中值定理法(开平方算法)

中值法——手工快速开平方【题目】假设a²=53,509,225，求a。

【分析】按照教科书上的开平方的方法，对位数不多的数来讲，还比较实用，但对于位数较多的数字或小数位数较多的数来讲，此方法就比较繁琐，并且还有可能出错，并且一出错就得重头计算。

经过笔者不断总结、分析，找到一个非常好的方法，暂且叫做“中值法”吧。

一个实数的平方根为绝对值相等的一正一负两个数，所以，a应该是两个值。

【中值法步骤】1、确定区间[a1,a2]，使a1²≤a²≤a2²。

一般区间可考虑整数，如[100,200]、[500,600]等。

2、取区间中间值a3，即a3=(a1+a2)÷2。

3、计算a的初值a4，即a4=(a3+a²÷a3)×0.54、计算a的准确值。

a5=(a4+a²÷a4)×0.5，如果a5与a4相差很小，根据a²的个位数，判断a的个位数，确定a的准确值。

如果a²是一个完全平方数（及a为整数），到上面第4步时，结果就已经出来了；如果不是一个完全平方数（即a是一个小数），并且需要精确到小数点后n位，则重复第3、4步，直到小数位数达到需要的n位，就可以了。

【解题】1、判断a区间。

明显7,000＜a²＜8,0002、取区间中间值。

（7,000+8,000）÷2=7,5003、计算初值。

（7,500+53,509,225÷7,500）×0.5=7,317.281,6674、确定准确值。

（7,317.281,667+53,509,225÷7,317.281,667）×0.5=7,315.000,356这个结果与初值相差不大。

且a²的个位为5，所以，a值就是7,315和 -7,315。

【例题1】已知a²=2,345,678,911，求a（如果a为小数，保留4位小数，且a>0）1、判断a区间。

中值定理的三个公式中值定理是微积分中的一个重要定理，用于研究函数的性质和推导函数的一些特征。

中值定理有三个不同的形式，罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。

下面我将详细介绍这三个公式。

1.罗尔定理：罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且满足$f(a)=f(b)$，则在开区间$(a,b)$内，存在至少一点$c$，使得$f'(c)=0$。

简而言之，如果一个函数在两个端点的函数值相等且在区间内可导，那么在该区间内一定存在至少一个导数为零的点。

2.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了一个函数在一个闭区间上存在一个导数与函数在区间两个端点的斜率相等的点的位置。

设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导，那么在$[a, b]$之间有一个点$c$，使得$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

换句话说，如果一个函数在闭区间内连续且在开区间内可导，那么在这个闭区间内至少存在一个点，其导数等于函数在这个区间两个端点的函数值斜率。

3.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了两个函数在一个闭区间上存在一个导数与函数在区间两个端点的函数值斜率之差的商相等的点的位置。

设函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x)\neq 0$ ，那么在$[a, b]$之间有一个点$c$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。

总结一下，如果两个函数在闭区间内连续且在开区间内可导，且其中一个函数的导数不为零，那么在这个闭区间内至少存在一个点，其导数与两个函数的函数值斜率之差的商相等。

中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。

微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。

积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。

积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。

积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。

由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。

这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。

证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。

证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。

任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。

任意正实数开平方我们在初中已经学习过。

方法是查表法。

本文介绍了包括查表法在内的四种不同开平方的算法，供大家参考。

方法一：查表法。

方法二：笔算开平方法。

将被开方数从小数点起向左、向右每隔两位划为一段，用“ ’ ”分开；求不大于且最接近左边第一段数的完全平方数，此平方数的平方根为“初商”； 从左边第一段数里减去求得初商的平方数，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 把初商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；用初商乘以20加上试商再乘以试商。

如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；以此类推，直至满足要求的精度；平方根小数点位置应与被开平方数的小数点位置对齐。

例1 求316.4841的平方根。

第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左、向右每隔两位用逗号分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41。

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为2113=<，而2(11)43+=>。

第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216。

第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而[20(1)]⨯++初商试商(1)⨯+试商则大于第一余数。

第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748。

依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束。

若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值。

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐。

本例的算式如下：)0≠，则(*)的解为1,2,。

任意正实数开平方的几种算法1.倍增法（二分法）：这是最基本的开平方算法之一、在这个算法中，我们通过猜测一个数的平方根，并根据其与目标平方数之间的大小关系逐渐调整猜测值。

