西城学探诊高中数学 1.3圆内接四边形导学案(无答案)新人教B版选修4-1

1．3.2圆内接四边形的性质与判定[对应学生用书P29][读教材·填要点]1．圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆内接四边形的判定(1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．[小问题·大思维]1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为180°，所以该平行四边形一定是矩形．[对应学生用书P29][例1]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C 两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．[思路点拨] 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边形的判定定理证明。

解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解．[精解详析] (1)证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ，因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ，于是∠OP A ＋∠OMA ＝180°.由圆心O 在∠P AC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．(2)由(1)得A ，P ，O ，M 四点共圆， 所以∠OAM ＝∠OPM .由(1)得OP ⊥AP ，由圆心O 在∠P AC 的内部， 可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°.判定四点共圆的方法(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1.如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P ，求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，可得△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ， ∴∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)如图，连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°， 由P ，D ，C ，E 四点共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，∴AP⊥CP.[例2]如图，两圆⊙O，⊙O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦1BD交⊙O1于F点．证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE.(2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.[思路点拨]本题考查圆内接四边形的判定及性质．解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等．[精解详析](1)连接AE，AF，AC，AD，则∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD.又∵∠DBA＝∠CBA∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD.故CE＝DF.(2)由(1)∠BDA＝∠AEC，∠ACB＝∠AFD，又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD，∴AD＝AE，∴∠DBA＝∠CBA.(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径．(2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的．2．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明：如图，连接OD ，因为BD ＝DC ， O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .[例3] 如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .[思路点拨] 本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题．解答本题可连接BD ，通过证明△EBD ∽△EF A 来解决．[精解详析] 连接BD ，因为AB ∥CD ， 所以BD ＝AC .因为A 、B 、D ，F 四点共圆， 所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EF A 的公共角， 所以△EBD ∽△EF A .所以DE AE ＝BD AF ，所以DE AE ＝AC AF.即AE ·AC ＝AF ·DE .证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系．3．试证明：在圆内接四边形ABCD 中， AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .证明：如图，在AC 上取点E ，使∠ADE ＝∠1. 又∠3＝∠4，∴△ADE ∽△BDC .∴AE AD ＝BC BD， ∴AE ·BD ＝AD ·BC .①又∵∠ADE ＝∠1，∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵∠5＝∠6，∴△ABD ∽△ECD . ∴AB EC ＝BDCD ，∴BD ·EC ＝AB ·CD .② ①②两式相加：AE ·BD ＋BD ·EC ＝AD ·BC ＋AB ·CD ， 即AC ·BD ＝AD ·BC ＋AB ·CD .[对应学生用书P31]一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝( )A ．35°B ．90°C ．125°D ．150°解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：C2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE ＝50°，则∠BOD 等于( )A ．75°B ．90°C ．100°D ．120°解析：∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A ＝50°，∴∠BOD ＝2∠A ＝100°. 答案：C3．若AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高线，交于H ，则图中四点共圆的组数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：其中：B 、D 、H 、F 共圆；C 、D 、H 、E 共圆；A 、E 、H 、F 共圆；A 、F 、D 、C 共圆；B 、C 、E 、F 共圆；A 、B 、E 、D 共圆．答案：D4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B ．62a C.12a D ．13a解析：∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ， ∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°.∴AB ＝AD ＝BD ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°. ∴∠CDB ＝30°，∴∠ADC ＝90°，∴CD ＝tan30°·AD ＝33a . 答案：A 二、填空题5．圆内接四边形ABCD 中，∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶3，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________，∠D ＝________.解析：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ∶∠D ＝1∶3， ∴∠B ＝45°，∠D ＝135°.又∠B ∶∠C ＝1∶2， ∴∠C ＝90°.又∠A ＋∠C ＝180°， ∴∠A ＝90°.答案：90° 45° 90° 135°6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝130°，则∠BCD ＝________.解析：∵∠BOD ＝130°，∴∠A ＝∠BOD 2＝130°2＝65°.∴∠BCD ＝180°－65°＝115°. 答案：115°7．如图，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______，BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.又∵CD 平分∠ACB ， 即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD .∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 28．若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，∴这两条直线垂直，即(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.∴a2＝1，∴a＝±1.答案：±1三、解答题9．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足．求证：E，B，C，F四点共圆．证明：如图，连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆．10．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分∠DEF.证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知，B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.11．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ， ∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB .∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝2 3 cm. ∴AD ＝2AC ＝4 3 cm.。

