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2020高考数学大二轮复习专题10系列4选讲第2讲不等式选讲增分强化练理

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1 第2讲 不等式选讲 1．请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． [选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝2－35t，y＝－2＋45t(t为参数)．曲线C2：x2＋y2－4y＝0，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐

标为(22，－π4)． (1)求曲线C2的极坐标方程； (2)若C1与C2相交于M、N两点，求1|PM|＋1|PN|的值．

解析：(1)因为 x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ， 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)把曲线C1的参数方程代入曲线C2的方程得

(2－35t)2＋(－2＋45t)2－4(－2＋45t)＝0，

化简得t2－445t＋16＝0， t1＋t2＝445，t1·t2＝16，∴t1>0，t2>0.

又点P(22，－π4)的直角坐标为(2，－2)，故1|PM|＋1|PN|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2||t1||t2|＝t1＋t2

t1·t2

＝1120.

[选修4－5：不等式选讲] 已知f(x)＝|2x＋m|(m∈R)． (1)当m＝0时，求不等式f(x)＋|x－2|<5的解集； (2)对于任意实数x，不等式|2x－2|－f(x)

解析：(1)当m＝0时，不等式|2x|＋|x－2|<5可转化为 x<0，－2x＋2－x<5或2

 0≤x≤2，2x－x＋2<5或 x>2，

2x＋x－2<5，

整理得 x<0，x>－1或 0≤x≤2，x<3或 x>2，x<73， 所以不等式的解集为{x|－1(2)因为|2x－2|－|2x＋m|≤|2x－2－2x－m|＝|m＋2|， 若|2x－2|－f(x)只需|m＋2|

从而 m＋2－m2，解得m<－1或m>2. 2．请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． [选修4－4：坐标系与参数方程] 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐

标方程为ρsin(θ－π4)＝2，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)． (1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程； (2)设M，N分别是曲线C1，C2上的两个动点，求|MN|的最小值．

解析：(1)依题意，ρsin(θ－π4)＝22ρsin θ－22ρcos θ＝2，所以曲线C1的普通方程为x－y＋2＝0. 因为曲线C2的极坐标方程为

ρ2＝2ρcos(θ－π4)＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 所以x2＋y2－2x－2y＝0， 即(x－22)2＋(y－22)2＝1，

所以曲线C2的参数方程为 x＝22＋cos θ，y＝22＋sin θ(θ是参数)．

(2)由(1)知，圆C2的圆心(22，22)圆心到直线x－y＋2＝0的距离d＝|22－22＋2|2＝3

2. 又半径r＝1，所以|MN|min＝d－r＝2－1. [选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋1|(m∈R)的最小值为4. (1)求m的值；

(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c＝m，求证：1a＋12b＋13c≥3. 解析：(1)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|≥|(x－m)－(x＋1)|＝|m＋1|， 所以|m＋1|＝4，解得m＝－5或m＝3. (2)证明：由题意，a＋2b＋3c＝3.

于是1a＋12b＋13c＝13(a＋2b＋3c)(1a＋12b＋13c)

＝13(3＋2ba＋a2b＋3ca＋a3c＋3c2b＋2b3c) ≥13(3＋2 2ba·a2b＋2 3ca·a3c＋2 3c2b·2b3c)＝3， 当且仅当a＝2b＝3c时等号成立，即a＝1，b＝12，c＝13时等号成立． 3．(2018·厦门第二次质检)请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． [选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1：x24＋y2＝1，曲线C2： x＝2＋2cos φ，y＝2sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)射线l的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，若l分别与C1，C2交于异于极点的A，B两

点，求|OB||OA|的最大值． 解析：(1)C1：x2＋4y2＝4，∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 故C1的极坐标方程：ρ2(3sin2θ＋1)＝4. C2的直角坐标方程：(x－2)2＋y2＝4，

∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，故C2的极坐标方程： ρ＝4cos θ. (2)直线l分别与曲线C1，C2联立，得到 4

 ρ22θ＋＝4，θ＝α，则|OA|2＝43sin2α＋1，

 ρ＝4cos θ，θ＝α，则|OB|2＝16cos2α，

∴|OB|2|OA|2＝4cos2α(3sin2α＋1)＝(4－4sin2α)(3sin2α＋1)， 令t＝sin2α，则|OB|2|OA|2＝(4－4t)(3t＋1)＝－12t2＋8t＋4，∴t＝13，即sin α＝±33时， |OB||OA|有最大值433.

