圆的十八个定理

初中圆的所有公式定理圆是初中数学中非常重要的一个概念，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。

在初中数学中，我们学习了许多关于圆的公式和定理，下面就让我们来一一了解。

一、圆的基本概念圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。

其中，定点叫做圆心，到圆心距离相等的点叫做圆上的点，距离叫做半径。

二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.14。

2. 面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.14。

三、圆的弧长和扇形面积公式1. 弧长公式：L=α/360°×2πr，其中L表示圆的弧长，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。

2. 扇形面积公式：S=α/360°×πr²，其中S表示扇形的面积，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。

四、圆的切线和切点定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线垂直。

2. 切点定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

五、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。

六、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。

七、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

八、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。

九、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。

十、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

以上就是初中圆的所有公式定理，它们是我们学习圆的基础，掌握好这些公式和定理，对于我们后续的学习和应用都有很大的帮助。

圆的公式定理
圆是一个平面上的几何图形，它是由所有到圆心距离相等的点组成的。

圆的公式和定理是研究圆的重要内容，下面将介绍一些常见的圆的公式和定理。

1. 圆的周长公式：圆的周长是指圆形边界的长度，它等于圆的直径乘以π（圆周率）。

即：C=πd，其中C为圆的周长，d为圆的直径。

2. 圆的面积公式：圆的面积是指圆形内部的面积，它等于圆的半径的平方乘以π。

即：S=πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

3. 弧长公式：弧是圆周上的一段弯曲部分，弧长是指弧的长度。

弧长公式是指计算弧长的公式，它等于圆的半径乘以圆心角的弧度数。

即：L=rθ，其中L为弧长，r为圆的半径，θ为圆心角的弧度数。

4. 圆心角公式：圆心角是指圆心所在的角，它的顶点在圆周上。

圆心角公式是指计算圆心角的公式，它等于弧长除以圆的半径。

即：θ=L/r，其中θ为圆心角的弧度数，L为弧长，r为圆的半径。

5. 正弦定理：正弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的正弦值相等。

即：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为弦的长度，A、B、C为对应的圆心角的度数。

6. 余弦定理：余弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的余弦值相等。

即：a²=b²+c²-2bc*cosA，其中a为弦的长度，b、c为另外两条弦的长度，A为对应的圆心角的度数。

这些公式和定理是研究圆的基础，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

与圆有关的20个定理圆是几何学中非常重要的一个图形，其形状和性质在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是与圆有关的20个定理的集合，包括圆的基本性质、圆与其他几何图形的关系和圆上的特殊点和线。

1. 定理1：周长公式圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，大约为3.14。

这个公式可以使用圆的直径d而不是半径r来表达：C = πd。

2. 定理2：面积公式圆的面积公式是A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

与周长公式一样，也可以使用圆的直径来表达圆的面积：A = (π/4)d²。

3. 定理3：圆周的弧度弧度是一种测量角度的单位，它是定义为一个圆弧所对应的圆心角的度数除以360度的比例。

例如，如果一个圆弧所对应的圆心角是90度，则该圆弧的弧度是1/4。

4. 定理4：内切圆内切圆是一个圆，恰好与给定的多边形的内部相切，且每个边都是它的切线。

内切圆的半径称为内切圆半径，且由公式r = A/P得出，其中A是多边形的面积，P是多边形的周长。

5. 定理5：外接圆外接圆是一个圆，它恰好与给定的多边形的每个顶点相切。

外接圆的半径称为外接圆半径且可以由a²+b²=c²公式或者P=2πr公式来计算。

6. 定理6：圆柱体的侧面积一个圆柱体的侧面积是由公式A=2πrh得出的，其中r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高。

7. 定理7：球的表面积球的表面积是由公式A=4πr²得出的，其中r是球的半径。

8. 定理8：圆锥的侧面积一个圆锥的侧面积是由公式A=πrl得出的，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的斜线长度。

9. 定理9：勾股定理勾股定理是一个直角三角形的定理，它表明a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