§1.2.（1、2）极坐标及其与直角坐标的关系学习目标1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式，即极坐标。

2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置，在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。

学习过程【任务一】问题分析问题1：一艘军舰在海面上巡逻，发现附近水域里有一片水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题2：思考解决上述问题的关键因素是什么？【任务二】新知理解1.极坐标系：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条 ，一个 及计算 的正方向（通常 ），合称为一个 。

2.在下图极坐标系中，O 点称为 ，Ox 称为 。

3.图中点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 。

【任务三】典型例题分析例1：在同一个极坐标系中，画出以下点：)62(π，A )66(π-，B )321(π，C )4(π，D )05(，E )4(π-，F注意：1.一般限定0≥ρ。

特别地：⎩⎨⎧<=,00ρρ， 2.与直角坐标不同，给定点的极坐标),(θρ，唯一确定平面上点，但是平面上点的极坐标并不唯一，比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应？例2：建立极坐标系描出点)22()63(ππ，，，B A ，分别求点A 关于极轴，直线OB ，极点的对称点的极坐标。

小结：点),(θρ关于极轴的对称点是 ，关于某直线的对称点是 ，关于极点的对称点是 。

思考：极坐标系中，ρ恒为1的点的集合构成什么样的曲线？θ恒为4π的点呢？ 【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系如图，在平面上取定一个极坐标系，一极轴作为直角坐标系的x 轴的正半轴，以2πθ=的射线作为y1.用θρ，表示y x ,。

2.用y x ,表示θρtan ，。

例3：把点M 的极坐标)65,3(π化为直角坐标形式。

例4：把点M 的直角坐标)1,1(-化为极坐标形式（限定πθπρ≤<-≥，0）【任务五】课后作业教材P10习题1-2，附纸交。

圆内接四边形学习目标1.知道什么是圆内接多边形和多边形的外接圆。

2.理解圆内接四边形的性质．3.会利用圆内接四边形的性质进行简单计算和证明。

第一课时一 、新知1、四边形ABCD 的各顶点都在⊙O 上,所以四边形ABCD 是⊙O 的_________四边形, ⊙O 叫四边形ABCD 的_________圆.2、圆内接四边形的性质定理1 圆的内接四边形的对角______．推论: 圆内接四边形的外角等于它的内角的______．例题讲解 例1 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝110°，若点E 在⌒AD 上，求∠E 的度数．例2 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠DAE 是四边形ABC D 的一个外角．∠DAE 与∠DAC 相等吗？为什么？O DA BC O ED C B A练一练：1、四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______BAD=_ 2、四边形AB CD 内接于⊙O ，∠BOD=1000，则∠____，∠BCD=______(图2)3、梯形ABC D 内接于⊙O,AD ∥BC, ∠B=750,则∠C=_____(图3)4、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A:∠C=1: 3，则∠A=_____,5、圆内接平行四边形必为( )A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形6、、在⊙O 中，∠CBD=30°, ∠BDC=20°,求∠A达标练习：1、已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B=30°，则∠D= ．2、已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD= 度．3、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是AB 上两点，∠ADC=120°，则∠BAC 的度数是 度．4、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD=110°，则∠BOD= 度．5、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为6、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C=36°，则∠A 的度数为1题图 3题图 2题图 1题图 3题图 4题图5题图6题图7题图8、圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D 等于9、如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为10、已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：（1）四边形EFDC是平行四边形；（2）弧CE = 弧DF。

