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第45课一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.【答案】331x x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为33|1-133x x⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.2.(必修5P80习题11改编)不等式-13xx+<0的解集为.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，则a=，b=.【答案】-1127124.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.【答案】[20，45]【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值X围是.【答案】(-∞，2∪2【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>2或k<-2.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1=x2=-b2a无实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}bx|x-2a⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式--x ax b<0(a<b)的解集为{x|a<x<b}.分式不等式--x ax b >0(a<b)的解集为{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的条件是0 a>⎧⎨∆<⎩，.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的条件是a<⎧⎨∆<⎩，.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1 解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)1xx+≤3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有1xx+-3≤0，通分得-21xx+≤0，即2-1xx≥0，又2-1xx≥0等价于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0对应方程的根为x1=0，x2=12，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x≥12或x<0.【解答】(1)原不等式转化为6x 2+5x -1>0，方程6x 2+5x -1=0的解为x 1=16，x 2=-1.根据y =6x 2+5x -1的图象，可得原不等式的解集为1|-16x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. (2)原不等式变形为1x x +-3≤0，即2-1x x ≥0，所以原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为--x ax b <0(a <b )或者--x ax b >0(a <b )的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成001313x x x x x x ><⎧⎧⎨⎨+≤+≥⎩⎩，，或者，再分别求解.变式1 解下列关于x 的不等式. (1)x -3x >-2；(2)x 2-(a 2+a )x +a 3<0(a >0). 【解答】(1)解不等式x -3x >-2，可得x >2或x <1.由x >2，得x >4；由x <1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}.(2)原不等式转化为(x -a )(x -a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a 2=a ，即a =1时，不等式的解集为∅.变式2 已知关于x 的不等式(1)-3-1a x x +<1. (1)当a =1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为2-3-1xx<1，化为-2-1xx<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}.(2)由(1)-3-1a xx+<1，得-2-1axx<0，即(ax-2)(x-1)<0.当2a=1，即a=2时，解集为∅；当2a>1，即0<a<2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当2a<1，即a>2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为{x|x<2a或x>1}.三个“二次”的关系例2 已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m 的解集为(n，n+10)，某某数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=28b，因为不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+28b<m，即2x2+bx+28b-m<0的解集为(n，n+10)，设方程2x 2+bx +28b -m =0的两根为x 1，x 2， 则x 1+x 2=-2b，x 1x 2=216b -2m ，所以|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=22--4-2162b b m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2m=10，解得m =50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)若x 1，x 2为ax 2+bx +c =0(a ≠0)两根，则|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=2--4b c a a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2-4||b aca =||a ∆.变式(2015·某某期末)若不等式x 2-ax -b <0 的解集为(2，3). (1)某某数a ，b 的值；(2)求不等式bx 2-ax -1>0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x 2-ax -b <0的解集是{x |2<x <3}. 