山东省胶州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题

高二理科数学第页共8页12015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试理科数学试题（必修3、选修2-1）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）.考生作答时，将第Ⅰ卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上（答题注意事项见答题卡），将第Ⅱ卷的必考题答在答题卷上.考试结束后，将答题卷交回.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是A．B． x ∈R,2x >x 20,0x x R e∃∈≤C．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1D．a >1，b >1是ab >1的充分条件ab2.已知命题,则命题的否定是2:,210P x R x ∀∈+>P A. B.012,2≤+∈∀x R x 012,200≤+∈∃x R x C. D.012,2<+∈∀x R x 012,200<+∈∃x R x 3.下列事件中:①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ,b 不都为0，但a 2＋b 2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温.其中为随机事件的是A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④4.若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为高二理科数学第页共8页2A．B．C．D．415．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11B．12C．13D．146.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市明天将有70%的时间降雨C．明天出行带雨具的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨7.椭圆的左、右焦点分别为、,则椭圆上满足的点2212516x y +=1F 2F 21PF PF ⊥PA.有2个B.有4个C.不一定存在D.一定不存在8.某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是A.5B.6C.7D.89．若直线：与曲线C ：恰好有一个公共点，则实数的值构成的l (1)1y a x =+-2y ax =a 集合为A.B. C. D.{}10-，4{2}5--，4{1}5--，4{10}5--，10.某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是A ．2B ．3C ．4D ．5高二理科数学第页共8页311.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为C.D.453512．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲12F F 、线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆P 21F PF ∆1PF 110PF =与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是1e 2e 121e e +A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，+）+∞43+∞65+∞109∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在如图的程序框图中，输入n ＝60，按程序运行后输出的结果是.高二理科数学第页共8页414.已知命题，，命题，若命:[0,3]p x ∀∈2223a x x ≥-+-2:,40q x R x x a ∃∈++=题“”是真命题，则实数的范围为.p q ∧a 15.若抛物线上的点A （2，m ）到焦点的距离为6，则p =________.)0(22>=p px y 16.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y +=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(Ⅰ)证明A1C⊥平面BED；的余弦值．(Ⅱ)求二面角A1－DE－B5高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页620.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.7高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页822.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF高二理科数学第页共8页92015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试试题理科数学（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、5；14、；15、8；16、.1[,4]33.15三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．解：以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M .----4分11(0,,)22则=，平面ABCD 的法向量为=（0，0，1）MC 31(1,,)22-AP 若直线CM 与平面ABCD 所成角记为，q 题号123456789101112答案DBBCBCDBDAAB高二理科数学第页共8页10则sin.------------------------------10分q =18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y+=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m 解：（Ⅰ）由题意得，，c a =2c =解得：-----------------------------4分⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：-----------------------------6分14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为，，线段AB 的中点为M ，),(11y x ),(22y x ),(00y x 由，消去y 得⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 148220824322=-++m mx x 3232,08962<<-∴>-=∆m m 3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴点M 在圆上，),(00y x 122=+y x高二理科数学第页共8页11------------12分222()()133m m m ∴-+==，即0> 19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(Ⅰ)证明A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，DE DB＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)．1A C 1DA(Ⅰ)∵＝0，＝0，1A C DB × 1A C DE ×∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥，n ⊥.DE1DA高二理科数学第页共8页12∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，→A 1C 〉==∵〈n ，→A 1C 〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B.---------------12分20.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距高二理科数学第页共8页13（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.解:（Ⅰ）①，②，③，④处的数字分别为3，0.025，0.100，1；------------------------------4分（Ⅱ）------------8分（Ⅲ）①（0.275+0.100+0.050）×5000=2125--------------------10分②P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260-----------------------12分21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m +2的概率.