关于Banach空间中增生算子方程的迭代法收敛率估计

banach逆算子定理Banach逆算子定理是泛函分析中的一个重要定理，它揭示了逆算子之间的关系和性质。

这个定理不仅在理论数学中有着重要的地位，也在实际应用中有着广泛的应用。

一、基本定义首先，我们需要明确逆算子的定义。

对于一个线性空间中的算子T，其逆算子定义为T的相反运算，即对于任意的x ∈ X，Tx就是使Tx=x成立的最优解。

如果T有逆算子，那么T的逆算子通常记为T-1。

二、定理的表述Banach逆算子定理表述为：假设X和Y是线性空间，T是X到Y 的连续线性算子，那么T有逆算子的充分必要条件是：T的逆算子仍然存在且连续。

此外，T-1也是线性算子，并且满足T-1T和TT-1都等于I。

三、证明过程证明过程通常需要使用到线性代数的相关知识，包括向量的内积、线性组合、线性映射、连续性等概念。

需要证明的问题包括逆算子的存在性、连续性、以及运算性质。

首先，要证明T的逆算子存在，需要找到一个可逆的线性映射的概念，即存在一个线性算子S，使得ST=T-1=TS。

这个证明过程需要使用到线性空间的性质和线性映射的性质。

其次，要证明T-1是连续的，需要使用到连续线性映射的定义和性质。

需要证明T-1满足连续映射的条件，即对于任意的x∈X，Tx的极限等于T-1x的极限。

这个证明过程需要使用到线性空间的性质和极限的性质。

最后，要证明TT-1和T-1T都等于I，需要使用到线性方程组的性质和运算规则。

需要证明对于任意的x∈X，Tx=y和Tx=z都等价于y=T-1z，即逆算子的运算性质。

四、应用领域Banach逆算子定理在许多领域都有广泛的应用。

首先，它在泛函分析中有着重要的地位，是研究算子和空间之间关系的基础理论之一。

其次，它在计算机科学中也有着广泛的应用，尤其是在信号处理、图像处理、语音识别等领域。

通过使用逆算子，可以更好地理解和处理信号和数据。

此外，Banach逆算子定理还在物理学、化学、生物学等许多其他领域有着广泛的应用。

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。

Banach空间中m-增生型变分包含解的具误差的Ishikawa
迭代程序
曾六川
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】2002(017)001
【摘要】研究Banach空间中一类m-增生型变分包含解的存在性及其具误差的Ishikawa迭代程序的收敛性问题.本文结果是几位作者早期与最近的相应结果的改进和推广.
【总页数】8页(P43-50)
【作者】曾六川
【作者单位】上海师范大学数学系上海 200234
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中增生型变分包含解的具随机混合型误差的Ishikawa和Mann迭代逼近 [J], 张云艳
2.Banach空间中m-增生型变分包含解的具误差的迭代逼近 [J], 沈自飞;蒋忠樟;杨敏波
3.Banach空间中强增生型变分包含解的具混合误差项的Ishikawa迭代逼近 [J], 谷峰
4.Banach空间中强增生型变分包含解的具误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 曾六川
5.Banach空间中增生型变分包含解的带误差项的Ishikawa迭代逼近 [J], 朱瑜[1];倪仁兴[2]
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Banach空间中严格渐近伪压缩映像隐迭代序列的收敛性邱桂红;刘丽梅;何震
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(31)4
【摘要】通过非扩张映像和渐近伪压缩映像的迭代逼近问题的分析,将渐近非扩张映像的隐迭代过程用于Browder-Petyshyn意义下的严格渐近伪压缩映像,得出Banach空间中严格渐近伪压缩映像迭代序列的收敛条件.
【总页数】5页(P434-438)
【关键词】严格渐近伪压缩映像;隐迭代;带误差的隐迭代
【作者】邱桂红;刘丽梅;何震
【作者单位】承德民族师范专科学校数学系;河北大学数学与计算机学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中渐近伪压缩映象迭代序列的强收敛性 [J], 李万继
2.Banach空间中严格伪压缩映射隐迭代过程的收敛性 [J], 何震;许慧敏
3.有限个一致L-lipschitzian渐近伪压缩映象的迭代序列在Banach空间中的收敛性 [J], 张志平;宋奇庆
4.Banach空间中有限族严格伪压缩映像隐迭代序列的收敛性问题 [J], 温丽诗;郝彦
5.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa迭代序列的收敛性 [J], 龙宪军;彭建文
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banach空间中一类变分包含组的mann迭代算法
Mann迭代算法是一种变分包含组（VICG）算法，它可以用来求解在Banach空间中的最优
化问题。

它是由Mann在1969年提出的，是一种迭代算法，可以用来求解最优化问题。

Mann迭代算法的基本思想是，在每一步迭代中，通过求解一个变分包含组（VICG）来更新当前的迭代点。

VICG是一种变分包含组，它可以用来求解最优化问题。

VICG的基本思想是，在每一步迭代中，通过求解一个变分包含组（VICG）来更新当前的迭代点。

VICG的基本思想是，在每一步迭代中，通过求解一个变分包含组（VICG）来更新当前的迭代点。

Mann迭代算法的优点是，它可以用来求解Banach空间中的最优化问题，而且它的收敛性
能良好。

它的缺点是，它的计算复杂度较高，而且它的收敛速度可能会受到初始点的影响。

总之，Mann迭代算法是一种有效的变分包含组（VICG）算法，它可以用来求解Banach空
间中的最优化问题，具有良好的收敛性能，但是它的计算复杂度较高，而且它的收敛速度
可能会受到初始点的影响。

第20卷 第1期2003年02月工 程 数 学 学 报JO URNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.20No.1Feb.2003文章编号:1005 3085(2003)01 0049 06一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用于立新1, 郭宜明2(1 曲阜师范大学数学系,山东曲阜273165; 2 枣庄师专计算机系,山东枣庄277160)摘 要:在Banach空间中,没有假设任何紧性、连续性或凹凸性条件,利用M ann迭代技巧证明了一类算子方程Ax=x解的存在唯一性,并将其结果应用于无界域上的Ham merstein积分方程,得到了新的结果。

关键词:锥;算子方程;M ann迭代;弱序Lipschitz条件分类号:AMS(2000)47H10;47H07 中图分类号:O177.91 文献标识码:A1 引言和预备知识人们对增算子的研究,通常采用紧性条件、连续性条件或凹凸性条件等得到了算子不动点的存在性或唯一性定理[1~7]。

文[1]研究了一类带有凹凸性的增算子的不动点的存在唯一性,然而,文[1]对所讨论的算子附加了一些条件,如算子的强增性、体锥以及较强的上下解条件等。

文[2]通过引用序Lipschitz条件,得到了Mann迭代序列收敛于一类带有凹凸性的增算子的不动点,去掉了对算子和锥所附加的一些条件,但运用了上解和下解条件,并且没有得到解的唯一性。

我们在弱序Lipschitz条件下去掉了文[2]中的凹凸性,只运用上解(或下解)条件,并没有附加任何条件,利用Mann迭代技巧得出了比文[2]更好的结果,推广和改进了文[1,2]的主要结果,在证明方法上也不同于现有文献。

作为应用,讨论了无界域上的Hammerstein积分方程,给出了新的定解条件。

以下设E是Banach空间, 为E中的零元,P是E中的锥[3~6], 是由锥P确定的半序。

锥P称为正规的,如果存在N0>0,使得0 x y,有!x! N0!y!,其中N0为正规常数。