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19.2.1正⽐例函数教学设计（第⼀课时）19.2.1正⽐例函数教学设计（第⼀课时）新兴县新城镇洞⼝中学李财旺【教学⽬标】知识与技能认识正⽐例函数的意义,掌握正⽐例函数解析式特点..过程与⽅法能利⽤正⽐例函数知识解决相关实际问题.情感态度与价值观通过对实际问题的解决,亲⾝感受数学来源于⽣活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的⾃信⼼.教学重难点【重点】理解正⽐例函数意义及解析式特点.【难点】正⽐例函数的解析式的求法.【教学过程】新课导⼊问题1：2011年开始运营的京沪⾼速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪⾼铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少⼩时(结果保留⼩数点后⼀位)?(2)京沪⾼铁列车的⾏程y(单位:km)与运⾏时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪⾼铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学⽣先独⽴思考上⾯提出的问题,再以⼩组为单位进⾏交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是⾃变量,谁是函数?⾃变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正⽐例函数.[设计意图]通过这⼀环节,让学⽣体会到正⽐例函数来源于⽣活实际,通过实例引⼊,激发学⽣学习数学的兴趣新课构建1.正⽐例函数概念【思考】下列问题中的变量对应规律可⽤怎样的函数表⽰?(1)圆的周长l随半径r的⼤⼩变化⽽变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的⼤⼩变化⽽变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,⼀些练习本摞在⼀起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化⽽变化;(4)冷冻⼀个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T(单位: ℃)随冷冻时间t(单位:分)的变化⽽变化.学⽣先独⽴思考上⾯提出的问题,再以⼩组为单位进⾏交流.教师解析: (1)l=2πr;(2)m = 7.8V;(3)h=0.5 n;(4)T=-2t.引导学⽣认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、⾃变量和函数.提问:学⽣观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与⾃变量乘积的形式,和y=300t,y=200x的形式⼀样.教师归纳:⼀般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正⽐例函数,其中k 叫做⽐例系数.[设计意图] 由实际问题⼊⼿,设置情境问题,激发学⽣的兴趣,体会数学来源于⽣活,⼜应⽤于⽣活,让学⽣初步感受正⽐例函数在实际⽣活中的应⽤.【课堂练习】1、下列式⼦,哪些表⽰y 是x 的正⽐例函数?如果是,请你指出正⽐例系数k 的值. ① y =0.1x ;②y =2x 2 ; ③y 2=4x ;④ y =2x ;⑤y =x 2+1;⑥ y =5x +2. 〔解析〕观察所给的函数表达式,看是否满⾜正⽐例函数y =kx 的形式来求解.解:① y =0.1x 是正⽐例函数,正⽐例系数k =0.1.④ y =2x 是正⽐例函数,正⽐例系数k =2.②,③,⑤,⑥都不是正⽐例函数.[设计意图] 通过设计⼀组函数,让学⽣利⽤正⽐例函数的定义进⾏判断求解,帮助学⽣及时复习所学的概念2.列式表⽰下列问题中y 与x 的函数关系，并指出哪些是正⽐例函数．（1）正⽅形的边长为x cm ，周长为y cm.y =4x 是正⽐例函数（2）某⼈⼀年内的⽉平均收⼊为x 元，他这年（12个⽉）的总收⼊为y 元． y=12x 是正⽐例函数（3）⼀个长⽅体的长为2cm ，宽为1.5cm ，⾼为x cm ，体积为y cm 3. y=3x 是正⽐例函数.3，下列说法正确的打“√”，错误的打“×”（1）若y=kx ，则y 是x 的正⽐例函数（ × ）（2）若y=2x 2，则y 是x 的正⽐例函数（ × ）（3）若y=2(x-1)+2，则y 是x 的正⽐例函数（ √ ）（4）若y=2(x-1) ，则y 是x-1的正⽐例函数（√ ）在特定条件下⾃变量可能不单独就是x 了，要注意⾃变量的变化【.例题剖析】例1(补充) ①若y =(k -1)x 是正⽐例函数,则 ;②若y =2x m 是正⽐例函数,则m = .③在函数已知82)3(--=m x m y 中,当m= 时,为正⽐例函数.〔解析〕根据正⽐例函数定义,利⽤⽐例系数k ≠0,或者x 的指数为1列不等式或⽅程进⾏求解.