高三数学：专题02 常用逻辑用语 理(教师版)

帮你复习常用逻辑用语一、本章知识网络⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩命题命题及其关系四种命题四种命题的相互关系充分条件与必要条件充分条件与必要条件充要条件且简单的逻辑联结词或非全称量词全称量词与存在量词存在量词含有一个量词的命题的否定二、重点、难点回顾1．命题与其关系（1）写原命题的逆命题、否命题与逆否命题时，比较容易错的是写否命题．原命题是“若p ，则q ”的形式时，否命题应为“若p ⌝，则q ⌝”，既要否定条件，又要否定结论．（2）四种命题形式之间的关系是相对的，如逆命题的逆命题是原命题，逆否命题的逆否命题也是原命题．原命题与逆否命题同真假，原命题与逆命题（或否命题）不一定同真假．由于逆命题与否命题之间的关系是“互为逆否”，因此逆命题与否命题同真假．当原命题的真假不易判断时，常转换为判断它的逆否命题的真假．2．充分条件与必要条件在判断时应注意以下几点：（1）确定一个命题，条件是什么，结论是什么．（2）若原命题为真，则条件是结论的充分条件．（3）若逆命题为真，则原命题中条件是结论的必要条件．（4）若原命题及其逆命题同时为真，则条件（或结论）是结论（或条件）的充要条件．3．简单的逻辑联结词会判断由简单的逻辑联结词构成的命题的真假性．4．全称量词与存在量词（1）全称量词与存在量词的基本特征；（2）含一个量词的全称命题与特称命题的否定．特称命题:()p x A p x ∃∈，，它的否定是：:p x A ⌝∀∈，()p x ⌝，全称命题:q x A ∀∈，()q x ，它的否定是：:()q x A q x ⌝∃∈⌝，．非常提示：互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性与充要条件是本章中两个特别重要的内容，它们在以后的学习中将经常用到，因此，要特别引起同学们的注意．三、学习中应注意的问题1．学习过程中要注意总结解题规律，反思章节知识中的数学思想方法总结解题规律，反思章节知识中的数学思想方法，这是对章节知识的升华，是对学习能力的进一步提高．学习知识要经过由表及里，从量变到质变的转化，经过这个环节的梳理，我们不再以"题海"为终结目标，而是通过真实的感受、愉快的体验、实效的互动，学习数学文化，接纳数学问题，提高数学品位．本章主要的数学思想方法有等价转化思想、逆向思想、递推法等．2．要注意对易错题的总结有用的经验都是在对数学问题的挫折与差异分析中总结出来的．同学们可通过这方面的积累与总结，降低出错率．如，在使用常用逻辑用语的过程中，要注意掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，用心体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性．四、学习常用逻辑用语的意义正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维．学习常用逻辑用语，要体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，从而更好地进行交流．通过本章的学习，还要努力培养自己观察、比较、抽象、概括、逻辑推理能力，初步形成运用逻辑知识准确地表达数学问题和实际问题的意识和能力，培养科学的、严谨的学习态度，为树立辩证唯物主义科学的世界观打下基础．。