步骤如下：-将目标数设为x，并将猜测值设为y。

-如果y*y与x相等或误差在可接受范围内，则y为目标数的平方根。

-如果y*y大于x，则将猜测值y除以2，并再次进行比较。

-如果y*y小于x，则将猜测值y乘以2，并再次进行比较。

-重复以上步骤，直到找到一个近似的平方根。

2.牛顿迭代法：这是一种通过逐步逼近来计算开平方的方法。

公式如下：-将目标数设为x。

-假设平方根为y，则y满足等式：y=(y+x/y)/2-不断迭代以上等式，直到找到一个近似平方根。

3.泰勒级数展开法：这是一种利用泰勒级数来近似计算开平方的方法。

该方法基于泰勒级数的定义，将函数展开为一系列多项式。

步骤如下：-将目标数设为x，猜测平方根为y。

-使用泰勒级数展开公式来近似计算平方根：y(n+1)=y(n)+(x-y(n)^2)/(2*y(n))-不断迭代以上等式，直到找到一个近似平方根。

4.连分数法：这是一种基于连分数的逼近算法。

连分数指的是一个无穷的分数项序列，将分数展开为一个无限分数求和的形式。

步骤如下：-将目标数设为x，并将猜测的平方根设为y。

-使用连分数公式逼近平方根：y(n) = [a0; a1, a2, a3, ..., an]其中，a0为整数部分，a1,a2,a3,...为无限循环的小数部分。

-不断迭代以上等式，直到找到一个近似平方根。

这些算法都可以用于任意正实数的开平方计算。

每种算法各有优劣，选择适合的算法取决于具体问题和计算要求。

这些算法可以通过编程语言来实现，并可以在数值计算、科学计算等领域中得到广泛应用。

笔算开平方的方法（原创资料）这个问题可以说是老掉牙的问题，现在有科学的计算工具了，谁还用这个呢，现今的数学书籍上也基本不再提这个问题了。

但是，当你在日常生活中偶尔遇到要把某个数开平方，又没有带计算工具，用这个方法还是挺方便的。

下面简单介绍对有理数开平方的一般方法。

1.正整数开平方的方法：（1）把被开方数从右向左每隔两位用撇号分开，最后剩下一位时算作一段。

（如22146436写成22＇14＇64＇36，如2146436写成2＇14＇64＇36）；（2）从左边第一段(如22)求得算术平方根的第一位数字(如4) ；（3）从第一段减去这第一位数字的平方(如22-42=6)，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数(如614)；（4）把所得的第一位数字(如4)乘以20，去除第一个余数所得的商的整数部分(如614÷(4×20)=7.675的整数部分7)作为试商（注：如果这个整数部分大于或者等于10，就改用9作试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）；（5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商所得值不大于第一个余数时（如（4×20+7）×7=609≤614），这个试商就是算术平方根的第二位数字（注：如果所得的积大于余数时，就要把试商减去1再试，直到积小于或者等于余数为止）；（6）用第一个余数减去第一位数字的20倍加上试商的和乘以该试商所得值的差（如614-609=5），往后用同样的方法，继续求算术平方根的其他各位数字。

例：求√ 22146436开方竖式如下4 7 0 6√ 22＇14＇64＇36168 7│ 6 14│ 6 09940 6│ 5 64 36│ 5 64 36∴√22146436=4706.2.纯小数的开平方：求纯小数的算术平方根，也可以用整数开平方的方法来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向右每隔两位用撇号分开，如果小数点后的最后一段只有一位，就添上一个0补成两位。

开平方的方法和原理开平方的方法和原理开平方是数学中常见的一种运算，用来求一个数的算术平方根。

在日常生活中，我们经常遇到需要开平方的问题，比如计算一个正方形的边长、求解抛物线的顶点等等。

开平方的原理可以通过几何和代数两个方面来说明。

首先，我们来看看开平方的几何原理。

几何原理：假设我们要开方的数为x，也就是要求解x的平方根。

我们可以画一个正方形，它的面积为x。

我们的目标是找到一个边长为y的正方形，使其面积等于x。

也就是说，我们要找到一个数y，满足y的平方等于x。

根据几何原理，我们可以推导出以下结论：如果正方形的面积为x，那么边长为y的正方形的面积就是y的平方，即y²= x。

所以，求解开方问题，实际上就是求解y的问题。

代数原理：对于一个数x，我们用y来表示它的平方根。

根据代数原理，我们可以得到一个重要的等式：y²= x。

在开平方的过程中，我们可以使用不同的方法。

下面我将介绍几种常用的开平方方法。

1. 牛顿法牛顿法是一种通过逐步逼近的方式来求解方程的方法。

它的基本思想是，首先猜测一个近似的解，然后通过迭代求解使得逐步逼近真实的解。

对于方程y²= x，我们可以猜测一个近似解y0。

然后，我们可以使用以下公式进行迭代计算：y1 = (y0 + x/y0) / 2y2 = (y1 + x/y1) / 2...yn = (yn-1 + x/yn-1) / 2通过不断迭代，当yn与yn-1之间的差值足够小，即已经达到了我们的要求，我们就可以认为y = yn是x的开方近似解。