10. 定理10：圆的切线对于给定的一个圆，一个切线是从圆外的一点切到圆上的一点。

关于圆的公式定理圆是数学中一个非常重要的几何形状，具有许多有用的定理和公式。

在此，我们将深入探讨关于圆的定理和公式，并了解它们在实际生活中的应用。

首先，让我们来了解一些基本的定义。

圆是指由一条完全相同距离中心点的点组成的闭合曲线。

圆上的每个点到中心的距离称为半径，我们用字母r表示。

圆的周长称为圆周长，用C表示。

圆的面积称为圆面积，用A表示。

那么，我们来看一下圆的一些重要定理和公式。

1. 圆的直径定理（Diameter Theorem）：直径是通过圆心的线段，并且是圆周长的两倍。

也就是说，d = 2r，其中d是直径长度。

这个定理在实际生活中有很多应用。

例如，在建筑领域，我们常常使用直径来计算门或窗户的宽度，确保它们能够完美地安装在开口上。

2. 圆周长公式（Circumference Formula）：圆周长等于直径乘以π（pi），即C = 2πr或C = πd。

圆周长公式非常有用，因为它可以帮助我们计算任何给定半径的圆的周长。

我们可以使用这个公式来确定绕行园艺装饰圆形花坛所需的木质栅栏的长度。

3. 圆面积公式（Area Formula）：圆的面积等于半径的平方乘以π（pi），即A = πr²。

圆面积公式在解决各种实际问题时非常有用。

例如，在制作饼或蛋糕时，我们可以使用这个公式来计算需要的面团或面糊的总量。

除了这些基本定理和公式之外，还有一些其他有用的圆的性质和应用。

4. 弧长公式（Arc Length Formula）：弧长可以通过半径和圆心角的关系来计算。

如果我们知道圆心角的度数为θ（以弧度表示），那么弧长等于θ乘以半径的长度。

弧长公式在地理学、导航和航空导航中经常被使用。

例如，在航空导航中，我们可以使用这个公式来计算一架飞机在特定角度上行驶的距离。

5. 弧度公式（Radian Formula）：弧度是一种介于0和2π之间的度量单位。

弧度可以通过将圆周长除以半径来计算。

弧度在物理学中非常常见，并且与角速度、圆周率等概念紧密相连。

圆的各种定理一、垂径定理1. 定理内容- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

- 用符号语言表示：设圆O中，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

2. 推论- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

- 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

- 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

二、弧、弦、圆心角定理1. 定理内容- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

- 符号语言：在⊙ O中，若∠ AOB=∠ COD，则widehat{AB}=widehat{CD}，AB = CD。

2. 推论- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

三、圆周角定理1. 定理内容- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

- 符号语言：在⊙ O中，∠ BAC是widehat{BC}所对的圆周角，∠ BOC是widehat{BC}所对的圆心角，则∠ BAC=(1)/(2)∠ BOC。

2. 推论- 同弧或等弧所对的圆周角相等。

- 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90^∘的圆周角所对的弦是直径。

- 圆内接四边形的对角互补。

即四边形ABCD内接于⊙ O，则∠ A+∠ C = 180^∘，∠ B+∠ D=180^∘。

四、切线的性质定理1. 定理内容- 圆的切线垂直于经过切点的半径。

- 符号语言：直线l是⊙ O的切线，切点为A，则OA⊥ l。

五、切线的判定定理1. 定理内容- 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

- 符号语言：点A在⊙ O上，OA是半径，直线l⊥ OA于点A，则直线l是⊙O的切线。

六、切线长定理1. 定理内容- 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

干货：圆的相关定理，性质，公式盘点不要害怕拒绝他人，如果自己的理由出于正当。

当一个人开口提出要求的时候，他的心里根本预备好了两种答案。

所以，给他任何一个其中的答案，都是意料中的。

——三毛1、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是圆O的直径,CD⊥AB∴AP=BP,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD2、弧，弦，圆心角(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.∵ ∠COD =∠AOB∴AB=CD,弧AB=弧CD3、圆周角定理及推论在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

∠A =1/2∠O在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等。

相等的圆周角所对的弧相等。

∠C=∠D=∠E=1/2∠AOB半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。

90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

∵AB是⊙O的直径∴∠C=∠D=∠E=90°（∵∠C=90°，∴AB是⊙O的直径）4、点与圆，直线与圆的位置关系一、(1)点在圆外，d＞r;(2)点在圆上，d =r;(3)点在圆内，d＜r.二、 (1)当直线与圆相离时d＞r;(2)当直线与圆相切时d =r;(3)当直线与圆相交时d＜r.三、切线的判定与性质判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

∵OA是⊙O的半径,OA⊥ l∴直线l是⊙O的切线.性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.∵直线l是⊙O的切线,切点为A∴ OA⊥ l切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

∵PA、PB为⊙O的切线∴PA=PB,∠APO= ∠BPO5、三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点.三角形的内心是三角形各角平分线的交点.6、弧长，扇形面积，圆锥侧面积计算公式S侧面积=πra。

1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2.圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

3.直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

4.在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

5.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

6.在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦与相等。

7.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

8.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

9.三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点。

10.（1）直线l 和⊙O 相交⇔两个交点、d r ，（2）直线l 和⊙O 相切⇔一个交点、d=r ，
（3）直线l 和⊙O 离⇔没有交点、d r 。

11.经过半经的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

12.圆的切线垂直于过切点的半径。

13.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

14.三角心的内心是这个三角形的三条角平分线的交点。

15.半径为r 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l 为：1802360r n r n l ππ=•=。