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

第2讲　常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定考试要求定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．01聚焦必备知识1．充分条件与必要条件知识梳理充分、必要条件与对应集合之间的关系设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}．①若p 是q 的充分条件，则A ⊆B ；②若p 是q 的充分不必要条件，则AB ；③若p 是q 的必要不充分条件，则BA ；④若p 是q 的充要条件，则A ＝B ．提醒2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号________表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号________表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题意义对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定____________________________________________常用结论1．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件．2．命题p与p的否定的真假性相反．1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．( )(2)存在x ∈R ，x 2－x ＋1≤0.( )(3)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件．( )(4)若已知p ：x >1和q ：x ≥1，则p 是q 的充分不必要条件．( )夯基诊断××√√2．回源教材(1)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A A　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不一定成立．突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 11(2)命题“有一个偶数是素数”的否定是________．答案：任意一个偶数都不是素数(3)使－2＜x ＜2成立的一个充分条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)答案：0＜x ＜2(答案不唯一)只要是{x |－2＜x ＜2}的一个子集都是使－2＜x ＜2成立的充分条件，如－2＜x ＜2，或0＜x ＜2等．02突破核心命题例1　(1)(2023·天津卷)“a 2＝b 2”是“a 2＋b 2＝2ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件考 点 一充分条件与必要条件的判断BB　法一：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．法二：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2⇒/ a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．D (2)(2024·信阳开学考试)若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a2＞b2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D　不妨取a＝－1，b＝－2，满足a3＞b3，但是a2＞b2不成立，所以由“a3＞b3”推不出“a2＞b2”，取a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但是a3＞b3不成立，所以由“a2＞b2”推不出“a3＞b3”．所以“a3＞b3”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D．(3)(多选)(2024·广东多校联考)ab ＋b －a －1＝0的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ＝－1B ．a ＝bC ．b ＝1D ．ab ＝1AC AC　由ab ＋b －a －1＝0，可得(a ＋1)(b －1)＝0，解得a ＝－1或b ＝1.故选AC ．充分、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．反思感悟C(2)已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的( )AA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，则由充分必要条件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故选A．考 点 二充分条件与必要条件的应用例2　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．反思感悟训练2　(多选)若“x ＜k 或x ＞k ＋3”是“－4＜x ＜1”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是( )A ．－8B ．－5C ．1D ．4ACD ACD　若“x ＜k 或x ＞k ＋3”是“－4＜x ＜1”的必要不充分条件，则k ＋3≤－4或k ≥1，所以k ≤－7或k ≥1.故选ACD ．例3　(1)(2024·开封模拟)若命题p ：∀x ∈R ，e x ≥x ＋1，则¬p 是( )A ．∀x ∈R ，e x ≤x ＋1B ．∀x ∈R ，e x ＜x ＋1C ．∃x ∈R ，e x ≤x ＋1D ．∃x ∈R ，e x ＜x ＋1考 点 三全称量词与存在量词考向 1含量词命题的否定及真假判断D　∀x ∈R ，e x ≥x ＋1的否定是∃x ∈R ，e x ＜x ＋1.故选D ．DB (2)(2024·九江十校联考)下列命题的否定是真命题的为( ) A．任意两个等边三角形都相似B．∃x∈R，x2－x＋1＝0C．存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直D．∀x∈R，x＋|x|≥0B　对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题，故A错误；对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＜0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确；对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误；对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误．例4　若命题“∃x ∈[－1，3]，x 2－2x －a ≤0”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．32含量词命题的应用AA　由题意，原命题可转化为∃x∈[－1，3]，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，x∈[－1，3]，则问题等价于a≥h(x)min，易知函数h(x)＝x2－2x在[－1，1)上单调递减，在(1，3]上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.故选A．含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．反思感悟训练3　(1)命题p ：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形都不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形C C　命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p 是“所有三角形都不是等腰三角形”．(2)(2024·青岛莱西期中)下列各命题的否定为真命题的是( )D(3)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)03 限时规范训练(二)A级　基础落实练1．(2024·辽宁名校联盟联考)命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是( )C A．∃x＞0，x2－2|x|≥0B．∃x≤0，x2－2|x|≥0C．∀x＞0，x2－2|x|≥0D．∀x≤0，x2－2|x|≥0C　由存在量词命题的否定为全称量词命题知，∃x＞0，x2－2|x|＜0的否定为∀x＞0，x2－2|x|≥0.故选C．D3．(2024·连云港模拟)已知x ∈R ，则“－3≤x ≤4”是“lg(x 2－x －2)≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B B lg(x 2－x －2)≤1⇒0＜x 2－x －2≤10，解得－3≤x ＜－1或2＜x ≤4.故选B ．4．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是B( ) A．a≥4 B．a≥5C．a≤4 D．a≤5B　因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.CD5．(多选)下列命题是真命题的是( )A．所有的素数都是奇数B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”CD　2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8＜0，所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；由α＝β⇒sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”，所以D是真命题．6．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则B( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B．7．(2024·佛山模拟)记数列{a n}的前n项和为S n，则“S3＝3a2”是“{a n}为B等差数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　若数列{a n}是等差数列，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；当数列{a n}的前n项和满足S3＝3a2时，数列不一定是等差数列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，而a4－a3≠a3－a2，{a n}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的必要不充分条件，故选B．8．(2023·云南名校大联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为A( ) A．[－1，0] B．(－1，0)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)。