[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋a|，其中a>0. (1)求函数f(x)的值域； (2)对于满足b2＋c2＋bc＝1的任意实数b，c，关于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解，求a的取值范围． 解析：(1)∵a>0，∴－a<2，

∴f(x)＝ a＋2 x≤－a，－2x－a＋2 －a故f(x)∈[－a－2，a＋2]． (2)∵(b＋c2)2－bc＝14(b－c)2≥0，

∴bc≤(b＋c2)2， ∵(b＋c)2＝bc＋1， ∴(b＋c)2≤(b＋c2)2＋1，

∴－233≤b＋c≤233. 当且仅当b＝c＝33时，(b＋c)max＝233， ∴[3(b＋c)]max＝23 关于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解⇔[f(x)]max≥[3(b＋c)]max 即a＋2≥23，故a≥23－2， 又a>0，所以a≥23－2. 4．请考生在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清5

题号． [选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C1的极坐标方程为ρcos(θ－π6)＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，

且满足|OQ|·|OP|＝4.动点P的轨迹为C2. (1)求C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为(2，π3)，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值． 解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2θ－π6，

由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程 ρ＝2cos(θ－π6)(ρ>0)，

因此C2的直角坐标方程为(x－32)2＋(y－12)2＝1，但不包括点(0,0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)， 由题设知|OA|＝2，ρB＝2cos(α－π6)，

于是△AOB面积为S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB ＝2cos(α－π6)·|sin(α－π3)|＝2|sin2α－34|≤32， 当α＝0时，S取得最大值32. 所以△AOB面积的最大值为32. [选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝x2－|x|＋1. (1)求不等式f(x)≥2x的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≥|x2＋a|在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)不等式f(x)≥2x等价于x2－|x|－2x＋1≥0， ① 当x≥0时，①式化为x2－3x＋1≥0，

解得x≥3＋52或0≤x≤3－52； 6

当x<0时，①式化为x2－x＋1≥0， 解得x<0，综上所述，不等式f(x)≥2x的解集为

{x|x≤3－52或x≥3＋52}． (2)不等式f(x)≥|x2＋a|在[0，＋∞)上恒成立， ⇔－f(x)≤x2＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，

⇔－x2＋x－1≤x2＋a≤x2

－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，

⇔－x2＋12x－1≤a≤x2

－32x＋1在[0，＋∞)上恒成立，

由－x2＋12x－1＝－(x－14)2－1516≤－1516(当且仅当x＝14时取等号)， x2－32x＋1＝(x－34)2＋716≥716(当且仅当x＝34时取等号)，

所以－1516≤a≤716， 综上所述，a的取值范围是[－1516，716]．

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2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

2020高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法教师用书理选修4_5

2020高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法教师用书理选修4_5

第二节 不等式证明的基本方法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。

2016，全国卷Ⅱ，24,10分(比较法证明不等式) 2015，全国卷Ⅱ，24,10分(分析法、综合法证明不等式)2014，全国卷Ⅰ，24,10分(放缩法、反证法证明不等式)本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。

微知识 小题练1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b 。

(2)作商法：ab >1⇔a >b (a >0，b >0)。

2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。

(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。

这是一种执果索因的思考和证明方法。

3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。

4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。

5．柯西不等式设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立。

微点提醒1．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。

2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。

最新2020届高考数学二轮复习高考大题专项练：不等式选(理)

最新2020届高考数学二轮复习高考大题专项练：不等式选(理)

