1、导数中的分类讨论思想

1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()yf x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=. 【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【考点定位】导数与切线斜率．6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.试题解析：（Ⅰ）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为，令则所以在上单调递增.因为(0)0,m =所以 当时，()0,m x >当0x <时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时取得极大值.③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.力、基本计算能力、分类讨论思想等。

导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。

1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。

解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。

综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。

评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。

2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。

解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。

评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。

3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。

解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。

Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。

评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。

4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。

解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。

导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。

那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。

这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。

以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。

（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。

判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。

综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结：1、分类讨论思想2、判别法3、别离参数法4、构造新函数法一、别离讨论思想：例题1： 讨论以下函数单调性：1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x2、()x f =)0,11(12≠<<--b x x bx二、判别法例2：不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，那么只须满足： 〔1〕⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解〔1〕得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解〔2〕a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

三、别离法参数：别离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过别离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以防止分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.别离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是别离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即：〔1〕对任意x 都成立()min x f m ≤ 〔2〕对任意x 都成立。

例3．函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立，令x x x x g 24)(-=，那么min )(x g a <由144)(2-=-=xx x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。

导数问题中分类讨论的策略作者：曹辉来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期摘要：本文从导函数的根的存在性、根是否属于定义域、根的大小关系等三个方面探讨了导数问题中的分类讨论策略.关键词：单调区间；极值；分类；取值范围作者简介：曹辉（1976-），男，甘肃永昌人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学.分类讨论是解决含有参数的复杂数学问题的重要数学思想之一分类讨论是当问题所给的研究对象不能进行统一研究时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后分别对每一类对象进行研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.近年，高考解答题对导数部分的考查几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，但总体表明考生的得分率并不高.主要原因有两个：一是不能理解题意；二是不会分类讨论.分类讨论不仅是高考的重点与热点，还是高考的难点.每年高考试题中都会设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题、解决问题的能力.因此，在教授导数时，要让学生掌握常见的分类讨论策略.本文对这类问题从3个方面谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.一、有没有导函数的根的存在性讨论.例1 求函数f（x）=x3+ax2+x的单调区间.分析对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上是运用求导法，所以对函数f（x）=x3+ax2+x进行求导可以得到导函数f ′（x）=3x2+2ax+1观察发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x2+2ax+1=0是否有实根因此，首先考虑方程是否有解方程根的判别式Δ=4a2-12.若Δ=4a2-120 在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若Δ=4a2-12=0，即a=±3，方程3x2+2ax+1=0有两个相等的实根，x1=x2=-a3，即f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若Δ=4a2-12>0，即a3，则方程3x2+2ax+1=0有两个不同实根，由求根公式可解得x1=-a-a2-33，x2=-a+a2-33，显然x1表1x（-∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f ′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当-3≤a≤3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a3时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-a-a2-33）和（-a+a2-33，+∞），单调递减区间为（-a-a2-33，-a+a2-33）.例2 设函数f（x）=ex-ax-2，求f（x）的单调区间.分析此题与例1一样，可以用求导法讨论单调区间对函数f（x）=ex-ax-2进行求导，得到f ′（x）=ex-a.观察发现，无法确定方程ex-a=0是否有实根，因此，首先考虑方程是否有解对于含有超越式的方程是否有根问题，判别式无法使用，可转化为值域问题解决.因为ex≥0，所以若a≤0，则f ′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；若a>0，由ex-a=0得x=lna，当xlna时f ′（x）>0，所以f（x）的单调递减区间是（-∞，lna），单调递增区间是（lna，+∞）.综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间；当a>0时， f（x）的单调递减区间是（-∞，lna），单调递增区间是（lna，+∞）.二、在不在求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论.例3 （2008高考浙江卷理科）已知a是实数，函数f（x）=x（x-a）.（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（a）为f（x）在区间0，2上的最小值.（i）写出g（a）的表达式；（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2.分析（Ⅰ）函数的定义域为0，+∞，f ′（x）=x+x-a2x=3x-a2x=3（x-a3）2x（x>0）.由f ′（x）=0得x=a3.考虑a3是否落在导函数f ′（x）的定义域（0，+∞）内，需对参数a 的取值进行讨论.（1）当a≤0时，因为f ′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为0，+∞.（2）当a>0时，由f ′（x）>0，得x>a3；由f ′（x）因此，当a>0时，f（x）的单调递减区间为0，a3，f（x）的单调递增区间为a3，+∞.（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当a≤0时，f（x）在0，+∞上单调递增，从而f（x）在0，2上单调递增，所以g （a）=f（0）=0.（2）当a>0时，f（x）在0，a3上单调递减，在a3，+∞上单调递增.①当a3∈（0，2），即0②当a3∈2，+∞，即a≥6时，f（x）在0，2上单调递减，所以g（a）=f（2）=2（2-a）.综上所述，g（a）=0，a≤0-2a3a3，0（ii）令-6≤g（a）≤-2.①a≤0，无解；②若0③若a≥6，由-6≤2（2-a）≤-2，解得6≤a≤2+32.综上所述，a的取值范围为3≤a≤2+32.三、谁大谁小求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论.例4 求函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R的单调区间.分析对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本是运用求导法，所以对函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a进行求导，得到导函数f ′（x）=x2+（1-a）x-a观察可知，导函数可以因式分解为f ′（x）=x2+（1-a）x-a=（x-a）（x+1）由此可知方程f ′（x）=0有两个实根x1=a，x2=-1，由于a的范围未知，要讨论函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a的单调性，需要讨论两个根的大小.当ax（-∞，a）a（a，-1）-1（-1，+∞）f ′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和（-1，+∞），单调递减区间为（a，-1）.当a=-1时，f ′（x）≥0在R上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），没有单调递减区间.当a>-1时，f（x），f ′（x）随x的变化情况如下：表3x（-∞，-1）-1（-1，a）a（a，+∞）f ′（x）+0_0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.综上所述，当a-1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（a，+∞），单调递减区间为（-1，a）.以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定规律可循的.当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握.。