圆的相关定理
圆的相关定理主要包括以下几个定理：
1. 圆的定义：圆是由平面内各点到圆心的距离都相等的点的集合。

2. 弧的定义：圆上两点所确定的弧是与这两点不同的圆周上的其他点所构成的集合。

3. 弧长公式：一个圆的弧长等于它的圆心角所对的弧度的倍数乘以这个圆的半径。

4. 弦的性质：圆上的一条弦所对的两个弧相等。

5. 弧带角公式：在同一个圆中，弧所对的圆心角相等，而且每个圆心角所对的弧长与角的大小成正比。

6. 切线定理：若直线与一个圆相交于A点，那么这条直线在与这个交点相切的点与交点所连接线的平分线所构成的夹角是圆上点与圆心连线之间的角。

7. 切线的性质：切线与半径垂直相交。

8. 正切线定理：若一条直线与一个圆相交于A点，则从圆心出发的两条射线分别与该直线相交的两点构成的线段相等。

除了上述几个基本定理外，还有一些与圆有关的定理，如圆的
切线定理（一条直线与一个圆交于两个点，这条直线与这两个交点所能构成的弧的夹角等于两个交点所对的弧的一半）等。

这些定理在解题过程中可以帮助我们解决与圆有关的问题。

初中圆的八大定理
初中圆的八大定理：
一、圆心角定理：两条射线从圆心射出，其夹角为相等。

二、过圆心一点作圆周直线，则圆周过此点的两条直线是等切的。

三、内切圆周线定理：如果一条直线与圆相切，如果它的端点在圆的外面，那么它的两个断点共同组成一条等切线。

四、连接切点定理：两个切点连接就是切线，切线一定和圆心连接。

五、直接距离定理：切点到圆心的距离是切线上任意点到圆心的最短距离。

六、弦到圆心距离定理：两个切点连接形成弦，弦到圆心的距离是这两个切点到圆心的平均距离。

七、三角形定理：两个切点连接形成的弦和圆心形成三角形��三角形的两个角之和是180度。

八、全角定理：圆的四分之一角的大小是90度。

1、有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

2、圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

3、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

5、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

6、⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

7、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

8、直径所对的圆周角是直角。

9、90度的圆周角所对的弦是直径。

10、如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

11、⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

12、外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

13、③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

14、（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

15、（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

16、（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

17、（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

18、（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

19、（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

20、〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

2.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧3.圆周角定理:定义: 顶点在圆上,且两边与圆还有另一个交点。

圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)弦切角定理:定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD 更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB （弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB ∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O 于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD 交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）四圆定理:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，OC过圆心（垂径定理）推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）（2）弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵AC＝BC，OC过圆心（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言：（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言：∵AB‖CD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。

圆中补充定理一、知识提要：圆中定理大盘点：1．垂径定理2．圆中关系定理3．切线性质定理4．切线判定定理5．三点定圆定理6．圆周角定理补充定理：1．相交弦定理2．弦切角定理3．切线长定理4．切割线定理5．平行弦定理6．连心线性质定理7．圆内接四边形定理相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等；(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理推论（割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．平行弦定理：圆中两条平行弦所夹的弧相等．连心线性质定理：相交两圆的连心线垂直平分它们的公共弦；圆的内接四边形性质定理：性质定理1：圆内接四边形的对角互补性质定理2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.二、专题练习1．四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，且∠A︰∠B︰∠C =2︰1︰4，则∠D=______°．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，连结AC、CD，作射线AD，若∠BAC=20°,求∠CDE的度数．3．如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝P A·PB4．如图，已知P AB是⊙O的割线，PO＝14cm，P A＝4cm，AB＝16cm．求⊙O的半径.5．如图，C为AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H、K。

圆的所有公式定理圆，这可是数学世界里超级有趣的一部分！咱们从小学到高中，跟圆相关的公式定理那可不少。

先来说说圆的周长公式C = 2πr 或者C = πd 。

这里的 C 表示圆的周长，r 是半径，d 是直径，π呢，就是那个约等于 3.14159 的神奇常数。

就像我之前去买自行车，车轮就是个圆呀。

我在选车的时候就在想，这车轮转一圈能走多远，这不就得用周长公式来算嘛。

圆的面积公式S = πr² 也很重要。

有一次我去帮朋友规划花园，他想要一个圆形的花坛，我就得用这个公式算出多大面积能种多少花。

还有圆的弧长公式L = nπr/180 ，其中 L 是弧长，n 是圆心角度数。

我记得有一次参加数学兴趣小组活动，老师出了一道题，是关于一个扇形窗户的弧长计算，大家都绞尽脑汁，最后用这个公式轻松搞定。

圆的扇形面积公式S = nπr²/360 ，这个在解决实际问题中也经常用到。

比如说设计一个圆形的舞台，上面有扇形的装饰区域，要计算装饰区域的面积就得靠它。

另外，圆的切线定理也很有意思。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个定理在解决一些几何证明题的时候可管用了。