八不等式选讲(A)1.(2018·临汾二模)已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.2.(2018·海南三模)已知函数f(x)=|x|+|x-3|.(1)求不等式f(x)<7的解集;(2)证明:当<k<2时,直线y=k(x+4)与函数f(x)的图象可以围成一个四边形.3.(2018·泉州模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)∃x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范围.4.若a>0,b>0,且+=.(1) 求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.1.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|. 由f(x)≥5得|x-2|+|2x+1|≥5.当x≥2时,不等式等价于x-2+2x+1≥5, 解得x≥2,所以x≥2;当-<x<2时,不等式等价于2-x+2x+1≥5, 解得x≥2,所以此时不等式无解;当x≤-时,不等式等价于2-x-2x-1≥5, 解得x≤-,所以x≤-.所以原不等式的解集为{x|x≤-或x≥2}.(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为原命题等价于(f(x)+|x-2|)min<3,所以|a+4|<3,解得-7<a<-1,所以实数a的取值范围为(-7,-1).2.(1)解:f(x)=|x|+|x-3|,当x≥3时,f(x)=x+x-3=2x-3,由f(x)<7解得3≤x<5;当0<x<3时,f(x)=x+3-x=3,f(x)<7显然成立,可得0<x<3;当x≤0时,f(x)=-x+3-x=3-2x,由f(x)<7解得-2<x≤0,综上可得,f(x)<7的解集为(-2,5).(2)证明:由f(x)=作出y=f(x)的图象,显然直线y=k(x+4)恒过定点A(-4,0),当直线经过点B(0,3)时,3=4k,解得k=,此时构成三角形;当直线y=k(x+4)与直线y=2x-3平行,可得k=2,可得当<k<2时,直线y=k(x+4)与函数y=f(x)的图象可以围成一个四边形.3.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|.①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,令f(x)≤5,即-2x-1≤5,解得-3≤x≤-2;②当-2<x<1时,f(x)=3;显然f(x)≤5成立,所以-2<x<1;③当x≥1时,f(x)=2x+1,令f(x)≤5,即2x+1≤5,解得1≤x≤2.综上所述,不等式的解集为{x|-3≤x≤2}.(2)因为f(x)=|x-a|+|x+2|≥|(x-a)-(x+2)|=|a+2|,又∃x0∈R,有f(x0)≤|2a+1|成立,所以只需|a+2|≤|2a+1|,所以(a+2)2≤(2a+1)2,化简可得a2-1≥0,解得a≤-1,或a≥1.所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).4.解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立. 故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)不存在满足题意的a,b,理由:由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.八不等式选讲(B)1.(2018·呼伦贝尔一模)已知a>0,b>0,且a+b=1.(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.2.(2018·永州模拟)已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立.(1)求满足条件的实数t的集合T;(2)若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n 的最小值.3.(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)若f(x)≥+(m>0,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;(2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.4.(2018·南平质检)已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式f(x)≤x+1;(2)设函数f(x)的最小值为c,已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c,求证:+ ≥1.1.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,由ab≤m恒成立,故m≥.(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9, 当且仅当a=2b时取等号,故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12,综上所述,x的取值范围为[-6,12].2.解:(1)|x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1,所以|x-1|-|x-2|≤1,所以t的取值范围为(-∞,1],即集合T=(-∞,1].(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,只需log3m·log3n≥t max,所以log3m·log3n≥1,又因为m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0.又1≤log3m·log3n≤()2=(log3m=log3n时,取等号,此时m=n),所以(log3mn)2≥4,所以log3mn≥2,mn≥9,所以m+n≥2≥6,即m+n的最小值为6(此时m=n=3).3.解:(1)由题意可知,f(x)=函数f(x)的图象如图:由图知f(x)min=,所以+≤,即≤,即m+n≤mn≤()2,当且仅当m=n时等号成立,因为m>0,n>0,解得m+n≥,当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为.(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线, 则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,由图象可知-3≤a≤.4.(1)解:f(x)≤x+1,即|x-1|+|x-3|≤x+1.①当x<1时,不等式可化为4-2x≤x+1,x≥1.又因为x<1,所以x∈ ;②当1≤x≤3时,不等式可化为2≤x+1,x≥1.又因为1≤x≤3,所以1≤x≤3.③当x>3时,不等式可化为2x-4≤x+1,x≤5.又因为x>3,所以3<x≤5.综上可得,1≤x≤3,或3<x≤5,即1≤x≤5.所以原不等式的解集为[1,5].(2)证明:由绝对值不等式的性质得,|x-1|+|x-3|≥|(1-x)+(x-3)|=2,即c=2,即a+b=2,令a+1=m,b+1=n,则m>1,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,+=+=m+n++-4=≥=1, 原不等式得证.。

(全国通用版)2020高考数学二轮复习 中档大题规范练(六)不等式选讲 理

(全国通用版)2020高考数学二轮复习 中档大题规范练(六)不等式选讲 理

2019年 (六)不等式选讲 1．(2018·福建省百校模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－|x－1|. (1)当a＝2时，求不等式0(2)若∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤a2－3，求a的取值范围． 解 (1)当a＝2时， 因为f(x)＝|x－2|－|x－1|≤|(x－2)－(x－1)|＝1， 所以f(x)≤1的解集为R； 由f(x)>0，得|x－2|>|x－1|， 则|x－2|2>|x－1|2， 即x2－4x＋4>x2－2x＋1，

解得x<32.

故不等式0(2)当a≤0，x∈(0，＋∞)时， f(x)＝x－a－|x－1|＝ 1－a，x≥1，2x－a－1，0

则f(x)max＝1－a≤a2－3， 又a≤0，所以a≤－1＋172； 当00>a2－3， 故0当a≥1，x∈(0，＋∞)时， f(x)＝|x－a|－|x－1|≤|(x－a)－(x－1)|

＝|a－1|＝a－1， 当且仅当0则a2－3≥a－1， 又a≥1，所以a≥2.

综上，a的取值范围为－∞，－1＋172∪[2，＋∞)． 2．(2018·滨州、淄博模拟)已知函数f(x)＝|x－2|－|2x＋1|. (1)解不等式f(x)≤2； (2)若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围． 2019年 解 (1)f(x)＝ x＋3，x≤－12，1－3x，－12原不等式等价于  x≤－12，x＋3≤2或 －12

1－3x≤2或 x≥2，－x－3≤2，

解得x≤－1或－13≤x<2或x≥2， 综上所述，不等式的解集是x x≤－1或x≥－13. (2)∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于 (|a＋b|－|a－b|)max≥f(x)max. 因为|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|， 所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；