所以2和3是方程x 2-ax -b =0的两个根，由韦达定理得2323-a b +=⎧⎨⨯=⎩，，解得5-6.a b =⎧⎨=⎩，(2)不等式bx 2-ax -1>0， 即为-6x 2-5x -1>0，不等式-6x 2-5x -1>0可化为6x 2+5x +1<0， 即(2x +1)(3x +1)<0，解得-12<x <-13，所以所求不等式的解集为{x 11--}23x <<.例3(1)已知方程x 2+ax +2=0的两根都小于-1，某某数a 的取值X 围；(2)若α，β是方程x2+(2m -1)x+4-2m=0的两个根，且α<2<β，某某数m的取值X围. 【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1)--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，；(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，，所以22≤a<3，即实数a的取值X围是[22，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即实数m的取值X围是(-∞，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4 如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值X围为.【答案】[0，4]【解析】当a=0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2-ax+1≥0恒成立，得2-40aa a>⎧⎨∆=≤⎩，，解得0<a≤4.综上，实数a的取值X围为[0，4].变式已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，某某数m的取值X围.【解答】令t=3x(t>1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在x轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或12(1)1-10mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=++≥⎪⎩，，，解得m<2+22.即实数m的取值X围是(-∞，2+22).1.(2015·某某卷)不等式2-2x x<4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x<2⇒-1<x<2，故解集为(-1，2).2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集为.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|-3<x<-2}.3.(2014·某某期末)已知函数f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，若f(f(-2))>f(k)，则实数k的取值X围为.【答案】(lo12g9，4)【解析】由题设知f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)<9，即192kk<⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，或2(-1)9kk≥⎧⎨<⎩，，解得k∈(lo12g9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值X围是.【答案】23 77⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】当a≤0时，不等式ax2+x-2a<0的解集中有无数个整数解，因此a>0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，则f(1)=1-a<0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假设错误，故0<a≤1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以实数a的取值X围是2377⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.5.(2015·某某二模)已知函数y=2-2x x a+的定义域为R，值域为[0，+∞)，则实数a的取值集合为.【答案】{1}【解析】由定义域为R，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域为[0，+∞)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ=4-4a=0，则a=1，所以实数a的取值集合为{1}.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第89~90页.【检测与评估】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)一、填空题1.(2015·某某卷)不等式-x 2-3x +4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式2-1xx <0的解集为.3.(2015·某某期末)已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2}，则实数a +b =.4.(2014·苏北五市模拟)已知集合A={x ||x -a |≤1}，B={x |x 2-5x +4≥0}.若A∩B=∅，则实数a的取值X 围是.5.若关于x 的不等式ax 2-|x |+2a <0的解集为空集，则实数a 的取值X 围是.6.若一元二次不等式ax 2-ax +b <0的解集为(m ，m +1)，则实数b =.7.对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2+ax >4x +a -3恒成立的x 的取值X 围是.8.(2014·某某期末)已知函数f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，，那么不等式f (x 2-x +1)<12的解集为.二、解答题9.