高中数学常用逻辑用语知识点一、知识概述《高中数学常用逻辑用语知识点》①基本定义：- 命题：能判断真假的陈述句。

就好比我们在生活中说出的一句有明确对错的话。

比如“今天是晴天”，这就是一个能看出来真假的陈述句，那它就是一个命题。

要是说“你好啊”，这就不是命题，因为它没法判断真假。

- 简单命题：就像简单的一句话表达一个判断。

例如“2大于1”。

- 复合命题：是由简单命题通过一些逻辑连接词（像“且”“或”“非”）组合在一起的命题。

比如说“2大于1且3小于5”，这里就是两个简单命题通过“且”连接起来了。

②重要程度：- 在高中数学里，常用逻辑用语是构建数学推理和证明的基础材料。

就像盖房子的砖头一样重要。

很多数学定理的推导和证明都离不开准确的逻辑判断。

③前置知识：- 需要对基本的数学运算和数的概念比较熟悉。

比如说你得知道数的大小关系才能判断像“3大于2”这样的命题真假。

④应用价值：- 在数学解题的时候，逻辑用语能帮我们准确地分析题目条件，制定解题思路。

在实际生活里，像判断一些事情的合理性，逻辑思维也非常有用。

比如说在判断一个商业计划是否可行的时候，就有点像判断命题真假的过程。

二、知识体系①知识图谱：- 在高中数学整个体系中，常用逻辑用语像经脉一样贯穿于代数、几何等各个领域。

它是我们搞清楚数学概念之间关系，进行数学论证的工具。

②关联知识：- 和集合知识有紧密联系。

比如说集合的关系就可以用逻辑用语来描述。

集合A包含于集合B，就等价于“若元素x属于A，则x属于B”这样一个逻辑关系。

③重难点分析：- 掌握难点在于复合命题真假性的判断。

关键是要理解逻辑连接词“且”“或”“非”在不同情况下对命题真假性的影响。

比如“且”表示两个都要为真才真，“或”是只要有一个为真就真。

④考点分析：- 在考试中频繁出现。

考查方式有直接判断命题真假，根据命题真假求参数范围等。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 命题这个概念，一定要是陈述句，而且能够判断真假。

