非线性方程组的迭代解法【开题报告】

毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。

大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。

而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。

二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。

这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。

三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。

就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。

在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。

非线性算子不动点的迭代算法的开题报告
非线性算子不动点问题是数值分析领域的一个经典问题。

在数值计算中，很多实际问题都可以归结为求解一个非线性方程或解一个非线性的算子方程，这时需要使用迭代算法来求解。

其中一种常见的方法就是通过迭代算法求解非线性算子的不动点，也就是通常所说的迭代式。

此次开题报告的主要目的是探究非线性算子不动点的迭代算法。

我们将主要从以下三个方面来进行研究：
1. 迭代算法的基本原理：介绍迭代算法的原理和基本概念，加深对于迭代算法的理解。

2. 非线性算子不动点的存在性和唯一性：介绍非线性算子不动点的定义、存在性和唯一性，并通过一些典型例子进行阐述。

3. 针对不同的问题设计迭代算法：根据不同的问题特点，设计相应的迭代算法，并对其收敛性和计算效率进行分析和比较。

在研究过程中，我们将使用数学方法进行分析和证明，并基于计算机模拟实验验证理论结论的正确性和可行性。

最终，我们期望通过本次研究，探究出一些实用的非线性算子不动点的迭代算法，为数值计算提供一些有益的理论和方法支持。

⾮线性⽅程的迭代解法深圳⼤学实验报告实验课程名称：计算⽅法实验项⽬名称：⾮线性⽅程的迭代解法学院：计算机软件专业：计算机与科学技术报告⼈：学号：班级：04指导教师：实验时间：2010.5实验报告提交时间：2010.5.10教务处制实验报告包含内容⼀、实验⽬的与要求熟悉典型的迭代⽅法：⽜顿法、弦截法、⼆分法，了解各⾃的优缺点和适⽤范围掌握⾮线性⽅程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识⾮线性⽅程的数值解法的意义⼆、模型建⽴x 5-3x 3+x-1= 0求该⽅程在区间[-8,8〕上的全部实根在区间[-8,8〕上的全部实根⼆分法：确定区间（a,b ）后，取（a,b ）的中点x(0)=(a+b)/2，若f(x(0))=0，则x(0)是根，否则，如f(a)*f(x(0))<0，令a1=a,b1=x(0)；如f(x(0))*f(b)<0，令a1=x(0),b1=b 在(a1,b1)内⾄少有⼀个根，再取的中点如此进⾏下去Newtown 法：将⾮线性问题逐步线性化⽽形成如下迭代程序：弦截法：将Newton 迭代中的导数，⽤差商代替，有格式 Newtown 下⼭法：将⽜顿的迭代公式修改为),2,1,0()(')(1 =-=+k x f x f x x k k k k λ其中λ是⼀个参数，λ的选取应使)()(1k k x f x f <+ 成⽴当11)(ε<+k x f 或21ε<-+k k x x 时就停⽌迭代，且取x *≈ x k +1，否则再减⼩λ，继续迭代。