设命题p ：实数x 满足(x -4a )(x -a )<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2-4x +3≤0. (1)若a =1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； (2)若p 是q 成立的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R 元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R 万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定?11.(2015·某某期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，某某数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，某某数a的取值X围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值X围是.13.(2015·某某三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4，1).2.1 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得-12-2-12baa⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，，解得-11ab=⎧⎨=⎩，，所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因为A∩B=∅，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.4∞⎫+⎪⎪⎣⎭【解析】当x=0时，不等式变为2a<0，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥0；当x ≠0时，不等式可化为a<2||2x x +=11||||x x +，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥max 11||||x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎝⎭，又|x|+1||x11||||x x +≤4，所以a≥4.综上，实数a 的取值X围是∞⎫+⎪⎪⎣⎭.6. 0【解析】由根与系数的关系可知11(1)m m b m m a ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等价于x 2+ax-4x-a+3>0，所以a (x-1)+x 2-4x+3>0，令f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3，则函数f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3表示一条直线，所以要使f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3>0，则有f (0)>0，f (4)>0，即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x 的取值X 围为(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，是奇函数，且在R 上单调递增，f (3)=12，所以原不等式等价于x 2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f (x 2-x+1)<12的解集为(-1，2).9. (1) 由(x-4a )(x-a )<0，a>0，得a<x<4a.当a=1时，1<x<4，即p 为真命题时，实数x 的取值X 围为{x|1<x<4}. 由x 2-4x+3≤0，得1≤x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值X 围为{x|1≤x ≤3}. 若p ∧q 为真，则1<x ≤3，所以实数x的取值X围是(1，3].(2) 设A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B A，所以0143aa<<⎧⎨>⎩，⇒34<a<1，所以实数a的取值X围是314⎛⎫⎪⎝⎭，.10.设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%(万元)，且x=100-10R.由题意知70(100-10R)·R%≥112，化简得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11.因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-1×2=-2a，解得a=1.(2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0，显然成立，②当a≠2时，2-20(-2)-4(-2)0aa a>⎧⎨≤⎩，，得2<a≤6.综上，实数a的取值X围为[2，6].(3) ax2+(a-2)x-2≥0⇔(x+1)(ax-2)≥0.当a=0时，原不等式变形为-2x-2≥0，解得x≤-1；当a≠0时，ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2 a，当a>0时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒x≤-1或x≥2a；当a<-2时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒-1≤x≤2a；当a=-2时，-1=2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇔(x+1)2≤0⇒x=-1；当-2<a<0时，-1>2 a；所以(x+1)(ax-2)≥0⇒2a≤x≤-1，综上可得，①当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}；②当a>0时，原不等式的解集为2|-1x x xa⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；③当-2<a<0时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；④当a=-2时，原不等式的解集为{}|-1x x=；⑤当a<-2时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.12.(-2，3)【解析】因为(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，所以m-m2>-214xx+.设t=12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为x∈(-∞，-1]，所以t≥2，所以m-m2>-t2-t，令g(t)=-t2-t(t≥2)，g(t)=-212t⎛⎫+⎪⎝⎭+14≤-6，所以m-m2>-6，解得-2<m<3.13.(0，1)∪{2}【解析】因为f(x)=(x-1)2+a-1，且f(0)=f(2)=a.当a-1≥-a，即a≥12时，此时恒有[a-1，a]⊆[-a，a]，故t∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a-1<-a，即0<a<12时，此时t∈(0，1)且t2-2t+a≥-a在a∈12⎛⎫⎪⎝⎭，时恒成立，即t≥1不成立，舍去)或t≤10<a<12，故t∈(0，1).综上，g(a)的值域为(0，1)∪{2}.。