解：(I)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率为.----------------6分13(II)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m ,n ）有：（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,高二理科数学第页共8页14（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3）（3,4）,（4,1）（4,2），（4,3）（4,4），共16个.有满足条件n ≥m +2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个.所以满足条件n ≥m +2的事件的概率为P=,故满足条件n <m +2的事件的概率316为.--------------------------------------------12分22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF 解：（Ⅰ）由已知可得解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 226 2.a b ＝，＝所以椭圆C 的标准方程是.----------------------------------5分12622=+y x （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线的方程为，PQ 2x my +＝将直线的方程与椭圆C 的方程联立，得PQ 222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得，其判别式22340)2(m y my +＋－＝22(1683.)0m m ∆>＝＋＋设则1122()()P x y Q x y ，，，，12122242,33m y y y y m m --+==++于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝高二理科数学第页共8页15设为的中点，则点的坐标为.M PQ M 32,36(22+-+m mm 因为，所以直线的斜率为，其方程为.PQ TF ⊥FT m -)2(--=x m y 当时，，所以点的坐标为，t x =()2--=t m y T ()()2,--t m t 此时直线OT 的斜率为，其方程为.()tt m 2--x t t m y )2(-=将点的坐标为代入，M )32,36(22+-+m mm 得.36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m 解得.3=t （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 的坐标为.3=x ),3(m -于是，1||2+=m TF 221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m .]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m .414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．22411m m +=+1m ±＝||||PQ TF 33故当最小时，T 点的坐标是或-----------------------12分||||PQ TF ()3,1()3,1-。

2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．82．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（）A．﹣1 B．4 C．D．﹣3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ8．圆心在曲线y=（x＞0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）A．2=5 B．2=5 C．2=25 D．2=259．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，∨MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1②平面MB1P⊥平面ND1A1③∨MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是（）A．①B．①③C．②③D．②④10．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为．12．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是．13．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．14．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．17．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．18．已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD=AD=1， =2，求二面角P﹣AD﹣E的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．21．已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若⊥，试求点M的坐标；（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的性质求解．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，∴a=4，b=3，∴此椭圆的长轴长为2a=8．故选：D．【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值（）A．﹣1 B．4 C．D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；直线与圆．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当a=3时，两条直线分别化为：3x+y﹣1=0，2x﹣1=0，此时两条直线不垂直，舍去．当a≠3时，由于两条直线相互垂直，∴﹣a×=﹣1，解得a=．综上可得：a=．故选；C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题的真假关系；四种命题．【专题】常规题型．【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C．【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误，故选：D【点评】本题以命题地真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答的关键．8．圆心在曲线y=（x＞0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）A．2=5 B．2=5 C．2=25 D．2=25【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．【解答】解：设圆心为（a，）（a＞0），则r=≥=，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为2=5；故选A．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，∨MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1②平面MB1P⊥平面ND1A1③∨MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形．其中正确的命题序号是（）A．①B．①③C．②③D．②④【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，①平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，②平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影到MB的距离不变即可证得；④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，由图形判断即可．【解答】解：在①中，平面MB1P⊥ND1；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB1P⊥ND1垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；在②中，平面MB1P⊥平面ND1A1；可以证明MB1⊥平面ND1A1，由图形知MB1与ND1和D1A1都垂直，故可证得MB1⊥平面ND1A1，进而可得平面MB1P⊥平面ND1A1，故是正确命题；在③中，△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距离不变即可证得，故命题正确；在④中，△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形，由于P与C1重合时，P、B1两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．