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教育学科教师辅导讲义BE+ EQ =6+t，所以S=初始状态时，t为0，所以t≥0．因为点的取值范围，便可以用列表方式列出自变量用作二次函数图象的方法描点连线即可，因自变量t的取值范围是根据二次函数的性质和自变量的取值范围作答即可，．知识点二：二次函数表达式的三种形式二次函数的表达式可以用三种不同形式表达．一般式：把函数bx ax y ++=2三点时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于解：由图象及轴对称性可知，所求抛物线经过点解法一：设所求抛物线的表达式为⎪⎪⎨⎧=+-=.0,3c b a c 解得分析：(1)直线34-=y ．则y =0，与y 轴交于点因为点B 的坐标为（-1，0），所以可设二次函数的表达式为ax y =数的表达式；(2)由于四边形是一个不规则的四边形，因此可考虑过点四边形AOCM 的面积转化为求规则图形面积，即梯形DOAM 和直角三角形解：(1)对于34+-=x y 0434=+-x 时，解得(1)按要求填表：n 1(4)观察所描各点，它们可能在一条抛物线上，设其表达式为.2c bn an S ++=将表中前三组数据代人，得⎪⎨⎧=++=++,324,1c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎨⎧ 解答下列问题：(1)填表：(4)由图可猜测y 是n 的二次函数．设函数的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,739,324,1c b a c b a c b a解得⎪⎩⎪⎨⎧c b a(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润(3)在保证盈利的条件下，每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴=-a b 212=⨯-b∴c =-3,∵抛物线的函数表达式为.322--=x x y(2)抛物线与x 轴交于A ．两点，当y =0时，-2x 32-x ∴A （一1，0）、B (3，0)．设过点B (3，0)、c (0，-3)的直线的函数表达式为⎩⎨⎧=-+=,3,30m m k ,3-=∴m 直线BC 的函数表达式为,43,4∴==PQ AB PQ AB ①∵PQ ⊥y 轴．∴PQ ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点∴F 的坐标为=∴-),47,0(FC ∵点D 在直线BC 上，∴当x =1解：(1)由于抛物线的对称轴是其函数表达式为(x a y =把A ，B 两点坐标代人上式，得二、 方法技巧总结1.根据条件选择适当的方法确定二次函数的表达式．(1)一般式：把函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）叫做二次函数的一般式，当已知抛物线上任意三点时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组求解．(2)顶点式：把函数2)(h x a y -=+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）叫做二次函数的顶点式．当已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）和抛物线上另一点的坐标时，通常设其函数表达式为顶点式，然后代入另一点坐标，解关于3．（浙江义乌）已知抛物线221-=x y ，直线22=x y ，当x 任取一值时，若21y y =/，取y 中的较小值记为；若21y y =，记⋅=21y y M 例如：当M =0.下列判断：6．已知二次函数)0(2=/++=a c bx ax y ，当这个二次函数的表达式．7．某次实验中，测得两个变量v 和m 的对应数据如下表，则m 1v2.01 9．已知二次函数的图象经过原点及点的表达式为10.有这样一道题目：“已知：二次函数，x x y +=⋅29或x x y 31312+-=提示：当另一个交点为（-1，0）时，设表达式为⎧=-,0b a ⎧=,1a。
数学九年级下北师大版2,5用三种方式表示二次函数教案学习目标:经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．学习重点:能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．学习难点:用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．学习方法:讨论式学习法。
学习过程:一、做一做：ycm2，已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.二、试一试：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?三、积累：【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）【例5】美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？。
数学初三下北师大版2.5二次函数的三种表示方式导学案+练习主备人：钟付强审核人：钟付强【学习目标】通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，体会三种方式之间的联系与不同特点，灵活掌握用三种方法表示二次函数，能够依照二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
【重点】灵活掌握用三种方法表示二次函数，能够依照二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
【难点】三种方法表示二次函数的优缺点。
【课前预习】1、函数的三种表示方法：_______________、________________、_________________。
2、矩形周长为20cm ，并设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2y 随x 的变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？ 〔1〕用函数表达式表示：y=__________________.〔2〕用表格表示： 〔3〕用图象法表示：〔在右边的格画出图象〕 回答以下问题： ①自变量x 的取值范围是____________. ②当x=_______时,长方形的面积最大，它的最大面积是_______. ③y 随x 的变化而变化的情况:______________________________________________.【新课学习和探究】想一想：二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系?【例】如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG的顶点位于△ABC 的边上。