一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型命题趋势不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
满分技巧一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c>0或a>0△<02.不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0c<0或a<0△<0【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若f x >0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f x >0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数f x 的值域为m,n，则f x ≥a恒成立⇒f x min≥a，即m ≥a；f x ≤a恒成立⇒f x min≤a，即n≤a.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1.对任意的x∈m,n，a>f x 恒成立⇒a>f x max；若存在x∈m,n，a>f x 有解⇒a>f x min；公众号：高中数学最新试题若对任意x∈m,n，a>f x 无解⇒a≤f x min.2.对任意的x∈m,n，a<f x 恒成立⇒a<f x min；若存在x∈m,n，a<f x 有解⇒a<f x max；若对任意x∈m,n，a<f x 无解⇒a≥f x max.热点题型解读【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)使得不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立的一个充分不必要条件是()A.0<a<2B.0<a≤2C.a<2D.a>-2【答案】A【解析】由不等式x2-ax+1>0对∀x∈R恒成立，得Δ<0，即-a2-4<0，解得-2<a<2， 从选项可知0<a<2是-2<a<2的充分不必要条件，故选：A.【变式1-1】(2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习)已知命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+ 1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(-5,3)C.(5,+∞)D.(-3,5)【答案】D【解析】因为命题“∃x∈R，使4x2+a-1x+1≤0”是假命题，所以，命题“∀x∈R，4x2+a-1x+1>0”是真命题，所以，Δ=(a-1)2-16<0，解得-3<a<5，故实数a的取值范围是(-3,5)．故选：D.【变式1-2】(2023·全国·高三专题练习)若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【答案】m ≤-1或m >0【解析】若命题是真命题：当m =0时，2mx 2+4mx +m -1<0，可化为-1<0，成立；当m ≠0时，m <0Δ=16m 2-8m m -1 <0 ，解得-1<m <0综合得当-1<m ≤0时，关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立是真命题，若命题“关于x 的不等式2mx 2+4mx +m -1<0对一切实数x 恒成立”是假命题则m ≤-1或m >0【变式1-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知关于x 的不等式x +kx-k >0恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【答案】[0,4)【解析】x +kx -k >0，即x -k x +k >0(x >0)，令t =x >0，则t 2-kt +k >0(t >0)恒成立．所以k 2≤002-k ×0+k ≥0或k 2>0Δ=-k 2-4k <0,解得0≤k <4，故实数k 的取值范围是[0,4)．【变式1-4】(2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末)关于x 的不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【答案】a ∣-125<a ≤4 【解析】当a =4时，不等式可化为-1≥0，无解，满足题意；当a =-4时，不等式化为8x -1≥0，解得x ≥18，不符合题意，舍去；当a ≠±4时，要使得不等式a 2-16 x 2-(a -4)x -1≥0的解集为∅，则a 2-16<0,Δ=a -4 2+4a 2-16 <0, 解得-125<a <4．综上，实数a 的取值范围是a ∣-125<a ≤4 ．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】公众号：高中数学最新试题【例2】(2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试)已知不等式-2x 2+bx +c >0的解集x -1<x <3 ，若对任意-1≤x ≤0，不等式-2x 2+bx +c +t ≤4恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】t ≤-2【解析】由题设，b 2=2且-c 2=-3，可得b =4,c =6，所以-2x 2+4x +2+t ≤0在-1≤x ≤0上恒成立，而f (x )=-2x 2+4x +2+t 在(-∞,1)上递增，故只需f (0)=2+t ≤0即可，所以t ≤-2.【变式2-1】(2022秋·山东青岛·高三统考期中)已知关于x 的不等式ax 2+(1-3a )x +2≥0的解集为A ，设B ={-1,1}，B ⊆A ，则实数a 的取值范围为()A.-32≤a ≤14B.