郑州市第一中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试卷(有答案解析)
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一、选择题
1．设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）
A．过m且与n平行的平面有且只有一个
B．过m且与n垂直的平面有且只有一个
C．m与n所成的角的范围是0,
D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个
2．设m，n是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若m，n，//，则//mn；
②若m，n，//mn，则//；
③若，，则//.
④若//，//，m，则m；其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
3．在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，m，则//m
B．若//m，nm，则n
C．若//m，//n，m，n，则//
D．若//m，m，n，则//mn
5．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1
6．如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC．BC的中点，且MNAM，若侧棱23SA，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）
A．12 B．32 C．36 D．48
7．正方体1111ABCDABCD中，AB的中点为M，1DD的中点为N，则异面直线1BM与CN所成角的大小为（ ）
A．0 B．45 C．60 D．90
8．已知三棱锥ABCD的所有棱长都为2，且球O为三棱锥ABCD的外接球，点M是线段BD上靠近D的四等分点，过点M作平面截球O得到的截面面积为，则的取值范围为（ ）
A．π3π,42 B．3π3π,42 C．π3π,22 D．,42
9．如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
10．在长方体1111ABCDABCD中，23ABAD，12CC，则二面角1CBDC的大小是（ ）
A．30º B．45º C．60º D．90º 11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：
①ACBD②AC∥截面PQMN
③ACBD④异面直线PM与BD所成的角为45
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①②④
C．③④ D．②③④
12．在三棱锥PABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，1DPDC.有下列结论：
①三棱锥PABC的三条侧棱长均相等；
②PAB的取值范围是,42；
③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为23；
④若ABBC，E是线段PC上一动点，则DEBE的最小值为622.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，则下列命题中真命题是（ ）
A．若l，则 B．若lm，则
C．若，则lm D．若//，则//lm
14．已知m为一条直线，,为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若//,//m，则//m B．若,,m则//m
C．若,//,m则m D．若//,,m则m
二、解答题
15．如图1，在等腰梯形ABCD中，CE、DF是梯形的高，2AFBE，22CD，现将ADF、BCE分别沿DF、CE折起，得一简单组合体11ABCDEF，如图所示，点A、B分别折起到1A、1B，11//ABEF，11=2ABEF，已知点P为11AB的中点．
（1）求证：PE平面1BCE；
（2）若1CE，求二面角1DBCE的正弦值．
16．如图，在四棱锥SABCD中，底面梯形ABCD中，//BCAD，平面SAB平面ABCD，SAB是等边三角形，已知24ACAB，2225BCADCD.
（1）求证：平面SAB平面SAC；
（2）求直线AD与平面SAC所成角的余弦值.
17．在如图所示的几何体中，侧面CDEF为正方形，底面ABCD中，//ABCD，222ABBCDC，30BAC，ACFB.
（1）求证：AC平面FBC；
（2）线段AC上是否存在点M，使//EA平面FDM？证明你的结论.
18．如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且PD=PC=2
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求直线PA与平面ABCD所成角的正切值；
（3）若AA1=a，当a为何值时，PC//平面AB1D.
19．如图，在正三棱柱111ABCABC（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，16ACCC，M是棱1CC的中点.
（1）求证：平面1ABM平面11ABBA；
（2）求1AM与平面1ABM所成角的正弦值.
20．在斜三棱柱111ABCABC中，ABAC，1BC平面ABC，且2ABAC，123AA．
（Ⅰ）求证：平面1ABC平面11ABBA；
（Ⅱ）求直线1BC与平面11ABBA所成角的正弦值．
21．如图，在梯形ABCD中，//BCAD，E在AD上，且2BCBEED．沿BE将ABE△折起，使得ABCE．
（1）证明：ADCE；
（2）若在梯形ABCD中，π3ADC，折起后π3ABD，点A在平面BCDE内的射影H为线段BD的一个四等分点（靠近点B），求三棱锥DABC的体积．
22．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，2ADPD，60DAB，F，G分别为PD，BC中点，ACBDO.
（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥APFB的体积；
23．如图，ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，1ED，//EFBD.
（1）设EFBD，是否存在实数，使//BF平面ACE；
（2）证明：平面EAC平面BDEF；
（3）当12EFBD时，求几何体ABCDEF的体积.
24．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，过E点作EFPB交PB于点F.求证：
（1）//PA平面EDB；
（2）PB平面EFD.
25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点O是BD中点．
（1）求证:平面11BDDB平面1COC；
（2）求二面角1CBDC的正切值．
26．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形,,60,PAPDBADE是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证：//PA平面BDQ；
（3）若2PBCDEQABCDVV，试求CPCQ的值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
在A中，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行；
在B中，只有当m与n垂直时才能；
在C中，两异面直线所成的角的范围是0,2；
在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．
【详解】
在A中，过m上一点P作n的平行直线l，mlP，由公理三的推论可得m与l确定唯一的平面α，
l⊂α，n⊄α，故//n．故A正确．
在B中，设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故B不正确．
在C中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是0,2，故C不正确．
在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D不正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
2．D
解析：D
【分析】
根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.
【详解】
对①，根据垂直于两个平行平面中一个平面的直线与另一个平面也垂直，
以及垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确； 对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,，其中两条侧棱为,mn，
显然//mn，但与不平行，故②错误.
对③，当三个平面,,两两垂直时，显然结论不成立，故③错误.
对④，∵////，当m时，m，故④正确.
故选：D.
【点睛】
该题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题目
.
3．A
解析：A
【分析】
根据线面垂直的性质以及判定定理判断A，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.
【详解】
对于A，如下图所示，连接,AEGB
由于,CDBECDBG，根据线面垂直判定定理得CD平面AEBG，再由线面垂直的性质得出ABCD，则A正确；
对于B，如下图所示，连接,BFAF
因为ABF为正三角形，//CDAF，所以直线AB与CD所成角为60，则B错误；
对于C，如图所示，连接HD