还有垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。

我记得有一次在辅导一个小朋友做作业，就碰到了这样的题目，一开始他怎么都不明白，我就给他画了个大大的圆，一点点给他解释，最后他终于搞懂了，那开心的样子我到现在都记得。

在学习圆的这些公式定理的过程中，我发现其实它们就像是打开数学世界里一个个神秘宝箱的钥匙。

每次用这些公式定理解决一个问题，就好像找到了宝箱里的宝贝一样，那种成就感真的让人特别满足。

而且，这些公式定理不仅仅在数学课本里有用，在我们的日常生活中也随处可见。

比如建筑设计中的圆形拱门、公园里的圆形喷泉，甚至是我们吃的披萨，切成扇形的时候也能用到相关的知识。

所以啊，别小看这一个个关于圆的公式定理，它们的用处可大着呢！只要我们认真去学，去用，就能发现数学的乐趣和魅力。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）切线长定理垂径定理圆周角定理弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧最新文件仅供参考已改成word文本。

4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径50正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径51余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角52圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标53圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>054弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r。

圆的定理公式大全1.圆的定义：圆是平面上与一个固定点的距离恒定的点的集合。

2.圆的直径定理：圆的直径是圆上任意两个点的连线中最长的一段。

3.圆的半径定理：圆的半径是圆上任意一条弦的垂直平分线。

4.圆心角定理：在一个圆上，一个弧所对的圆心角是它所对弧的两倍。

5.弧长定理：圆的弧长是它的圆心角所对的弧的弧度数与半径的乘积。

6.弦长定理：圆上一条弦的弦长等于弦与圆心连线的垂直距离的两倍。

7.弦心角定理：在一个圆上，当两个弦截取的弧相等时，弦所夹的弧所对的弦心角也相等。

8.弧与切线的关系：一个切线与圆的弦的相交弧的弧长相等。

9.切线定理：如果一个切线和半径相交，那么相交点与圆心的连线垂直于切线。

10.垂径定理：在一个圆上，由圆心至弦的中点的线段垂直于弦。

11.弦割定理：当两个弦相交时，两个弦的乘积等于它们所对的两个弧的乘积。

12.弦切角定理：当一个切线与一条弦相交时，切线与弦之间的夹角等于所对弧的圆心角。

13.同切圆定理：两个同切圆的半径之比等于它们对应圆的半径之比。

14.位似圆定理：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是位似的。

15.勾股圆定理：在一个直角三角形中，斜边的一半等于直角边的几何平均数。

16.外接圆定理：在一个三角形中，三个顶点到外接圆圆心的距离相等。

17.内切圆定理：在一个三角形中，三个角的平分线交于一个点，这个点到三边的距离相等，且这个点是内切圆的圆心。

18.旁切圆定理：在一个三角形中，三个顶点到旁切圆切点的距离相等。

19.拉比定理：两个圆的外公切线上的切点连线与两个圆心的连线垂直。

20.均角定理：在一个圆上，两个截取同一弦的弧所对圆心角相等。

21.与弦垂直的半径定理：一个圆的半径与其上的弦垂直，则半径平分弦。

22.正弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的正弦等于相应的边与直径的乘积。

23.余弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的余弦等于两个相邻边与直径的乘积之和减对角边与直径的乘积。

圆的十大定理推导
1. 对于任意一个圆，它的圆心到圆上任意一点的距离都是相等的，这个距离被称为半径。

2. 一个圆唯一地确定了它的圆心和半径，任意两个圆不可能有相同的圆心和半径。

3. 对于任意一个圆，圆上每一个点都与圆心连成一条线，这条线被称为半径。

4. 一个圆的直径是通过圆心的，且在圆上的两个相对的点之间的直线段。

直径的长度是圆的半径长度的2倍。

5. 一个圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它的长度可以通过公式C = 2πr来计算（其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14159）。

6. 一个圆的面积是圆内部所有点的集合，它的大小可以通过公式A = πr^2来计算（其中A表示面积）。

7. 如果两个圆的圆心重合，那么它们是同一个圆。

8. 如果一个圆的半径是另一个圆半径的n倍，那么这两个圆的面积之比是n^2。

9. 如果一个圆的半径是另一个圆半径的n倍，那么这两个圆的周长之比也是n。

10. 两个圆可以相交、外切或内切。

当两个圆相交时，它们的交点形成一个弓形；当两个圆外切时，它们的外切点形成一个直线；当两个圆内切时，它们的内切点形成一个直线。