四弦切角的性质1.通过对弦切角定理的探究，体会分类思想、特殊化思想和化归思想在数学中的作用.2.理解弦切角定理，能应用定理证明相关的几何问题．1．在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？答案前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？答案在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．3．如下图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？答案不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角．1．弦切角的概念定义：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图所示，∠ACD和∠BCD都是弦切角．2．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．与弦切角定理有关的结论(1)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．(2)弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半．(3)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.要点一利用弦切角解决与角有关的问题例1如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE垂足为D，求证：AC平分∠BAD.证明连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠DAC＝90°.又∵AC是弦，且直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B.∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.规律方法(1)利用弦切角解决与角有关问题的步骤：①根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；②利用弦切角定理找出与其相等的角；③综合运用相关的知识进行角的求解．(2)要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用．跟踪演练1如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C.求证：∠ATC＝∠TBC.证明∵CT切⊙O于T，∴∠DTA＝∠ABT，∵∠ATC＋∠DTA＝180°，∠TBC＋∠ABT＝180°.∴∠ATC＝∠TBC.要点二利用弦切角解决与长度有关的问题例2 如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB 交CD 于E ，求证：AC 2＝AE ·AB . 证明 连接BC ，⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AEAC⇒AC 2＝AB ·AE .规律方法 (1)此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角形相似证比例中项，这种类型的题较常见．(2)证明线段相等，借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识，我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等． 跟踪演练2 已知P A 是圆O (O 为圆心)的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，AC ＝3，∠P AB ＝30°，则线段PB 的长为________． 答案 1解析 连接OA ，又P A 为⊙O 切线， ∴∠OAP ＝90°，∠C ＝∠P AB ＝30°， ∴∠OBA ＝∠OAB ＝60°， ∴∠P ＝∠P AB ＝30°，∴PB ＝AB ， 又AC ＝3，BC 为⊙O 直径， ∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1，∴PB ＝1. 要点三 弦切角的综合应用例3 如图所示，CF 是⊙O 的直径，CB 是⊙O 的弦，CB 的延长线与过点F 的⊙O 的切线交于点P .(1)如图①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；(2)如图②，如果E是BC上的一点，且满足PE2＝PB·PC，连接FE并延长交⊙O于点A，求证：点A是BC的中点．(1)解∵PF是切线，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半径为5.(2)证明如图所示，连接FB.∵FP是⊙O的切线，∴∠PFB＝∠FCB.又∵∠P＝∠P，∴△PBF∽△PFC，∴PBPF＝PFPC，∴PF2＝PB·PC.又∵PE2＝PB·PC，∴PF2＝PE2，∴PF＝PE，∴∠EFP＝∠FEP.又∵∠EFB＝∠EFP－∠BFP，∠CFE＝∠FEP－∠FCB，∴∠EFB＝∠CFE. ∴点A为弧BC的中点．规律方法(1)弦切角是与圆相关的很重要的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．(3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．跟踪演练3如图所示，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线P A、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.证明连接AB，∵EF是⊙O 1切线，由弦切角定理知，∠FP A＝∠PBA，又在⊙O2中，四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠C＝∠ABP，∴∠FP A＝∠C，∴EF∥CD.例4 如图，已知圆上的AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明： (1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ·CD .规律方法 本题主要考查圆内接四边形、圆的切线、圆周角、弦切角、三角形相似、弦之间的关系，题目难易适中，重在考查对平面几何中基本知识的掌握． 跟踪演练4 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与圆O ′相切于点A ，得∠CAB ＝∠ADB ；同理，∠ACB ＝∠DAB ，从而△ACB ∽△DAB ，所以AC AD ＝ABBD ⇒AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与圆O 相切于点A ，得∠AED ＝∠BAD ； 又∠ADE ＝∠BDA ，从而△EAD ∽△ABD . 所以AE AB ＝ADBD ⇒AE ·BD ＝AD ·AB .又由(1)知，AC ·BD ＝AD ·AB ，所以AC ·BD ＝AE ·BD ⇒AC ＝AE .1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F .已知∠B ＝50°，∠C＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( ) A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°答案 B解析 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°.2．如图，AB 是⊙O 直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 连接OC ，BC ， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∴∠A ＝∠P ＝∠ACO ＝13(180°－90°)＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OB ＝BC ， ∵∠PCB ＝∠A ，∴∠PCB ＝∠P ， ∴BC ＝PB ＝1，∴OB ＝1.3．如图所示，AD 切⊙O 于点F ，FB ，FC 为⊙O 的两弦，请列出图中所有的弦切角_____________．答案 ∠AFB 、∠AFC 、∠DFC 、∠DFB解析 弦切角的三要素：(1)顶点在圆上，(2)一边与圆相交，(3)一边与圆相切．三要素缺一不可．4．如图所示，已知AB与⊙O相切于点M，且MC＝MD，且MC、MD的长为圆周长的四分之一，则∠AMC＝______，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝______.答案45°135°45°90°解析弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对的圆心角度数的一半．1．弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的(夹在弦切角内部的)一条弧．如图所示，弦切角∠BCD所夹的弧是CD，弦切角∠ACD所夹的弧是CMD.2．弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况(如图所示)进行证明．(1)圆心在弦切角∠BAC一边上；(如图a)(2)圆心在弦切角∠BAC外部；(如图b)(3)圆心在弦切角∠BAC内部．(如图c)3．圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别圆心角圆周角弦切角图形顶点位置在圆心O 在圆周上在圆周上两边与圆的关系两边都和圆相交两边都和圆相交一边和圆相切，一边和圆相交4.在圆中有许多相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系．因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的．。