导数中的分类讨论问题作者：胡涵
来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第07期
導数一直是高考的重点内容之一，分类讨论思想更是高中数学思想方法的重中之重。

在每年高考的大题中导数题是必出题，分类讨论问题一般作为该题第二问出现。

该类题目考查同学们对导数的理解（通常与二次函数联系），以及对分类讨论思想的应用。

在解题时，如果掌握解决该类问题的思想方法和解题步骤，则会让解题過程更加清晰，更有逻辑，同时也使得卷面表达更加简洁，更有层次。

浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用“数学思想方法"在数学教育、数学教学领域被广泛应用，它贯穿整个数学教学中，是数学教学的核心思想.数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容(如概念、命题、规律)和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

针对数学思想方法与数学知识的紧密联系，要求我们在学好数学的同时要重视数学思想方法的学习与深入。

通过历年以来数学家、教育家对数学思想方法的研究，把数学思想方法分为几大类：方程思想、函数思想、分类讨论思想、归化转化思想、数形结合思想、极限思想、整体思想、抽样统计思想等等。

现在我就对分类讨论思想中学数学中的应用发表一下自己浅显的理解。

分类讨论思想是针对研究数学对象的本质属性的相同点和差异点来说的,将数学对象分为不同的种类,在对划分的每一种类分别进行研究和求解的一种方法。

它的实质是揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思想条理性和概括性。

现在对分类讨论思想做出如下几个方面的见解分析:(一）分类讨论思想的四大原则1、同一性原则分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的另类根据.如:把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是满足要求的。

但是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形,这种分类就不正确，此种分类同时使用了按边、按角两个分类标准.2、互斥性原则分类后的每个子项应当互不相容,即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一子项。

如:某班有9个同学参加球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加田径比赛，如把这9个人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类，这就犯了子项相容的逻辑错误。