
)
而此点为1与2的交点
∴充分性得证
∴综上所述,命题为真
说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
四、同步练习
(一)选择题