三、模型求解：3.1开发环境： Visual C++ 6.0)()()(111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x3.2程序设计说明：程序设计根据⽜顿法、弦截法、⼆分法和newtown下⼭法思想和原理设计3.3：源代码：⼆分法：#include#include#define P 0.000001float getx(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1);};void main (){float y;float str1[20],str2[20];int i=0;str1[0]=-8;str2[0]=-1.3;while (str2[i]-str1[i]>P){y=(str1[i]+str2[i])/2;if(getx(str1[i])*getx(y)>P){str1[i+1]=y;str2[i+1]=str2[i];}else{str1[i+1]=str1[i];str2[i+1]=y;}i++;printf("%f %f\n",str1[i],str2[i]);}y=(str1[i]+str2[i])/2;printf("%f\n",y);}Newtown法：#include#include#define X 0.00000]1float nt(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); }; float nt2(float y){return (5*y*y*y*y-9*y*y+1);};void main(){float c1,c2,x1=-1.3,x,dt;int i=1;while(i<20){c1=nt(x1);c2=nt2(x1);if(c1*c2==0){printf("%f\n",x1);exit(0);}x=x1-c1/c2;if(fabs(x)<=1)dt=fabs(x-x1);elsedt=fabs(x-x1)/fabs(x);if(dt{printf("%f \n",x1);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}}printf("%f\n",i);printf("迭代次数=%f\n",i);}弦截法：#include#include#include#define X 0.000001float xj(float x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); };void main(){float x[20];float c1,c2,dt;int i=1;x[0]=1.5;x[1]=8;while(i<200){c1=xj(x[i]);c2=xj(x[i])-xj(x[i-1]);if(c1*c2==0){printf("%f\n",x[i]);exit(0);}x[i+1]=x[i]-(x[i]-x[i-1])*c1/c2;if(fabs(x[i+1])<=1)dt=fabs(x[i+1]-x[i]);elsedt=fabs(x[i+1]-x[i])/fabs(x[i+1]);printf("%f\n",x[i]);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}i++;}printf("%f %d\n",x[i],i);}Newtown下⼭法：#include#include#include#define X 0.000001double ntd(double x){return (x*x*x*x*x-(3*x*x*x)+x-1); }; double ntd2(double y){return (5*y*y*y*y-9*y*y+1);};void main(){double h,c1,c2,xo=8,x,dt;int i=1,j=0;while(i<20){j=0;c1=ntd(xo);c2=ntd2(xo);if(c1*c2==0){printf("%f\n",xo);exit(0);while(1){h=1*pow(0.5,j);x=xo-h*c1/c2;if(fabs(ntd(x))break;j++;}if(fabs(x)<=1)dt=fabs(x-xo);elsedt=fabs(x-xo)/fabs(x);if(dt{printf("%f\n",xo);printf("迭代次数=%d\n",i);exit(0);}xo=x;i++;}}3.4使⽤说明：直接运⾏程序3.5模型的解：⼼得体会：通过对⽐四种不同的迭代法解⾮线性⽅程，认识到各种的⽅法的优点和缺点。

非线性方程的迭代解法1．迭代函数对收敛性的影响实验目的：初步认识非线性问题的迭代法及其收敛性，认识迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什麽条件时，迭代法收敛。

实验内容：用迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。

方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ=+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123x x x φ=-= 实验要求：分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

实验程序：实验结果:2. 初值的选取对迭代法的影响实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。

实验内容：用牛顿迭代法求方程 013=--x x 在x =1.5附近的根。

实验要求：对牛顿迭代公式 131231----=+k k k k k x x x x x ，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。

实验程序：实验结果：3.收敛性与收敛速度的比较实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。

实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到106-。

实验要求：(1) 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根，然后用斯蒂芬森加速迭代计算。

输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。

(2) 用牛顿迭代法求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与(1)的结果比较。

实验程序：1．普通迭代，选用初值0.52. 斯蒂芬森加速迭代3.牛顿迭代法实验结果：。

《数值计算方法》实验报告实验名称：实验1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程 010423=-+x x在 [1, 2] 的一个实根.实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen 迭代法 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(=x f 改写成等价方程：)(x x ρ= ，对此，从某个初始值x0开始，对应式)(x x ρ= 构成迭代公式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ ，这样就可以确定序列 {}k x （k=0，1，2…）。

如果 {}k x 有极限*lim x x k k =∞→ ，由式 ,...1,0),(1==+k x x k k ρ 两边取极限可得 )(**x x ρ= ，可知 *x 为方程0)(=x f 的近似解。