人教版高中选修4-1二圆内接四边形的性质与判定定理课程设计1. 课程背景二圆内接四边形是高中数学中的一个重要概念，它具有特殊的性质和判定定理。

本课程旨在通过探究二圆内接四边形的性质和判定定理，加深学生对几何学中基本概念和定理的理解和认识，提高学生的数学素养和解决问题的能力。

2. 教学目标本课程的教学目标是：1.了解二圆内接四边形的定义和性质，掌握其特殊性质。

2.掌握二圆内接四边形的判定定理，能够准确应用于实际问题中。

3.培养学生的空间想象和数学推理能力，加强其解决几何问题的能力。

3. 教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个方面：3.1 二圆内接四边形的定义和性质3.1.1 定义二圆内接四边形是指一个四边形恰好可以内切于两个不相交的圆上，并且这两个圆恰好内含于这个四边形的两对对边之间。

3.1.2 性质1.二圆内接四边形的对角线互相垂直。

2.二圆内接四边形的对角线相等。

3.二圆内接四边形的任意两对对边之和相等。

4.二圆内接四边形的对边互相平行。

3.2 二圆内接四边形的判定定理3.2.1 判定定理 1给定一个四边形，若其对角线互相垂直，则该四边形是二圆内接四边形。

3.2.2 判定定理 2给定一个四边形，若其对角线相等，则该四边形是二圆内接四边形。

3.3 二圆内接四边形的应用通过数学实例，让学生掌握二圆内接四边形在实际问题中的应用，如：1.圆心角、圆周角、弦长、切线、割线、正多边形等。

2.平面内任意四个不共线的点能组成二圆内接四边形的判定等。

4. 教学方式本课程采用多种教学方式，包括：1.讲授法：通过讲解原理和推导公式，让学生理解和掌握二圆内接四边形的定义、性质和判定定理。

2.演示法：通过实际演示和实验操作，帮助学生了解二圆内接四边形的特殊性质。

3.案例分析法：通过分析实际问题的解决过程，加深学生对二圆内接四边形的理解，提高其解决几何问题的能力。

4.互动式教学：通过小组合作和讨论，促进学生之间的交流和合作，加深对课程内容的理解。

二圆内接四边形的性质与判定定理1.理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题.2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．答案(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．1．圆内接多边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．(2)如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．3．圆内接四边形的判定定理(1)圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)圆内接四边形的判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.要点一用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题例1如图，在⊙O中，AC＝AB，E是弦BC延长线上的一点，AE交⊙O于点D.求证：AC2＝AD·AE.证明如图，连接DC，AB.∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B.又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EDC＝∠B，∴∠ACB＝∠EDC.∴∠ADC＝∠ACE.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACE，∴ACAE＝ADAC，∴AC2＝AD·AE.规律方法要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含AC、AD、AE的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等．跟踪演练1如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC＝P A·BC.证明如图，连接BD.∵DP∥AC，∴∠PDA＝∠DAC.∵∠DAC＝∠DBC，∴∠PDA＝∠DBC.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP＝∠DCB.∴△P AD∽△DCB.得P A∶DC＝AD∶BC，即AD·DC＝P A·BC.要点二利用圆内接四边形的性质定理求角例2如图，已知：AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两弦，且DE⊥AB，延长AC、ED相交于F，求证：∠FCD＝∠ACE.证明连接AE.∵∠FCD是四边形ACDE的外角，∴∠FCD＝∠AED，又AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，∴AD＝AE，∴∠AED＝∠ACE，∴∠FCD＝∠ACE.规律方法利用圆内接四边形的性质定理求角(1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角；(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角．(3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明．跟踪演练2如图所示，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD.∠BAD＝72°，求四边形其余的各角．解∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°.又∵AC平分BD，并且AC⊥BD，∴AC是四边形ABCD外接圆的直径．∴∠ABC＝∠ADC＝90°.要点三利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题例3如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．规律方法判断四点共圆的步骤：(1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四点与这一定点的关系；(3)判断四边形的一对对角的和是否为180°；(4)判断四边形一外角与其内对角是否相等；(5)下结论．跟踪演练3已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC 分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．证明连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．要点四综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决问题例4已知CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆．证明连接PQ，在四边形QFPC中，因为PF⊥BC，FQ⊥AC，所以∠FQA＝∠FPC＝90°.所以Q、F、P、C四点共圆．所以∠QFC＝∠QPC.又因为CF⊥AB，所以∠QFC与∠QF A互余．而∠A与∠QF A也互余，所以∠A＝∠QFC.所以∠A＝∠QPC.所以A、B、P、Q四点共圆．规律方法判断四点共圆的常用方法有(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．跟踪演练4如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.1．圆内接平行四边形一定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形答案 D解析由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．2．若BE和CF是△ABC的边AC和AB边上的高，则________四点共圆．答案B、C、E、F解析由∠BEC＝∠BFC＝90°，知△BCE和△BCF共圆．3．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．证明如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，又AC＝DB，∴OA＝OC＝OB＝OD.则点A、B、C、D到点O的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．4．如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D.求证：DB＝DC.证明∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD，由题意知A，B，C，D四点共圆，∴∠EAD＝∠BCD，又∵∠CAD＝∠CBD.∴∠DBC＝∠DCB.∴DB＝DC.1.对圆内接四边形的理解(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}．(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等．2．判断四点共圆的基本方法(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．。

圆内接四边形教案教学目标：1.理解圆内接四边形的定义和性质；2.能够画出给定圆内接四边形的示意图；3.掌握计算圆内接四边形的周长和面积的方法；4.能够解决与圆内接四边形相关的实际问题。

教学重点：1.理解圆内接四边形的性质和特点；2.掌握计算圆内接四边形的周长和面积的方法。

教学过程：一、导入（5分钟）1.引入圆的定义和性质，回顾学生对圆的基本概念的了解。

2.引入关于圆内接四边形的问题：同学有一个球，他想用线围绕球上下结合成一个长方形，但条件是线必须紧贴球面，不可松弛。

请问，这样的长方形是否可能存在？为什么？引导学生思考并讨论，引出圆内接四边形。

二、概念讲解（15分钟）1.定义：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点分别位于一个圆的圆周上的四个点。

2.性质：a.圆内接四边形的对角线互相垂直。

b.圆内接四边形的两对对角线互相平分。

c.圆内接四边形的对边和相等。

d.圆内接四边形的外接圆的半径等于其对角线的一半。

三、练习与讨论（20分钟）1.几何证明：对于一个圆内接四边形，如果将其内切圆的半径连接到四边形的中点的连线相交于一点，那么这个相交点到四边形的四个顶点的距离相等。