-14≤a ≤32C.a ≤-14D.a ≥32【答案】B【解析】由题意，a (x 2-3x )+x +2≥0在B ={-1,1}上恒成立，所以4a +1≥03-2a ≥0，可得-14≤a ≤32.故选：B【变式2-2】(2022秋·河南·高三期末)已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式ax -2 x2+bx -5 ≥0恒成立，则b +4a的最小值为()A.2B.25C.43D.32【答案】B【解析】设y =ax -2(x >0)，y =x 2+bx -5(x >0)，因为a >0，所以当0<x <2a时，y =ax -2<0；当x =2a时，y =ax -2=0；当x >2a时，y =ax -2>0；由不等式(ax -2)x 2+bx -5 ≥0恒成立，得：ax -2≤0x 2+bx -5≤0 或ax -2≥0x 2+bx -5≥0 ，即当0<x ≤2a时，x 2+bx -5≤0恒成立，当x ≥2a时，x 2+bx -5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx -5=0，则4a2+2b a -5=0，即b =5a 2-2a ，则当a>0时，b+4a=5a2-2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，所以b+4a的最小值为2 5.故选：B.【变式2-3】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)已知函数f x =ax2+x+a，不等式f x <5的解集为-3 2，1．(1)求a的值；(2)若f x >mx在x∈0,5上恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)a=2；(2){m|m<5}．【解析】(1)f x =ax2+x+a<5的解集为-3 2，1，即ax2+x+a-5<0的解集为-3 2，1，∴a>0-32+1=-1a-32×1=a-5a，解得a=2；(2)由(Ⅰ)可得f x =2x2+x+2，∵f x >mx在x∈0，5上恒成立，即2x2+1-mx+2>0恒成立，令h x =2x2+1-mx+2，则h x >0在0，5上恒成立，有m-14≤0h0 =2>0或0<m-14≤5m-12-2×2×4<0或m-14>5h5 =52+51-m>0，解得m≤1或1<m<5或m∈∅，综上可得m的范围为{m|m<5}．【变式2-4】(2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习)已知二次函数f x 满足f2 =-1，f-1=-1，且f x 的最大值是8.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)f x >2x+k在区间-3,1上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(1)f x =-4x2+4x+7；(2)k的取值范围为-∞,-35.【解析】(1)由f(2)=f(-1)，得x=2-12=12为二次函数的对称轴，因函数f(x)的最大值为8，所以可设f x =a x-1 22+8 ，公众号：高中数学最新试题又因f (2)=94a +8=-1，所以a =-4，因此f x =-4x 2+4x +7.(2)由(1)不等式f x >2x +k ，可化为-4x 2+4x +7>2x +k ，所以k <-4x 2+2x +7，因为f x >2x +k 在区间-3,1 上恒成立，所以k <-4x 2+2x +7在区间-3,1 上恒成立，故k <-4x 2+2x +7 min ，其中x ∈-3,1 ，又函数y =-4x 2+2x +7=-4x -142+294，又当x =-3时，y =-35，当x =1时，y =5，所以函数y =-4x 2+2x +7在-3,1 上的最小值为-35，所以k <-35，所以k 的取值范围为-∞,-35 .【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(2021·吉林松原·校考三模)若不等式x 2-ax ≥16-3x -4a 对任意a ∈-2,4 成立，则x 的取值范围为()A.-∞,-8 ∪3,+∞B.-∞,0 ∪1,+∞C.-8,6D.0,3【答案】A【解析】由题得不等式(x -4)a -x 2-3x +16≤0对任意a ∈-2,4 成立，所以(x -4)(-2)-x 2-3x +16≤0(x -4)4-x 2-3x +16≤0 ，即-x 2-5x +24≤0-x 2+x ≤0，解之得x ≥3或x ≤-8.故选：A【变式3-1】(2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习)若命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为()A.-1,4B.0,53C.-1,0 ∪53,4D.-1,0 ∪53,4【答案】C【解析】命题“∃a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a <0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a ∈-1,3 ,ax 2-2a -1 x +3-a ≥0”为真命题．令g (a )=ax 2-2ax +x +3-a =(x 2-2x -1)a +x +3≥0，则g (-1)≥0g (3)≥0 ，即-x 2+3x +4≥03x 2-5x ≥0 ，解得-1≤x ≤4x ≥53或x ≤0 ，所以实数x 的取值范围为-1,0 ∪53,4.故选：C 【变式3-2】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知当-1≤a ≤1时，x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是()A.-∞,3B.-∞,1∪ 3,+∞C.-∞,1D.-∞,1 ∪3,+∞【答案】D【解析】x 2+a -4 x +4-2a >0恒成立，即x -2 a +x 2-4x +4>0，对任意得a ∈-1,1 恒成立，令f a =x -2 a +x 2-4x +4，a ∈-1,1 ，当x =2时，f a =0，不符题意，故x ≠2，当x >2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递增，则f a min =f -1 =-x +2+x 2-4x +4>0，解得x >3或x <2(舍去)，当x <2时，函数f a 在a ∈-1,1 上递减，则f a min =f 1 =x -2+x 2-4x +4>0，解得x <1或x >2(舍去)，综上所述，实数x 的取值范围是-∞,1 ∪3,+∞ .故选：D .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)当a ∈2,3 时，不等式ax 2-x +1-a ≤0恒成立，求x 的取值范围．