综上②③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为或3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=或3．故答案为：或3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形．12．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是11 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即A（1，2），此时u=3+2×4=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．13．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的什么条件转换为判断a+b=3是a=1且b=2成立的什么条件．【解答】解：由题意得∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题因为当a=3，b=0有a+b=3所以“命题若a+b=3则a=1且b=2”显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3“若a=1且b=2则a+b=3”是真命题∴命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．14．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径： =4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意作图辅助，易知△ABF2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可．【解答】解：由题意作图如下，，∵△ABF2的内切圆周长为π，∴△ABF2的内切圆的半径长r=，又∵△ABF2的周长l=4a=16，故S△ABF2=16×=4，且S△ABF2=|F1F2|×|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|，故|y1﹣y2|=，故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．【分析】（Ⅰ）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可；（Ⅲ）“p∨q”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…（4分）（Ⅱ）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或≥1；∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…（6分）（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得﹣2＜m≤；∴m的取值范围为（﹣2，]．…（12分）【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．17．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…（3分）即2=25．∴点M的轨迹方程是2=25，轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（6分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l：x=﹣2符合题意．…（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0…（12分）【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．18．已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD=AD=1， =2，求二面角P﹣AD﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBD⊥平面PAD；（Ⅱ）以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PD⊥BD…（2分）∵∠ADB=90°，∴AD⊥BD…（3分）∵AD∩PD=D∴BD⊥平面PAD…（5分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD…（7分）（Ⅱ）解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立直角坐标系D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（0，，0），设P（0，x，y），∵，∴…（9分）∵BD⊥平面PAD，∴平面PAD的一个法向量…（10分）设平面ADE的一个法向量，，，∴解得…（13分）设α为所求的角，cosα==…（15分）【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，=0，求||+||的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF1F2面积最大，再根据椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时||+||=14，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF1F2的面积取最大值；∴；即①；由离心率为得：②；∴联立①②解得a=4，c=2，b2=12；∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0）；∵，∴AC⊥BD；（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，；（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0；若设A（x1，y1），B（x2，y2），则：；∴=；直线BD的方程为y=，同理可得；∴=；令k2+1=t，t＞1；∴==；设f（t）=，（t＞1），f′（t）=；∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；∴t=2时，f（t）取最大值，又f（t）＞0；∴；∴；∴综上得的取值范围为．【点评】考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．21．已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为E（﹣1，0），F（1，0），并且经过点（，），M、N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若⊥，试求点M的坐标；（3）若A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；（2）通过设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），利用，计算即得结论；（3）通过设M （m ，n ）、直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），分别将点P 代入直线MA 、NB的方程，利用x 1x 2=2、m 2=2﹣2n 2，计算即得结论． 【解答】（1）解：依定义，椭圆的长轴长，∴4a 2=8，即a 2=2，又∵b 2=a 2﹣1=1，∴椭圆标准方程为； （2）解：设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），则，，∵，∴，即（m+1）2﹣n 2=0 ①∵点M （m ，n ）在椭圆上，∴ ②由①②解得，或，∴符合条件的点有（0，1）、（0，﹣1）、、；（3）结论：直线MA 与直线NB 的交点P 仍在椭圆C 上． 证明如下： 设M （m ，n ），则直线MA 的方程为：y （m ﹣x 1）=n （x ﹣x 1） ③直线NB 的方程为：y （m ﹣x 2）=﹣n （x ﹣x 2） ④设直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），将其坐标代人③、④并整理， 得：（y 0﹣n ）x 1=my 0﹣nx 0 ⑤ （y 0+n ）x 2=my 0+nx 0 ⑥⑤与⑥相乘得：⑦又x1x2=2，m2=2﹣2n2，代入⑦化简得：，∴直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，注意解题方法的积累，属于中档题．21。