a.提示学生将这个圆内接四边形看作一个长方形b.让学生自己尝试并讨论，进行推理和证明。

2.计算圆内接四边形的周长和面积：a.周长：C=2πr，其中r为外接圆的半径。

b.面积：S=r²，其中r为外接圆的半径。

四、解决实际问题（20分钟）1.示例问题1：一个正方形纸片剪成一个圆内接四边形，该四边形的面积是多少？让学生根据所学知识解决这个问题，并进行讨论和交流。

2.示例问题2：用线围绕一个半径为5厘米的圆球，形成一个圆内接四边形，这个四边形的周长是多少？让学生使用所学的计算方法来求解这个问题，并进行讨论和交流。

五、归纳总结（10分钟）1.总结圆内接四边形的定义、性质和计算方法。

2.强调圆内接四边形在几何运用中的重要性。

六、拓展练习（10分钟）1.练习题：根据所学知识，完成若干道关于圆内接四边形的练习题，检测学生的理解和掌握程度。

圆的内接四边形数学教案
标题：圆的内接四边形数学教案
一、教学目标
1. 理解并掌握圆的内接四边形的概念。

2. 掌握圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

3. 培养学生的空间想象能力，提升对几何图形的理解。

二、教学重点与难点
重点：圆的内接四边形的定义及性质
难点：如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题
三、教学过程
1. 导入新课：
通过回顾圆的相关知识（如半径、直径等），引出圆的内接四边形的概念。

2. 新课讲解：
(1) 定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形就叫做圆的内接四边形。

(2) 性质：
a. 圆的内接四边形的对角互补。

b. 圆的内接四边形的任意两边之积等于其它两边之积。

c. 圆的内接四边形的外接圆直径必过对角线的交点。

3. 实例解析：
分析一些具体的实例，让学生理解和掌握如何应用上述性质解决问题。

4. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生自己动手解答，以检验他们是否真正理解了所学的内容。