【答案】-12,1 ．【解析】由题意不等式ax 2-x +1-a ≤0对a ∈2,3 恒成立，可设f (a )=(x 2-1)a +(-x +1)，a ∈2,3 ，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需f (2)≤0f (3)≤0，即2x 2-x -1≤03x 2-x -2≤0 ，解2x 2-x -1≤0，即2x +1 x -1 ≤0得-12≤x ≤1，解3x 2-x -2≤0，即3x +2 x -1 ≤0得-23≤x ≤1，所以原不等式的解集为-12,1 ，所以x 的取值范围是-12,1．【变式3-4】(2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)设函数f x =mx 2-mx -1．(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，求x 的取值范围．【答案】(1)-∞,67；(2)-1,2 【解析】(1)若对于x ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx +m -6<0对于x ∈-2,2 恒成立，即m <6x 2-x +1对于x ∈-2,2 恒成立．公众号：高中数学最新试题令h x =6x 2-x +1=6x -12 2+34，x ∈-2,2 ，则h x min =h (-2)=6254+34=67，故m <67，所以m 的取值范围为-∞,67．(2)对于m ∈-2,2 ，f x <-m +5恒成立，即mx 2-mx -1<-m +5恒成立，故m x 2-x +1 -6<0恒成立，令g m =m x 2-x +1 -6，则g -2 =-2x 2-x +1 -6<0g 2 =2x 2-x +1 -6<0 ，解得-1<x <2，所以x 的取值范围为-1,2 ．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)若存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,0 ∪13,32C.-∞,23D.-∞,1 【答案】C【解析】①当m =0时，不等式化为2x <0，解得：x <0，符合题意；②当m >0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向上的二次函数，只需Δ=m -2 2-4m 2=-3m 2-4m +4>0，即0<m <23；③当m <0时，y =mx 2-m -2 x +m 为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得mx 2-m -2 x +m <0成立；综上所述：实数m 的取值范围为-∞,23.故选：C .【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习)若关于x 的不等式a 2-4 x 2+a +2 x -1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.(-∞,-2)∪65,+∞ D.(-∞,-2]∪65,+∞【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当a 2-4=0时，即a =±2，若a=2时，原不等式为4x-1≥0，解可得：x≥1 4，则不等式的解集为x x≥1 4，不是空集；若a=-2时，原不等式为-1≥0，无解，不符合题意；②当a2-4≠0时，即a≠±2，若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，则有a2-4<0Δ=(a+2)2+4(a2-4)<0，解得-2<a<65，则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥65且a≠2，综合可得：实数a的取值范围为(-∞,-2)∪65,+∞；故选：C．【变式4-2】(2023·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则实数a的取值范围是____．【答案】(-∞,1)∪(4,+∞)【解答】当a=0时，不等式为-2x+94<0有解，故a=0，满足题意；当a>0时，若不等式ax2-(a+2)x+94<0有解，则满足Δ=(a+2)2-4a⋅94>0，解得a<1或a>4；当a<0时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式ax2-(a+2)x+94<0总是有解，所以a<0，综上可得，实数a的取值范围是(-∞,1)∪(4,+∞).【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解，则a的取值范围是_____．【答案】-∞,1【解析】当a=0时，不等式为2x+1<0有实数解，所以a=0符合题意；当a<0时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式ax2+2x+1<0有实数解，符合题意；当a>0时，要使不等式ax2+2x+1<0有实数解，则需满足Δ=4-4a>0，可得a<1，所以0<a<1，综上所述：a的取值范围是-∞,1，公众号：高中数学最新试题【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)若关于x 的不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，则实数a 的取值范围是()．A.2,+∞B.-∞,5C.-∞,-3D.-∞,2【答案】D【解析】不等式x 2-6x +2-a >0在区间0,5 内有解，仅需(x 2-6x +2)max >a 即可，令f (x )=x 2-6x +2，因为f (x )的对称轴为x =--62×1=3，f (0)=2，f (5)=-3，所以由一元二次函数的图像和性质的得(x 2-6x +2)max =2，所以a <2，故选：D【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式mx 2-6x +3m <0在0，2 上有解，则实数m 的取值范围是()A.-∞，3B.