第2讲函数的表示法
知能训练
1. 若 f(x+2)=2x+3,则 f(x) = ( )
A. 2x+1 B. 2x—1 C. 2x—3 D. 2%+7
1
2. 已知代方=-^(无工±1),贝9()
A. fg・ f( — x)=l B. f( — x)+f(x)=O
C. f\x) • f\ — x) = —1 D. f( —/)+f(x)=l
3. (2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )
A. x~\~ 1 B. 2x—1
C. ~x+1 D. x+1 或一x—1
4. 下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )
A. f\x) = | B. f{x)=x-\x\
C. f^=x+\. D. f3=_x
5. 如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运 动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()
A. 10 B. 32 C. 18 D. 16
6. 若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财 =£,则有() A.
f(2)
C. f(2)
2
7. 己知函数 f(x) =2*+] + sin 才，则 f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .
8. (2016 年浙江)设函数 f(x) =x +3#+l.已知日HO,且 f{x) — /(a) = (x—b) (x—a)2f
x丘R, 贝实数臼= ________ , b= _________ .
窜质丹华
9. 根据条件求下列各函数的解析式：
(1) 已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;
(2) 已知 求心的解析式；
(3) 己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.
第一节 函数及其表示
[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(对应学生用书第7页)
[基础知识填充]
1． 函数与映射的概念
函数 映射
两集合
A、B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B 如果按照某个对应关系f，对集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应 集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
2. 函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
[知识拓展]
求函数定义域的依据
(1)整式函数的定义域为R；
(2)分式的分母不为零；
(3)偶次根式的被开方数不小于零；
(4)对数函数的真数必须大于零；
(5)正切函数y＝tan x的定义域为x x≠kπ＋π2，k∈Z；
(6)x0中x≠0；
2．10 导数的概念及运算
[知识梳理]
1．变化率与导数
(1)平均变化率
(2)导数
2．导数的运算
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )
(2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(选修A2－2P6例1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，
∴ΔyΔx＝2Δx＋4，故选C.
(2)(选修A2－2P18T7)f(x)＝cosx在π2，0处的切线的倾斜角为
________．
答案 3π4 解析 f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f′π2＝－1，
tanα＝－1，所以α＝3π4.
3．小题热身
(1)(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 y′＝a－1x＋1，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.
(2)(2017·太原模拟)函数f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________．
答案 y＝2ex－e
解析 ∵f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，
∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.
第14讲 导数与函数的单调性
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2017·全国卷Ⅰ，21
2017·江苏卷，11
2017·浙江卷，7
2017·山东卷，15
导数与函数的单调性是高考命题热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大．
分值：5～8分
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内__单调递增__；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内__单调递减__.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间内没有单调 2 性．( √ )
(3)导数为零的点不一定是极值点．( √ )
(4)三次函数在R上必有极大值和极小值．( × )
解析 (1)错误．函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，故f′(x)>0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．
(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
(4)错误．对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，y′＝3ax2＋2bx＋c.当Δ＝(2b)2－12ac<0，即b2－3ac<0时，y′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．
2．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为( B )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