热点02 集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列.【考查题型】选择题【满分技巧】给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究 .充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2020·天津高考真题）设全集，集合{3,2,1,0,1,2,3}U =---，则（ ）{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-()U A B = ðA ．B ．C ．D ．{3,3}-{0,2}{1,1}-{3,2,1,1,3}---【答案】C由题意结合补集的定义可知：，则.{}U 2,1,1B =--ð(){}U 1,1A B =- ð故选：C.2．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（ ）a ∈R 1a >2a a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解二次不等式可得：或，2a a >1a >0a <据此可知：是的充分不必要条件.1a >2a a >故选：A.3．（2020·北京高考真题）已知集合，，则（ ）．{1,0,1,2}A =-{|03}B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1}-{0,1}{1,1,2}-{1,2}【答案】D【分析】，{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I 故选：D.4．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“,R αβ∈k Z ∈(1)kk απβ=+-”的（ ）．sin sin αβ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】(1)当存在使得时，k Z ∈(1)kk απβ=+-若为偶数，则；k ()sin sin sin k απββ=+=若为奇数，则；k ()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦(2)当时，或，，即sin sin αβ=2m αβπ=+2m αβππ+=+m Z ∈或，()()12k k k m απβ=+-=()()121kk k m απβ=+-=+亦即存在使得．k Z ∈(1)kk απβ=+-所以，“存在使得”是“”的充要条件.k Z ∈(1)k k απβ=+-sin sin αβ=故选：C.5．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】依题意是空间不过同一点的三条直线，,,m n l 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.,,m n l ////m n l ,,m n l 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个,,m n l ,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=2,m n平面，而，根据公理可知，直线即，所以在α,B m C n αα∈⊂∈⊂1BC l α⊂,,m n l 同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.,,m n l ,,m n l 故选：B6．（2020·浙江高考真题）已知集合P =，，则P Q =（ ）{|14}<<x x {|23}Q x x =<< A ．B ．{|12}x x <≤{|23}x x <<C ．D ．{|34}x x ≤<{|14}<<x x 【答案】B【分析】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I 故选：B7．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S N *，T N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，⊆⊆T 满足：①对于任意x ，y S ，若x ≠y ，都有xy T∈∈②对于任意x ，y T ，若x <y ，则S ；∈yx ∈下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【分析】首先利用排除法：若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C ；{}1,2,4S ={}2,4,8T ={}1,2,4,8S T = 若取，则，此时，包含5个元素，排除{}2,4,8S ={}8,16,32T ={}2,4,8,16,32S T = 选项D ；若取，则，此时，{}2,4,8,16S ={}8,16,32,64,128T ={}2,4,8,16,32,64,128S T = 包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合，且，，{}1234,,,S p p p p =1234p p p p <<<*1234,,,p p p p N ∈则，且，则，1224p p p p <1224,p p p p T ∈41p Sp ∈同理，，，，，42p S p ∈43p S p ∈32p S p ∈31p S p ∈21p S p ∈若，则，则，故即，11p =22p ≥332p p p <322p p p =232p p =又，故，所以，444231p p p p p >>>442232p p p p p ==342p p =故，此时，故，矛盾，舍.{}232221,,,S p p p =522,p T p T ∈∈42p S ∈若，则，故即，12p ≥32311p p p p p <<322111,p pp p p p ==323121,p p p p ==又，故，所以，44441231p p p p p p p >>>>441331p p p p p ==441p p =故，此时.{}2341111,,,S p p p p ={}3456711111,,,,p p p p p T ⊆若， 则，故，故，q T ∈31q S p ∈131,1,2,3,4iq p i p ==31,1,2,3,4i q p i +==即，故，{}3456711111,,,,q p p p p p ∈{}3456711111,,,,p p p p p T =此时即中有7个元素.{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=S T 故A 正确.故选：A .8．（2020·山东高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C9．（2020·全国高考真题（理））已知集合，，{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N {(,)|8}B x y x y =+=则中元素的个数为（ ）A B A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意，中的元素满足，且，A B 8y x x y ≥⎧⎨+=⎩*,x y N ∈由，得，82x y x +=≥4x ≤所以满足的有，8x y +=(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故中元素的个数为4.A B 故选：C.10．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【分析】求解二次不等式可得：，240x -≤{}2|2A x x -=≤≤求解一次不等式可得：.20x a +≤|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭由于，故：，解得：.{}|21A B x x ⋂=-≤≤12a-=2a =-故选：B.11．（2020·江西赣州·高三其他模拟（理））已知集合，(){}10A x x x =-≤，若，则实数的取值范围为（）(){}ln B x y x a ==-A B A = a A ．B ．C ．D ．(),0-∞(],0-∞()1,+∞[)1,+∞【答案】A 【分析】，(){}{}1001A x x x x x =-≤=≤≤ ，(){}{}{}ln 0B x y x a x x a x x a ==-=->=>由可得，.A B A = A B ⊆0a ∴<因此，实数的取值范围是.a (),0-∞故选：A.12．已知集合，，则（）{}1M x x =>{}265N x x x=+>M N = A ．B ．C ．D ．()3,+∞()()1,23,⋃+∞()2,3()1,2【答案】B【分析】由即，即，解得或，265x x +>2560x x -+>()()230-->x x 2x <3x >所以，故，()(),23,N =-∞⋃+∞()()1,23,M N ⋂=⋃+∞故选：B.13．已知集合，，则（）{}23180A x x x =--≤(){}ln 2B x y x ==-A B = A ．B ．C ．D ．(]2,6(]2,3[)3,2-(]2,18【答案】A 【分析】不等式，23180x x --≤即，()()630x x -+≤解得，36x -≤≤所以集合，[]3,6A =-由对数函数的定义域可得集合，()2,B =+∞所以.(]2,6A B ⋂=故选：A.14．已知集合，，则（）(){}ln 1A x y x ==-{}220B x x x=-≤()RA B ⋃=ðA ．B ．C ．D ．{}1x x <{}2x x <{}12x x <<{}01x x <<【答案】B 【分析】所以，.{}R 02B x x =<<ð(){}R 2A B x x ⋃=<ð故选：B15．已知实数，，则是的（ ）1a >1b >4a b +≤22log log 1a b ⋅≤A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】：因为，，所以，，1a >1b >2log 0a >2log 0b >由，，得，a b +≥4a b +≤4ab ≤．222222222log log log log 4log log 1222a b ab a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭反之，若，取，，则22log log 1a b ⋅≤16a =152b =，但是．1522224log log log 16log 215a b ⋅=⋅=<4a b +>故选：A ．16．（2020·贵州贵阳·高三其他模拟）已知集合，{}3,M x x n n Z ==∈，且，，，记{}31,N x x n n Z ==+∈{}31,P x x n n ==-∈Z a M ∈N b ∈c P∈，则（ ）d a b c =+-A ．B ．C ．D ．()d M P ∈⋃d M∈d N∈d P∈【答案】D【分析】由题意设，，，（），13a k =231b k =+331c k =-123,,k k k Z ∈则，而，1231233()23(1)1d a b c k k k k k k =+-=+-+=+-+-1231k k k Z +-+∈∴．d P ∈故选：D ．二、填空题17．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .⊂则下述命题中所有真命题的序号是__________.①②③④14p p ∧12p p ∧23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【分析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；1p 1l 2l α若与相交，则交点在平面内，3l 1l A α同理，与的交点也在平面内，3l 2lB α所以，，即，命题为真命题；AB α⊂3l α⊂1p 对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，2p 命题为假命题；2p 对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，3p 命题为假命题；3p 对于命题，若直线平面，4p m ⊥α则垂直于平面内所有直线，m α直线平面，直线直线，l ⊂α∴m ⊥l 命题为真命题.4p 综上可知，，为真命题，，为假命题，为真命题，为假命题，14p p ∧12p p ∧为真命题，为真命题.23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝故答案为：①③④.18．（2020·江苏高考真题）已知集合，则_____.{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=A B = 【答案】{}0,2【分析】∵,{}1,0,1,2A =-{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：.{}0,2。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。