-∞，127C.3，+∞D.127，+∞ 【答案】A【解析】由题意得，mx 2-6x +3m <0，x ∈0，2 ，即m <6xx 2+3，故问题转化为m <6xx 2+3在0，2 上有解，设g (x )=6x x 2+3，则g (x )=6x x 2+3=6x +3x ，x ∈0，2 ，对于x +3x≥23，当且仅当x =3∈(0,2]时取等号，则g (x )max =623=3，故m <3，故选：A【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，x 2-ax +36≤0，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为()A.a ≥37 B.a ≥13C.a ≥12D.a ≤13【答案】C【解析】∵命题p :∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0为真命题，即∃x ∈{x |1≤x ≤9}，使x 2-ax +36≤0成立，即a ≥x +36x能成立设f (x )=x +36x ，则f (x )=x +36x≥2x ⋅36x =12，当且仅当x =36x，即x =6时，取等号，即f (x )min =12，∴a ≥12，故a的取值范围是a≥12．故选：C．【变式5-3】(2022秋·北京·高三统考阶段练习)若存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则实数a的取值范围是__________.【答案】-∞,3【解析】将原不等式参数分离可得a<x2+x+3x+1，设f x =x2+x+3x+1，已知存在x∈[0,1]，有x2+(1-a)x+3-a>0成立，则a<f x max，令t=x+1，则f x =t-12+t-1+3t=t2-t+3t=t+3t-1，t∈1,2，由对勾函数知f x 在1,3上单调递减，在3,2上单调递增，f1 =1+31-1=3，f2 =2+32-1=52，所以f x max=f1 =3，即a<3.【变式5-4】(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】-2,+∞【解析】因为命题“∃x∈[-1,1]，-x02+3x0+a>0”为真命题则∃x∈[-1,1]，a>x2-3x有解，设f(x)=x2-3x，则f(x)=x2-3x=x-3 22-94，当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，所以-2≤f(x)≤4，所以a>-2.【变式5-5】(2022·全国·高三专题练习)设f x 为奇函数，g x 为偶函数，对于任意x∈R均有f x + 2g x =mx-4.若f x -x2+2g x ≥0在x∈0,+∞上有解，则实数m的取值范围是_____ _.【答案】m≥4【解析】由题设，f x -x2+2g x =mx-4-x2≥0，即x2-mx+4≤0在x∈0,+∞上有解，对于y=x2-mx+4，开口向上且对称轴为x=m2，Δ=m2-16，y|x=0=4，∴Δ≥0m2>0，可得m≥4.公众号：高中数学最新试题限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知命题P:∀x∈R，x2-2x+m>0，则满足命题P为真命题的一个充分条件是()A.m>2B.m<0C.m<1D.m≥1【答案】A【解析】∵命题P为真命题，∴不等式x2-2x+m>0在R上恒成立，∴△=4-4m<0，解得m>1，对于A，m>2⇒m>1，∴m>2 是m>1的充分条件，∴m>2 是命题P为真命题的充分条件，选项A正确；对于B，m<0推不出m>1，∴m<0不是m>1的充分条件，∴m<0不是命题P为真命题的充分条件，选项B不正确；对于C，m<1推不出m>1，∴m<1不是m>1的充分条件，∴m<1不是命题P为真命题的充分条件，选项C不正确对于D，m≥1推不出m>1，∴m≥1不是m>1的充分条件，∴m≥1不是命题P为真命题的充分条件，选项D不正确.故选：A.2.(2022秋·北京大兴·高三统考期中)若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥1【答案】B【解析】由题可知，不等式x2+2x+m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2+2x+m=0有实数解，即△=4-4m≥0，解得m≤1.故选：B.3.(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，则“m>-34”是“不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式x2-x+m+1≥0在R上恒成立，得△=-1 2-4m +1 ≤0，解得m ≥-34．所以“m >-34”是“不等式x 2-x +m +1≥0在R 上恒成立”的充分不必要条件．故选：A 4.(2022秋·宁夏银川·高三校考期中)已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,14B.14,12C.14,+∞D.12,+∞【答案】C【解析】已知命题P :∀x ∈R ，x 2-x +a >0，若-P 是假命题，则不等式x 2-x +a >0在R 上恒成立，∴△=1-4m <0，解得a >14.因此，实数a 的取值范围是14,+∞.故选：C .5.(2022秋·河南·高三校联考阶段练习)设函数f x =2ax 2-ax ，命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，则实数a 的取值范围为()A.-∞,3B.3,+∞C.247,+∞D.32,+∞【答案】C【解析】因为命题“∃x ∈0,1 ，f x ≤-a +3”是假命题，所以∃x ∈0,1 ，f x >-a +3是真命题，又f x >-a +3可化为2ax 2-ax >-a +3，即a 2x 2-x +1 >3，当x ∈0,1 时，2x 2-x +1∈78,2，所以m >32x 2-x +1在x ∈0,1 上恒成立，所以m >32x 2-x +1 max其中,x ∈0,1 ，当x =14时2x 2-x +1有最小值为78，此时32x 2-x +1有最大值为247，所以m >247，故实数m 的取值范围是247,+∞ ，故选：C 6.(2023·全国·高三专题练习)若对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，则m 的取值范围是()A.4,+∞B.2,+∞C.-∞,4D.-∞,2【答案】A【解析】因为对任意的x ∈-1,0 ,-2x 2+4x +2+m ≥0恒成立，所以对任意的x ∈-1,0 ,m ≥2x 2-4x -2恒成立，公众号：高中数学最新试题因为当x ∈-1,0 ，y =2x -1 2-4∈-2,4 ，所以m ≥2x 2-4x -2 max =4，x ∈-1,0 ，即m 的取值范围是4,+∞ ，故选：A7.(2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)设函数f x =mx 2-mx -1，若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立，则实数m 的取值范围为()A.m <57B.0≤m <57C.m <0或0<m <57D.m ≤0【答案】A【解析】若对于任意的x ∈x |1≤x ≤3 ，f x <-m +4恒成立,即可知：mx 2-mx +m -5<0在x ∈x |1≤x ≤3 上恒成立,令g x =mx 2-mx +m -5，对称轴为x =12.