最新6第六章曲线与曲面

第六章曲线和曲面§6-1曲线§6-2曲面的形成§6-3回转面§6-4非回转直纹曲面§6-5平螺旋面曲线的投影特性曲线由点运动而形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。

凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。

凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。

⒈曲线的割线和切线与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。

如图所示，割线CD与曲线AB相交于K、G两点。

进行投射时，割线的投影cd必与曲线的投影ab 交于K、G 两点的投影k和g。

当割线CD 绕其中一交点K转动并始终与曲线AB接触时，另一交点G 便沿着曲线经G１逐渐接近点K，最后与点K重合。

此时割线CD 变为切线EF，与曲线AB相切于点K。

它们的投影也从割线cd变为切线ef，与ab 相切于点k。

⒉曲线的交点和重影点曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在某一点处相交，其投影也在该交点的投影处相交。

圆柱螺旋线当一个动点M 沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线O 等速旋转，动点的轨迹是一根圆柱螺旋线。

直线旋转时形成一个圆柱面，圆柱螺旋线是该圆柱面上的一根空间曲线。

当直线旋转一周，回到原来位置时，动点M 移到位置M 1，在该直线上移动的距离MM 1，称为螺旋线的导程，以Ph 标记。

只要给出圆柱的直径Φ 、螺旋线的导程Ph 以及动点移动的方向，就能确定该圆柱螺旋线的形状。

M ●M 1●导程圆柱螺旋线OO§6-2曲面的形成圆柱面的形成圆锥面的形成球面的形成曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。

这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。

母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。

由于母线的不同，或者约束条件的不同，形成不同的曲面。

只要给出曲面的母线和母线运动的约束条件，就可以确定该曲面。

§6-3 回转面某由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的曲面，称为回转面。

圆柱面例【教材例6-2】给出圆柱面上点A 的V 投影a′，求作它的其余两投影。

⎰∑====-∞→∞→tni i i n n dt dtt dP P P n L c 011)(lim )(lim Tdtdcdt dp dt dp dt dc dtdpdtdp T dc dp c T dtdp dtdpdt dp ift dcdpT c P dc dp c P t P c P t C r dt dpt r if P t P t t P P c ⋅=⇒===±==⇒≠→=∆∆=→∆=∆⇒→∆⇒⇒→∆⇒=∆-∆+=∆→∆对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长，:10:1lim )()(C 00)()(0曲线过于平坦如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：⇒⇒n dtdpdc dp)()()()(0)()(0c P P t P P t c c t t c c dtt dP dt dc dt dt t dP c t==⇒=⇒=⇒>=⇒=⎰可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数第六章 曲线与曲面一、 曲线、曲面参数表示的基础知识1、 参数曲线的概念：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的转变率；弧长：对正那么曲线P （t ）参数从0到T 的弧长；k dc z d dc y d dcx d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T TT T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222222''22'212100021210212121212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⇒==⇒===⋅∆∆=∆∆=∴=⋅∆∆=∆⋅∆=∆∆⇒=∆=∆⋂→∆→∆→∆⋂→∆⋂⋂ρϕϕϕϕϕ曲率半径：又又： 为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N1KN N N T :⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⋅⇒⇒⇒KN K KN dc dT dc dT dcdTdc dT T ρ⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒⇒⇒⨯=⨯=⨯=⇒⇒⋅=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN RT B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,§曲率：曲线的弯曲转变率；§法矢量,,R C R B 0意点处的挠率等于的充要条件：曲线上任定理：曲线的平面曲线平均挠率为弧长处密切平面的夹角为参数邻域内取曲线上点，点的弧参数设曲线挠率反映曲线的钮挠性质不是常数非平面曲线副法矢量不变平面密切平面就是曲线所在平面曲线=∆∆⇒⎭⎬⎫∆∆∆+⇒⇒⇒=⇒⇒⇒c RQ c Q R C C Q dcdBdcdBθθ设给定函数f(x)在两个点的值：y1=f(x1),y2=f(x2); 要求：线性函数b ax x y +==)(ϕ近似代替)(x f y =；如选择a, b ，使2211)(,)(y x y x ==ϕϕ则)(x ϕ为f(x)的线性插值函数两点式点斜式21211212112121)()(y x x x x y x x x x x x x x y y y x --+--=---+=ϕ§挠率2、 插值、逼近、拟合与光顺 -函数逼近的重要方式； 函数逼近问题与插值问题； 插值函数；经常使用方式：线性插值，抛物线插值 线性插值：抛物线插值（二次插值）：§设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3;§要求：构造函数c bx ax x ++=2)(ϕ使该函数在节点Xi 处与f(x)在该点处的值相等；§逼近：-插值的问题？§型值点太多时→构造插值函数困难； §型值点多→误差大；-解决：选择低阶函数,在某种意义上逼近型值点→最正确逼近 §经常使用方式：最小二乘法-最小二乘法：逼近的成效由各点误差的平方和最小或加权的方差最小；§光顺：拐点不要太多-曲线的拐点太多→视觉效果差； -平面曲线的相对光顺条件： §1）具有二阶几何连续； §2）不存在多余拐点和奇异点； §3）曲率变化较小； 例：平面上的三次参数曲线段： 10332210332210≤≤+++=+++=t tb t b t b b y t a t a t a a x§相应拐点方程： ),,(),,(),,(,022*******b b b a a a r q p r qt pt ⨯==+-，式中§若p ≠0，则可以构造表达式：p r p q I /2)/(2-=§拟合：曲线、曲面的设计进程中，用插值或逼近方式是生成的曲线、曲面达到某些设计要求。