2）Steffensen 迭代法的原理：通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。

()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+---===+k k k k k k k k k k k x y z x y x x y z x y 2)()(21ρρ[]x x x x x x x +---=)(2)(()()(2ρρρρψ实验环境：操作系统：Windows 7；实验平台：Turbo C++实验过程：写出算法→编写程序→调试运行程序→计算结果1）简单迭代法的算法：Input:初始近似值x0,精度要求del,最大迭代次数NOutput:近似解x 或失败信息1. n ←12. While n≤N do;3. x ←f(x0);4. if | x-x0|<del then5. | return x;6. end7. n←n+1;8. X0←x;9. End10. return False;// 超出最大迭代次数2）Steffensen迭代法的算法：Input : 区间端点a,b；精度要求del；最大迭代次数N Output:近似解或失败信息1. n←12. while n ≤N do;3. y←f(x0);4.z←f(y);5.x←x0－()202xyzxy+--;6.If |x-x0|<del then;7.| return x;8.end9.n←n+1;10.x0←x;11.end12.return False;实验结果a，用简单迭代法计算的结果结果约为1.365230b.用Steffensen迭代法计算的结果：近似解为：1.365230给出程序:1,简单迭代法的程序（C++）#include "stdio.h"#include "math.h"#define phi(x) 0.5*sqrt(10-x*x*x)void main(){int n=1,N;float x,x0,del;printf("x0="); scanf("%f",&x0); printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del); printf("\nN="); scanf("%d",&N);printf("\nk x(k)");printf("\n %2d %f ",0,x0);while (n<N){ x=phi(x0);if(fabs(x-x0)<del){ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);return;}printf("\n %2d %f ",n,x0);n=n+1; x0=x;}printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N); }2,Steffensen迭代法的程序（C++）#include "stdio.h"#include "math.h"#define phi(x) 0.5*sqrt(10-x*x*x);void main(){int n=1,N;float x,x0,del,y,z,a,b;printf("x0="); scanf("%f",&x0);printf("\ndel=:"); scanf("%f",&del);printf("\na="); scanf("%f",&a);printf("\nb="); scanf("%f",&b);printf("\nN="); scanf("%d",&N);printf("\nk x(k)");printf("\n %2d %f ",0,x0);while (n<N){ y=phi(x0);z=phi(y);x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);if(fabs(x-x0)<del){ printf("\n \n=近似解= %f \n",x);return;}printf("\n %2d %f ",n,x0);n=n+1; x0=x;}printf("\n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n",N);}结果分析：1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，且用简单迭代法和Steffensen迭代法求出的近似解基本一样。

实验二 非线性方程的数值解法1.1 实验内容和要求在科学研究和工程技术中大量的实际问题是非线性的，求非线性方程()0f x =满足一定精确度的近似根是工程计算与科学研究中诸多领域经常需要解决的问题。

实验目的：进一步理解掌握非线性方程求根的简单迭代法、埃特金Aitken 加速法、牛顿迭代法的思想和构造。

实验内容： 求方程2320x x x e -+-=的实根。

要求：（1）设计一种简单迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用埃特金Aitken 加速迭代，计算到-8110k k x x --<为止。

（2）用牛顿迭代法，同样计算到-8110k k x x --<（3）输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值，并比较算法的优劣。

1.2 算法描述普通迭代法计算步骤：（1）给定初始近似值0x ，eps 为精确度。

（2）用迭代公式x =x 2+2−e x 3进行迭代，直到-8110k k x x --<为止。

埃特金Aitken 加速迭代法计算步骤：（1）将()0f x =化成同解方程()x x ϕ=()k k y x ϕ= ，()k k z y ϕ=21()2k k k k k k k y x x x z y x +-=--+=22k k k k k kx z y z y x --+ （2）计算到-8110k k x x --<为止。

牛顿法计算步骤：给定初始近似值0x ，1ε为根的容许误差，2ε为()f x 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。