①∵y =(k -1)x 是正⽐例函数,∴k -1≠0,∴k ≠1.②∵y =2x m 是正⽐例函数,∴m =1.③∵函数82)3(--=m xm y 为正⽐例函数,∴m-3≠0,m 2 -8=1∴k =-3.答案:①k ≠1 ②1 ③-3[设计意图] 通过设计⼀组填空题,让学⽣根据正⽐例函数的⽐例系数和未知数的指数来列不等式或⽅程来求字母的取值. 例2(补充)若y 与x -2成正⽐例关系,且x =4时,y =5.求y 关于x 的函数关系式.〔解析〕先根据y 与x -2成正⽐例关系可设y =k (x -2),再把x =4时,y =5代⼊求出k 的值即可.解:设y =k (x -2),则有k (4-2)=5,解得k =2.5.所以y 关于x 的函数关系式为y =2.5x -5.[设计意图] 通过设计代数式之间成正⽐例关系,利⽤⽅程的思想进⾏求解,让学⽣更深刻理解正⽐例函数的定义.【课堂⼩结】本节课学习了正⽐例函数的概念:形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正⽐例函数,其中k 叫做⽐例系数;会⽤正⽐例函数定义来判断函数是否为正⽐例函数;并且会⽤正⽐例函数定义来求⼀些字母的取值;解题时注意:判定⼀个函数是否为正⽐例函数,要化简后再判断.【课堂检测】1.下⾯四个⼩题中两个变量成正⽐例的是 ( )A.⼉童的⾝⾼和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和⾯积C.圆柱的⾼和体积D.长⽅体的底⾯是边长为定值a 的正⽅形,它的体积和⾼解析:⼉童的⾝⾼与年龄不成正⽐例关系;由等腰梯形的⾯积公式、圆柱的体积公式可知B,C不正确;由题意知长⽅体的体积=a2×⾼,且a为定值,所以它的体积和⾼是成正⽐例的.故选D.2.若y=5x3m-2是正⽐例函数,则m=.解析:根据正⽐例函数定义,得3m-2=1,解得m=1.故填1.3.y=(k-2)x2+5x是正⽐例函数,则k的值为.解析:根据正⽐例函数定义,得k-2=0,解得k=2.故填2.4、已知 y 与 x 成正⽐例，且当 x =-1时，y =6，则 y 与x 之间的函数关系为 .解: 根据正⽐例函数定义，设y=kx,根据题意，得：-1×k=6,解得k=-6∴y=-6x.5.如果y=kx(k≠0),当x=4时,y=2;那么x=-3时,y的值是多少?解:∵y=kx,当x=4时,y=2,∴4k=2,∴k= 0.5 ,∴y=0.5x,∴当x=-3时,y=-0.5×(-3)=1.5.【板书设计】1.正⽐例函数概念2.例题讲解例1例2【作业布置】.教材第98页习题19.2第1题.【教后反思】成功之处本节课通过实际问题的引⼊,激发学⽣的学习兴趣,再通过设计⼀组问题,让学⽣观察、对⽐、归纳出正⽐例函数定义,通过例题来巩固新知识,利⽤⼀组由浅⼊深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采⽤学⽣⼝述、互评等多种⽅法,激发学⽣思维,营造良好的课堂⽓氛.不⾜之处由于课堂的容量较⼤,学⽣思考问题的时间显得相对不⾜,学困⽣就显得很吃⼒.。
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数的性质和应用。
本节内容主要包括正比例函数的定义、图象和性质，以及正比例函数在实际生活中的应用。
通过本节的学习，使学生能够理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质，并能运用正比例函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初中数学的基本知识，对函数有一定的了解。
但学生对正比例函数的概念和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生对于正比例函数在实际生活中的应用还不够熟悉，需要通过实例来引导学生理解和运用。
三. 教学目标1.理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。
2.正比例函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例函数的性质和应用。
2.利用数形结合法，通过图象来直观展示正比例函数的性质。
3.采用实例教学法，让学生通过实际问题来理解和运用正比例函数。
六. 教学准备1.教学PPT，包括正比例函数的定义、图象和性质等内容。
2.实例题库，用于巩固和拓展学生的知识。
3.板书设计，包括正比例函数的定义、图象和性质等重要内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？引导学生思考速度、时间和路程之间的关系，从而引出正比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现正比例函数的定义、图象和性质。
引导学生通过观察图象来理解正比例函数的性质，如过原点、斜率为正等。
同时，给出正比例函数的数学表达式y=kx（k为常数，k≠0）。