5. 小结：
回顾本节课的主要内容，强调圆的内接四边形的性质及其应用。

6. 作业布置：
设计一些相关的作业题，让学生在课后继续巩固所学的知识。

四、教学评价
通过对学生课堂参与度、回答问题情况以及作业完成情况进行评价，了解学生对圆的内接四边形概念和性质的理解程度。

五、教学反思
在教学结束后，对整个教学过程进行反思，找出教学中的优点和不足，以便于改进今后的教学。

圆的内接四边形的性质与判定教学设计一、教材分析《圆内接四边形的性质与判定定理》是人教B版选修4-1几何证明选讲的内容，几何证明是培养学生逻辑推理能力和综合运用数学知识和思想方法解决几何问题的最好载体，几何证明的过程包含着大量的直观想象，探究和发现问题的因素，对培养学生的创新意识和发散思维有很大的帮助；本节课通过对圆内接四边形的性质和判定定理的进一步学习，使学生能灵活运用定理证明四点共圆问题和有关角的问题.二、学情分析本节课的内容是在学生初中对平面几何知识有了一定的了解和进一步学习了圆周角定理的基础上进行的，学生有一定的基础，但是学生对综合运用数学知识和思想方法解决问题的能力比较欠缺，有待于进一步的培养.三、教学目标知识与技能：了解圆内接多边形的概念；理解并掌握圆内接四边形的性质定理和判定定理及推论，能够用性质定理和判定定理解决相关的几何问题.过程与方法：学习并掌握圆内接四边形的性质与判定定理的推导过程，应用性质定理和判定定理解决相关的几何问题，使学生领会“分类讨论”和“反证法”这两种数学思想在几何证明中的作用，培养学生的逆向思维、发散思维和严谨的逻辑思维.情感态度与价值观：培养学生的逆向思维、逻辑推理能力和综合运用数学知识和思想方法解决问题的能力，提高学生学习数学的积极性.四、教学重点与难点重点：掌握圆内接四边形的性质与判定定理的证明过程.难点：综合运用数学知识和思想方法解决圆内接四边形的相关问题.五、教学过程（一）复习回顾问题一：我们前面学过的圆周角定理、推论1、推论2及推论3的内容什么？圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.推论1：直径(或半圆)所对的圆周角是直角.推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论3：等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径.设计意图：通过对圆周角定理相关知识的复习，激发学生的求知欲；对后面利用圆周角定理的知识证明圆内接四边形的性质做好铺垫.（二）新知探究1.基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．设计意图：让学生了解圆内接多边形的概念.2.创设研究情境探究一：如右图，四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．试讨论四边形ABCD具有什么样的性质？并证明你的结论.设计意图：通过图形使学生直观的感受圆内接四边形，并能通过小组讨论来探究圆内接四边形的性质；培养学生解决问题的能力及合作意识.让学生自己上去证明得到的结论，培养学生对数学的兴趣和学好数学的信心.性质定理：圆内接四边形的对角互补；并且任何一个外角都等于它的内对角.（证明过程由学生完成）3.性质定理的应用（典例剖析）思考：圆内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？（由学生课后证明）设计意图：通过思考、例1的设置使学生能进一步掌握圆内接四边形的性质定理，并能灵活运用性质定理解决与圆内接四边形性质有关的数学问题.4.圆内接四边形判定定理的探究探究二：我们知道，任意三角形都有外接圆.那么，任意正方形有外接圆吗？为什么？任意矩形是否有外接圆？一般地，任意四边形都有外接圆吗？设计意图：让学生理解正方形、长方形都有外接圆（因为它们的对角线交点到四个顶点的距离相等），而对于一般地四边形是否有外接圆学生比较模糊，这时通过坐标法的思想使学生明白一般地四边形不一定有外接圆，进一步引导学生考虑圆内接四边形性质定理的逆命题.