计算00(),()f x f x '（1）如果0()0f x '=或者迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行（2）（2）按公式0100()()f x x x f x =-'迭代一次，得到新的近似值1x ，计算11(),()f x f x ' （3）如果101x x ε-<或者12()f x ε<，则迭代终止，以1x 作为所求的根，结束；否则执行（4）（4）以111(,(),())x f x f x '代替000(,(),())x f x f x '，转步骤（1）继续迭代。

非线性方程的迭代法”1. 实验题目设方程f （x ）=x 3-3x-1=0有3个实根x1*=1.8793，x2*=-0.34727，x3*=-1.53209.现采用下面6种不同计算格式，求f （x ）=0的根x1*，x2*。

(a) x=2x 1x 3+ (b) x=313+x (c) x=313+x (d) x=312-x (e) x=x/13+ (f) x=x-31 要求如下：（１）编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；（２）用误差估计｜ｘ1n +－ｘn ｜＜ｄｅｌ来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；（３）观察初始值的选取对迭代收敛有何影响；（４）分析迭代收敛和发散的原因。

2. 实验目的掌握用迭代法求解线性方程组,加深对用迭代方程求方程根的理解3. 基础理论4. 实验环境Visual C++ 语言5. 实验过程#include<iostream.h>#include<stdio.h>#include<math.h>#define pha(x) 3*x+1/x*x#define phb(x) (x*x*x-1)/3#define phc(x) pow(3*x+1,1/3.0)#define phd(x) 1/(x*x-3)#define phe(x) sqrt(3+1/x)#define phf(x) x-((x*x*x-3*x-1)/((x*x-1)*3)) void main(){int N;double x,x0,del;cout<<"初始近似值x0=";cin>>x0;cout<<"精度del=";cin>>del;cout<<"最大迭代次数N=";cin>>N;double s;for(int k=1;k<7;k++){int n=1;if(k==1){s=fabs(pha(x0+1e-4)-pha(x0))/1e-4;cout<<"使用a计算方法:"<<endl; }if(k==2){s=fabs(phb(x0+1e-4)-phb(x0))/1e-4;cout<<"使用b计算方法:"<<endl; }if(k==3){s=fabs(phc(x0+1e-4)-phc(x0))/1e-4;cout<<"使用c计算方法:"<<endl; }if(k==4){s=fabs(phd(x0+1e-4)-phd(x0))/1e-4;cout<<"使用d计算方法:"<<endl; }if(k==5){s=fabs(phe(x0+1e-4)-phe(x0))/1e-4;cout<<"使用e计算方法:"<<endl; }if(k==6){s=fabs(phf(x0+1e-4)-phf(x0))/1e-4;cout<<"使用f计算方法:"<<endl; }if(s>0&&s<1){cout<<"该迭代公式收敛"<<endl;while(n<N){if(k==1) x=pha(x0);if(k==2) x=phb(x0);if(k==3) x=phc(x0);if(k==4) x=phd(x0);if(k==5) x=phe(x0);if(k==6) x=phf(x0);if(fabs(x-x0)<del){cout<<"近似解为:"<<x<<endl;cout<<"迭代次数为:"<<n<<endl<<endl;n=N+1;}elsen=n+1;x0=x;if(n==N)cout<<"超过最大的迭代次数，得不到所要求近似解。

《数值分析》实验报告实验1 非线性方程的迭代法1.实验名称实验 非线性方程的迭代法2.实验题目设方程f(x)=x3-3*x-1=0有三个实根，X1*=1.8793，X2*= -0.34727，X3*= -1.53209，现采用下面6种不同的计算格式，求f(x)=0的根x1*，x2*。

(a) x=21x 3+ (b) x=31x 3- (c) x=31x 3+ (d) x=3x 12- (e) x=x 13+ (f) x=x-311-x 1-x 3-x 23 要求如下：（1）编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况。