设EF=x ，y S DEFG 。
〔1〕求出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围。
〔2〕函数图象的顶点坐标为___________，对称轴为___________.〔3〕当x________时，y 有最_____值_______。
【巩固练习】12x 、y 的部分对应值，_________，函数有最_____值______。
2、如图，是一学生推铅球时铅球运动高度y(m)与水平距离x(m)之间关系的图象，当x>1时，y 随x 的增大而()。
2.5用三种方式表示二次函数知识点一：用三种方式表示二次函数1.解析法：两个变量之间的函数关系式用一个含有这两个变量及数学符号的等式表示。
2.列表法：又叫表格法，把自变量X 的一系列值和函数Y 的对应值列成一个表来表示函数关系。
3.图像法：用图像表示函数关系。
【例1】已知两个数的和为8，设其中一个数为X ，它们的积用Y 表示。
请问： （1）用三种方法分别表示X ，Y 的函数关系 （2）自变量和因变量的取值范围分别是多少？ （3）图像的对称轴和顶点坐标分别是多少？ 分析：根据题意列出等式，转化成函数形式练习：1.二次函数的三种表达式是表格， ， 。
2.两个数的差为3，若其中较大的数为X ，则它们的积Y 与X 的函数表达式是 ，它有最 值，即当=x ，=y3.已知圆的半径为R ，圆的面积为S ，（1）用函数表达式表示=S4.已知正方形的周长为Ccm.,面积为2Scm 则S 与C 之间的函数关系式为（ ） A 、)0(1612>=C C S B 、2161C S = C 、)0(162>=C C SD 、216C S = 5.小华要送给同学生日礼物，他给这位同学买了一只杯子，为了美观，小华准备包装杯子的盒子（是个长方体）.已知盒子的长和宽相等，高是长是3倍，则包好后，重叠部分不计，外层包装纸的面积是（）A 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有214x y = B 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有212x y =C 、设高为x ，则长和宽为3x ，表面积为232x y = D 、设高为x ，则长和宽为3x，表面积为22x y =6．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器是的价约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A B 、)1(602x y -= C 、260x y -= D 、2)1(60x y +=7.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与X 轴的交点的横坐标分别是1,2.写出符合下列结论的X 的取值范围：（1）当0<y 时，X 的取值范围是（2）当0=y 时，X 的取值范围是 ；（3）当0>y 时，X 的取值范围是 8.长方形的周长为18cm ，长为X 。
5. 用三种方式表示二次函数教学目标知识与技能1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础教学过程第一环节解决问题(25分钟)1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.3．问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?（2）自变量x的取值范围是什么?（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？通过实例，进一步帮助学生明晰二次函数的三种表示方法，为后面的讨论做铺垫。
这个问题与前一问题相比，会留给学生更多的时间用于自我探索和练习。
第二环节总结归纳(15分钟)1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.缺点对函数的总体概括和形象化的表达.2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。
第十二课时§2.5 用三种方式表示二次函数●教学目标1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．●教学重点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．●教学难点能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．●教学方法讨论式学习法．●教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?Ⅱ．新课讲解一、试一试长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗?(1)用函数表达式表示：y= .(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么?(2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描述一下y随x的变化而变化的情况．三、做一做两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗?1．用函数表达式表示：y＝.3．用图象表示：4．根据以上三种表示方式问答下列问题：(1)白变量x的取值范围是什么?(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?(3)如何描述y随x的变化而变化的情况?(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的?四、议一议二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?Ⅲ、课堂练习1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n 的关系是什么?Ⅳ．课时小结本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．Ⅴ．课后作业习题2.6。