常用逻辑用语学习导航常用逻辑用语是高中数学新增加的内容，是培养学生的推理能力，提出问题、分析问题和解决问题的能力的有效知识载体．（一）命题的概念及判断判定一个语句是不是命题，首先要看给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立，不能判断真假的语句就不是命题．但在数学或其他科学技术中的一些猜想却是命题，如哥德巴赫猜想：“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和．”虽然目前不能判定真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，这类猜想仍算为命题．（二）全称命题与特称命题真假的判断（1)要判定全称命题是真命题，须对集合M中每个元素x，证明P(x)成立；如果在集合M 中找到一个元素x0,使得P(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．（2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x=x0,使P(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．（三）理解“或”、“且”、“非”的含义逻辑连结词“或”、“且”、“非”的含义分别与集合中的并集、交集、补集有着密切的联系，在解题时要注意类比，但与生活中的“或”、“且”、“非”不尽相同，如“或”有两种解释，一种是“可兼有”，另一种是“不可兼有”．数学中的“或”指前一种，而生活中的“或”一般指后一种．如在生活中“班长或团支书去政教处开会”，是指“不是班长去开会，就是团支书去开会”．在数学中如“4的平方根是2或-2”，包含三个方面的含义：“4的平方根是2”、“4的平方根是-2”、“4的平方根是士2”．（四）复合命题的概念及真假的判断对复合命题的概念的理解复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题，但含有“或”、“且”、“非”的命题不一定是复合命题．如：①方程x2-2x-3=0的两根是-1或3．②对角线相等且相互平分的四边形是矩形．显然，①和②都是命题，虽然①中含有“或”，②中含有“且”，但都不是复合命题．因为，若①是复合命题争“p∨q”的形式，则p为“方程x2-2x-3=0的根是-1”，q为“方程x2-2x-3=0的根是3”，显然，p和q都是假的，由复合命题的真值表可以判断①为假命题，而①是真命题．原因就是p和q都不能判断真假，都不是命题，而是开语句．若②是复合命题“p∧q”的形式、则p为“对角线相等的四边形是矩形”，q为“对角线相互平分的四边形是矩形”，显然，p和q都是假的，由复合命题的真值表可以判断②为假命题，而②是真命题．原因就是p和q都不能判断真假，都不是命题，而是开语句．所以，①和②都是简单命题，此类命题的真假若满足真值表就是复合命题，若不满足就是简单命题．复合命题真假的判断“p∧q”真假的判断：命题p、q中，若有一个为假命题，则p∧q为假；若两个都为真，则p∧q为真命题．“p∨q”真假的判断：命题p、q中，若有一个为真命题，则p∨q 为真；若两个都为假，则p∨q为假命题．（五）“命题的否定”与“否命题”①“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定即¬p，只是否定结论，条件并不变．对于命题“若p则q”的否定就是“若p则非q”．全称命题P：∀x∈M，P(x)，它的否定¬P：∃x∈M, ¬P(x)，为特称命题．特称命题P：∃x∈M, P(x)，它的否定¬P：∀x∈M，¬P(x)，为全称命题．②“否命题”既否定条件又否定结论．对于命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”．。