（2）用误差估计|xn+1-xn|<ε来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数。

（3）观察初始值的选取对迭代收敛有何影响。

（4）分析迭代收敛和发散的原因。

3实验过程：（利用C 语言及迭代算法编写代码如下）#include<stdio.h>#include<math.h>double fa(double x){return (3*x+1)/(x*x);}double fb(double x){return (x*x*x-1)/3;}double fc(double x){return pow( (3*x+1),1.0/3.0);}double fd(double x){return 1/(x*x -3);}double fe(double x){return sqrt(3+1/x);}double ff(double x){return x-(x*x*x-3*x-1)/( 3* (x*x-1) ); }int main(){double e,x,x0,x1;int n,count,i;printf("请输入最大迭代次数N: ");scanf("%d",&n);printf("请输入函数的一个近似值X: "); scanf("%lf",&x1);printf("请输入误差估计值e: ");scanf("%lf",&e);for(i=1;i<=6;i++){printf("函数f%c()的结果\n",'a'-1+i);count=1;x0=x1;while(count<=n){switch(i){case 1: x=fa(x0); break;case 2: x=fb(x0); break;case 3: x=fc(x0); break;case 4: x=fd(x0); break;case 5: x=fe(x0); break;case 6: x=ff(x0); break;}// x=fb(x0);if(fabs(x-x0)<e){printf(" x= %lf\n\n",x0);break;}else{printf("%d %lf\n",count,x);x0=x;count++;}}if(count>n)printf("循环次数超过%d,没求出结果\n\n",count-1);}return 0;}实验结果：取迭代最大次数N为50，ε=0.0000001，近似初始值如下表的结果如下表（n为迭代次数）：实验数据分析：显然：对于函数a取初始值X1*=1.8793，X2*= -0.34727时，迭代次数是超过50次的，即函数a在X1*=1.8793，X2*= -0.34727可能是发散的。

非线性方程两点迭代解法的改进的开题报告一、研究背景与意义非线性方程组在科学、工程等领域中应用广泛，如物理、化学、经济等领域。

然而，一般情况下，非线性方程的求解是非常困难的。

因此，如何高效地求解非线性方程组一直是学术界和工业界的研究热点。

目前，解非线性方程组的迭代算法主要有牛顿迭代法、割线法、二分法、迭代加速法等方法。

其中，非线性方程组迭代加速法是一类重要的方法。

作为非线性方程求解的一种有效工具，非线性方程两点迭代解法已经被广泛地应用，这种方法具有收敛速度较快的优点。

因此，对非线性方程两点迭代解法进行研究和改进，具有很高的实际应用价值。

二、研究内容与目标本研究主要是针对非线性方程两点迭代解法进行改进。

目前，非线性方程两点迭代解法在使用过程中存在一些问题，如收敛速度较慢、迭代次数较多等问题。

针对这些问题，本研究将从以下几个方面进行改进：1. 改进初始值的选取方法，以减少迭代次数，提高算法效率。

2. 引入自适应参数，优化迭代算法的收敛速度，提高求解精度。

3. 对算法的稳定性和收敛性进行分析和论证，确保算法的可靠性。

通过对非线性方程两点迭代解法进行改进，提高算法的求解效率和精度，使得该算法在实际应用中更具有实用性和可行性。

三、研究方法本研究的主要研究方法如下：1. 分析非线性方程组的迭代求解方法及其应用。

2. 提出改进非线性方程两点迭代解法的思路和方法，确定初始值的选取方法，引入自适应参数等。

3. 对新算法进行稳定性和收敛性分析，确保算法的可靠性。

4. 利用MATLAB对所提出的改进迭代算法进行数值模拟和实验验证，对新算法进行效果评估。

四、预期结果本研究的预期结果如下：1. 提出改进非线性方程两点迭代解法的思路和方法，确定初始值的选取方法，引入自适应参数等。

2. 对新算法进行稳定性和收敛性分析，论证新算法的可靠性。

3. 利用MATLAB对所提出的改进迭代算法进行数值模拟和实验验证，评估新算法的效果，证明新方法的优越性。