结论：平面内，若OA=OB=OC=OD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆. 性质定理的逆命题：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.已知：四边形ABCD 中，∠B+∠D=180° 求证：A,B,C,D 在同一圆周上（简称四点共圆）.分析：不共线的三点确定一个圆，不妨设经过A 、B 、C 三点可以做一个圆O,如果能由条件得出圆O 过点D ，那么就证明了上述命题..//..,.,1212121DF CE F O E O EF B D O C O CD A B A O O 求证：交于点，与圆于点交与圆的直线经过点交于点与圆交于点与圆的直线经过点两点都经过与圆：如图，圆例DFCE F E F BAD O ADFB EBAD O ABEC AB //.180.180.21∴=∠+∠∴=∠+∠∴∠=∠∴︒︒的内接四边形，是圆四边形又的内接四边形，是圆四边形证明：连接显然，点D 与圆有且只有三种位置关系： (1) 点D 在圆外. (2) 点D 在圆内. (3) 点D 在圆上.设计意图：引导学生将文字语言叙述的命题转化成数学符号语言和图形语言进行证明，通过分析让学生自己证明，使学生理解反证法和穷举法的思想；通过两种不同的证明过程来培养学生严谨的逻辑思维和发散思维.判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.（证明过程学生完成） 推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆. 5.判定定理的应用（典例剖析）例2：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆...180...90,90,...90,.四点共圆、、、即又四点共圆、、、，中，在四边形证明：连接Q P B A QPB A QPC A QFC A QFA A QFA QFC AB CF QPC QFC C P F Q FPC FQC AC FQ BC FP QFPC PQ ∴=∠+∠∠=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴⊥∠=∠∴∴=∠=∠∴⊥⊥︒︒︒︒ ....180,.180...有公共的外接圆和即四点共圆、、、，只有一个圆，即圆、、过不共线的三点四点共圆、、、又四点共圆，、、、的两侧在与使，上取点的弧，在圆的外接圆证明：作有公共的外接圆与求证：同侧，在，已知：如右图，ABD ABC D C B A O B E A D B E A AEB ADB ADBACB AEB ACB C B E A AB C E E AB O O ABC ABD ABC D C AB D C ∆∆∴∴︒=∠+∠∴∠=∠︒=∠+∠∴∆∆∆∠=∠∠∠ ..,四点共圆、、、求证：边上的高，的是如图，变式训练：Q P B A AC FQ BC FP AB ABC CF ⊥⊥∆设计意图：进一步培养学生将文字语言叙述的命题转化为数学符号语言和图形语言的能力；巩固圆内接四边形的性质定理和判定定理.6.课堂小结问题二：通过这节课的学习，你获得了什么？设计意图：通过提问培养学生的问题意识，检验这节课学生在知识和思想方法上的掌握情况，以便课后有针对性的进行辅导.知识方面：1、圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补；并且任何一个外角都等于它的内对角.2、四点共圆的条件（1）圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（3）结论：平面内，若OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆.（4）结论：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.思想方法：（1）反证法（正难则反）（2）穷举法7.课后反思。