2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷满分150分,考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．已知a b >，c d >，那么一定正确的是（ ） （Ａ）ad bc >（Ｂ）ac bd >（Ｃ）a c b d ->- （Ｄ）a dbc ->-2.双曲线2221x y -=的渐近线方程是 （A ）0x y ±=（B ）20x y ±=（C）0x = （D）0y =3．某市有大、中、小型商店共1500家，，它们的家数之比为1：5：9，要调查商店的每日零售额情况，要求从抽取其中的30家商店进行调查，则大、中、小型商店分别抽取家数是 （A ）2，10，18 （B ）4，10，16 （C ）10，10，10 （D ）8，10，124、在如图的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的 （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件5．在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13 （B（C（D）36．某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（A ）23（B ）34 （C ） 45（D ） 567．设()n f x 是等比数列21,,,,n x x x 的各项和，则()2n f 等于（A ）21n- （B ）121n +- （C ）22n - （D ）122n +-8.△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为( )（A ）22143x y +=(y ≠0) （B ） 22143y x +=(y ≠0) （C ） 22154x y += (y ≠0) （D ） 22154y x += (y ≠0) 9．设等差数列245,4,3,77的前n 和为n S ，若使得n S 最大，则n 等于（A ）7 （B ）8 （C ）6或7 （D ）7或810．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（A ）5（B ）6（C ）7（D ）811．在△ABC 中,两直角边和斜边分别为,,a b c ,若a b cx +=,试确定实数的取值范围 （A）(（B）(（C）)（D）12．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）92015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.抛物线240x y +=的准线方程是___________．14．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0,5.4]内的学生人数是2，则根据图中数据可得被样本数据在[3.8,4.2)内的人数是 ．15．已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ___ ．16.在0a >，0b >的情况下，下面三个结论：①22ab a b a b ++≤； 2a b +≤; ③2a b + ④22b a a b a b ++≥． 其中正确的是_____________________.三、解答题（共6小题，满分70分） 17. （本题满分10分）已知函数6)(2++=ax x x f .（Ⅰ）当5=a 时，解不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．19．（本题满分12分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．20. 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一 天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数)空气质量指数 0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染21．（本题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别 为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅱ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．22．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为32F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．2015-2016学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（理科卷）参考答案一、选择题：DCAB CCBA DBAB二、填空题：13、1y =；14、5；15、16、①②③④.17、解: （Ⅰ）当5=a 时，65)(2++=x x x f .由0)(<x f ,得652++x x ＜0.即 （0)3)(2<++x x ，所以 32x -<<-. ------------------5分 （Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，则有=∆0642<⨯-a . -----------------------8分 解得6262<<-a ，即实数a 的取值范围是)62,62(-.---------------10分18、解:（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=．…………2分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅…………8分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………10分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………12分 19．解：设{}n a 的前n 项和为n S ，当1q =时，11111n n S a a q a q na -=+++=；--------------------1分 当1q ≠时，1111n n S a a q a q -=+++． ①1111n n n qS a q a q a q -=+++， ②----------------3分①-②得()()111nn q S a q -=-，所以 ()111n n a q S q-=-．----------5分所以 ()11, 1,1, 1.1n n n a qS a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩----------------------------7分（Ⅱ）证：由{}n a 是公比为q 的等比数列有10a ≠，若对任意的n N +∈，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前三项，有()()22311111111a q a q a q q ⎡⎤--⎢⎥=⋅--⎢⎥⎣⎦，--------------------9分化简得 2210q q -+=，即()210q -=，----------------10分 但1q ≠时，()210q ->，这一矛盾说明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列．---------------------12分20．解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.…………2分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………5分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125．…………12分21．（Ⅰ）证明：取AB 中点D ，连接DM ，1DB ．在△ABC 中，因为 M 为AC 中点，所以BC DM //，BC DM 21=． 在矩形11B BCC 中，因为 N 为11C B 中点，所以BC N B //1，BC N B 211=． 所以 N B DM 1//，N B DM 1=．所以 四边形N MDB 1为平行四边形，所以 1//DB MN ．……………4分 因为 ⊄MN 平面11A ABB ，⊂1DB 平面11A ABB ，所以 MN // 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）解：线段1CC 上存在点Q ，且Q 为1CC 中点时，有⊥B A 1平面MNQ ． ………8分证明如下：连接1BC ．在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥．又⊥11C A 平面C C BB 11，所以 QN C A ⊥11，从而⊥NQ 平面11BC A ． 所以 1A B QN ⊥． ………………10分 同理可得 1A B MQ ⊥，所以⊥B A 1平面MNQ ．故线段1CC 上存在点Q ，使得⊥B A 1平面MNQ ． ………………12分 22．解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，------------------7分 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．-----------------------------------------9分 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=， 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 12分。