2. 二分法二分法是一种查找方法，可以用来求解函数的零点。

对于方程y²= x，我们可以将y的范围限定在一个区间[a, b]内，然后通过二分法逐步缩小区间的范围，最终找到一个近似解。

具体的步骤如下：- 首先，取一个精度要求ε，作为我们的停止条件。

- 初始化a为0，b为x。

- 当a-b > ε时，进行以下迭代步骤：- 计算区间的中点c = (a + b) / 2。

中值定理万能公式中值定理可是数学中的一个重要概念，要说万能公式，那可有点夸张啦，但它确实有着很强大的作用！咱们先来说说中值定理到底是啥。

中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

这几个定理就像是数学世界里的神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

就拿拉格朗日中值定理来说吧，它说的是如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)×(b - a) 。

这看起来有点复杂，其实就是说在一段连续可导的函数曲线上，肯定有一个点的切线斜率等于这段曲线两端点连线的斜率。

我记得有一次给学生讲这个定理的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们来做一道题你就知道啦。

”题目是这样的：已知函数 f(x) = x² - 2x 在区间[0, 3]上，求满足拉格朗日中值定理的ξ 的值。

咱们先求出函数的导数f'(x) = 2x - 2 ，然后根据拉格朗日中值定理，f(3) - f(0) = f'(ξ)×(3 - 0) 。

f(3) = 3² - 2×3 = 3 ，f(0) = 0 ，所以 f(3) - f(0) = 3 。

然后3 = (2ξ - 2)×3 ，解得ξ = 3 / 2 。

这时候那学生眼睛一下子亮了，说：“哎呀，原来这么神奇啊！”中值定理在解决函数的单调性、极值问题、不等式证明等方面都有着重要的应用。

比如说，在判断函数单调性的时候，如果导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减。

而中值定理就可以帮助我们找到导数为零的点，从而确定函数的单调性。

再比如说在证明不等式的时候，我们可以巧妙地构造函数，然后运用中值定理来得出结论。

不过，中值定理也不是那么好掌握的，需要我们多做练习，多思考，才能真正理解它的精髓。

开平⽅运算开平⽅运算编辑本词条缺少信息栏，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来编辑吧！开平⽅运算也即是开平⽅后所得的数的平⽅即原数，也就是说开平⽅是平⽅的逆运算。

⽬录1如何⼿动开平⽅开⽅的计算步骤我国古代数学在开⽅上的成就2开⽴⽅公式如何开⽴⽅开5次⽅公式1如何⼿动开平⽅编辑不⽤平⽅根表和计算器，可不可以求出⼀个数的平⽅根呢？先⼀起来研究⼀下，怎样求，这⾥1156是四位数，所以它的算术平⽅根的整数部分是两位数，且易观察出其中的⼗位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满⾜的关系式来进⾏分析．根据两数和的平⽅公式，可以得到1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，所以1156－30^2=2×30a+a^2，即256=(20×3+a)a，这就是说， a是这样⼀个正整数，它与20×3的和，再乘以它本⾝，等于256．为便于求得a，可⽤下⾯的竖式来进⾏计算：根号上⾯的数3是平⽅根的⼗位数．将 256试除以20×3，得4(如果未除尽则取整数位).由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表⽰开⽅正好开尽．于是得到 1156=34^2，或√1156=34.上述求平⽅根的⽅法，称为笔算开平⽅法，⽤这个⽅法可以求出任何正数的算术平⽅根，它的计算步骤如下：开⽅的计算步骤1．将被开⽅数的整数部分从个位起向左每隔两位划为⼀段，⽤撇号分开（竖式中的11’56），分成⼏段，表⽰所求平⽅根是⼏位数；2．根据左边第⼀段⾥的数，求得平⽅根的最⾼位上的数（竖式中的3）；3．从第⼀段的数减去最⾼位上数的平⽅，在它们的差的右边写上第⼆段数组成第⼀个余数（竖式中的256）；4．把求得的最⾼位数乘以20去试除第⼀个余数，所得的最⼤整数作为试商（20×3除256，所得的最⼤整数是 4，即试商是4）；5．⽤商的最⾼位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积⼩于或等于余数，试商就是平⽅根的第⼆位数；如果所得的积⼤于余数，就把试商减⼩再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平⽅根的第⼆位数）；6．⽤同样的⽅法，继续求平⽅根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上⾯右边的竖式，并根据这个竖式得到笔算开平⽅运算较繁，在实际中直接应⽤较少，但⽤这个⽅法可求出⼀个数的平⽅根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学在开⽅上的成就我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前⼀世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》⾥，就在世界数学史上第⼀次介绍了上述笔算开平⽅法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平⽅法的介绍．这表明，古代对于开⽅的研究我国在世界上是遥遥领先的．2开⽴⽅公式编辑如何开⽴⽅设A = X^3,求X.称为开⽴⽅。