第十七章勾股定理
1. 在非直角三角形中作辅助线的方法
(1)作高(垂线)法：解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段 ，
转化为直角三角形，利用勾股定理计算或证明.
【例1】在厶ABC中,AB=2 :,AC=4,BC=2,以AB为边向△ ABC外作厶ABD,#^ ABD
为等腰直角三角形，求线段CD的长.
【标准解答】v AC=4,BC=2,AB=2 ,
• • AC+BC=AB,
•••△ ACB为直角三角形，/ ACB=90 .
分三种情况：
情况1:如图，过点D作DEL CB,垂足为点E.
易证△ ACB^A BED易求 CD=2 ;
情况2:如图，过点D作DELCA,垂足为点E.易证△ ACB^A DEA易求CD=2 ;
情况3:如图，过点D作DELCB,垂足为点E,过点A作AFL DE,垂足为点F.易证 △ AFD^A DEB易求 CD=3・.
(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法：有些几何图形，比如四边形,
本身就具备直角的已知条件，但没有直角三角形，此时要根据图形特点巧构直角 三角形
【例2】如图，/ B二/ D=90 , Z A=60° ,AB=4,CD=2.求四边形ABCD勺面积.
【标准解答】延长AD,BC交于E点,如图.
vZ B=90° , Z A=60° , •••/ E=30° .
••• AE=2AB=8,CE=2CD=4,
则 BE二.一 -=4勰
v DE二一一 --=2 ., •四边形ABCD勺面积=△ ABE的面积-△ CDE的面积=6 ..
△ ABC中 ,AB=4,BC=3, Z BAC=30 ,则厶 ABC的面积为
2. 运用数学思想处理问题D
E
(1) 分类讨论思想：在一些求值计算中，有些题目没有给出图形，当画出符合 题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.
【例1】已知三角形相邻两边长分别为 20 cm和30 cm.第三边上的高为 则此三角形的面积为 _________ cm.
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新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 1 页 共 4 页 科目 数学 课题 18.1 勾股定理（4）
主备人 雷长江 组内审核 学校审核
授课教师 授课班级 八年级 授课时间
学习目标 1．会利用勾股定理求最短路线长
2．树立数形结合的思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
学习
重难点 重点：会利用勾股定理求最短路线长。难点：实际问题向数学问题的转化。
教学准备
学 习 过 程
一、学生预习，教师导学
1、在同一平面内，两点之间 最短；
2、圆柱体的侧面展开图是 形。
二、学生合作，教师参与
（一) 圆柱中的最短路线
例1、如下图，一只壁虎在底面半径为20cm，高为30πcm的圆柱的下底面A处，它发现在它正上方圆柱边缘的B处有一只害虫，为捕捉这只害虫，它故意不走直线，而绕着圆柱表面从背后对害虫进行袭击，请问：壁虎捕捉到害虫至少要爬行多少厘米？
例2有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
（二) 长方体中的最短路线
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少?
例4、在长40cm、宽30 cm、高50 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要A B
A B
A B 最大最全最精的教育资源网
第十七章《勾股定理》
本章主要内容是勾股定理及其逆定理。 首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边 的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明， 从而得到勾股定理， 然后运用勾股定理解决问 题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
本章安排了两个小节和两个选学内容， 教学时间约需 8 课时，大体分配如下 （供参考）
17． 1 勾股定理 4 课时
17． 2 勾股定理的逆定理 3 课时
小结 1 课时
、教科书内容和本章学习目标
本章知识结构框图：
直角三角形是一种特殊的三角形， 它有许多重要的性质， 如两个锐角互余， 30°的角所
对的直角边等于斜边的一半。 本章所研究的勾股定理， 也是直角三角形的性质， 而且是一条
非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一， 它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量 关系， 它可以解决许多直角三角形中的计算问题， 是解直角三角形的主要依据之一， 在生产 生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号， 如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反 映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个 事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在 2000 多年前，是非常了不起的 成就。
在第一节中， 教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的 面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多， 教科书正文中介绍的是一种面积证法。 其中的依据是图形经
过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图 18.1 －3（ 1）
第十七章 勾股定理
归纳1：直角三角形
基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=52，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（ ）
A．512B．51C．52D．53
归纳2：勾股定理
基础知识归纳：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查。
【例2】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．
知识点1.勾股定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）
注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2+c2；当∠B=90时，b2＝a2+c2
例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；