当m =0时，-5<0恒成立，当m <0时，有g x 开口向下且在1,3 上单调递减，在1,3 上g x max =g 1 =m -5<0，得m <5，故有m <0.当m >0时，有g x 开口向上且在1,3 上单调递增在1,3 上g x max =g 3 =7m -5<0，∴0<m <57综上，实数m 的取值范围为m <57，故选：A .8.(2022秋·湖南邵阳·高三统考期中)设函数f x =x 2+2ax +a 2-2a +3，若对于任意的x ∈R ，不等式f f x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.a ≥32B.a ≤2C.32<a ≤2 D.a ≤32【答案】B【解析】∵f x =x 2+2ax +a 2-2a +3=x +a 2-2a +3，即开口向上且f x ∈-2a +3,+∞ ，由f f x ≥0恒成立，即f x ≥0在-2a +3,+∞ 上恒成立，∴当-2a +3≥0时，即a ≤32，由二次函数的性质，f x ≥0显然成立；当a >32时，y =f x 有两个零点，则只需满足-a ≤-2a +3f -2a +3 ≥0，解得a ≤2，故32<a ≤2；综上，a 的取值范围是a ≤2.故选：B9.(2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中)设a ∈R ，，若关于x 的不等式x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，则()A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤52D.a ≥52【答案】C【解析】由x 2-ax +1≥0在1≤x ≤2上有解，得x 2+1x≥a 在1≤x ≤2上有解，则a ≤x 2+1x max ，由于x 2+1x =x +1x ，而x +1x 在1≤x ≤2单调递增，故当x =2时，x +1x 取最大值为52，故a ≤52，故选：C 10.(2023·全国·高三专题练习)已知命题“∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤0”是真命题，则实数a 的取值范围()A.-∞,0B.0,4C.4,+∞D.-∞,0 ⋃4,+∞【答案】D【解析】由题意，命题∃x 0∈R ，4x 02+a -2 x 0+14≤”是真命题故△=a -2 2-4×4×14=a 2-4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0.则实数a 的取值范围是-∞,0 ⋃4,+∞ 故选：D .11.(2022·全国·高三专题练习)已知关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是()A.a |-1≤a ≤4B.a |-1<a <4C.a |a ≥4或a ≤-1D.a |-4≤a ≤1【答案】A【解析】因为关于x 的不等式-x 2+4x ≥a 2-3a 在R 上有解，即x 2-4x +a 2-3a ≤0在R 上有解，只需y =x 2-4x +a 2-3a 的图象与x 轴有公共点，所以△=-4 2-4×a 2-3a ≥0，即a 2-3a -4≤0，所以a -4 a +1 ≤0，解得：-1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是a |-1≤a ≤4 ，故选：A .12.(2022·全国·高三专题练习)若关于x 的不等式x 2+ax -2>0在区间1,5 上有解，则实数a 的取值范围为()A.-235,+∞ B.-235,1C.1,+∞D.-∞,-235公众号：高中数学最新试题【答案】A【解析】关于x的不等式x2+ax-2>0在区间1,5上有解，ax>2-x2在x∈1,5上有解，即a>2x-x在x∈1,5上成立；设函数f x =2x-x，x∈1,5，∴f x 在x∈1,5上是单调减函数，又f1 =2-1=1，f5 =25-5=-235所以f x 的值域为-23 5,1，要a>2x-x在x∈1,5上有解，则a>-235，即实数a的取值范围为-235,+∞．故选：A．13.(2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习)若存在实数x，使得关于x的不等式ax2-4x+a-3<0成立，则实数a的取值范围是______.【答案】a<4【解析】a<3时，若x=0，则不等式为a-3<0，不等式成立，满足题意，a≥3时，在在x使得不等式ax2-4x+a-3<0成立，则△=16-4a a-3>0，∴3≤a<4．综上，a<4．14.(2021·全国·高三专题练习)已知函数x2-x,x≤02x,x>0.若存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，则实数a的取值范围是________.【答案】-∞,-3⋃-1,+∞【解析】由题意，当x=0时，不等式f x ≤ax-1可化为0≤-1显然不成立；当x<0时，不等式f x ≤ax-1可化为x2-x+1≤ax，所以a≤x+1x-1，又当x<0时，x+1x=--x+-1x≤-2，当且仅当-x=-1x，即x=-1时，等号成立；当x>0时，不等式f x ≤ax-1可化为2x+1≤ax，即a≥1x+2x=1x+12-1≥-1；因为存在x∈R使得关于x的不等式f x ≤ax-1成立，所以，只需a≤-2-1=-3或a≥-1.15.(2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测)若命题：“存在整数x使不等式kx-k2-4x-4<0成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.【答案】1,4【解析】设不等式kx -k 2-4 x -4 <0的解集为A，当k =0时，不等式kx -k 2-4 x -4 <0化为x >4，存在整数x 使不等式成立，所以此时不满足题意，所以k ≠0；当k >0时，原不等式化为x -k +4kx -4 <0，因为k +4k ≥2k ⋅4k =4,当且仅当k =4k即k =2时取等号，所以A =x |4<x <k +4k ，要使命题：“存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立”是假命题，则需4≤k +4k≤5，解得1≤k ≤4；当k <0时，原不等式化为x -k +4kx -4 >0，而k +4k =--k +4-k ≤-2-k ⋅4-k =-4，当且仅当-k =4-k即k =-2时取等号，所以A =-∞,k +4k∪4,+∞ ,所以存在整数x 使不等式kx -k 2-4 x -4 <0成立，所以k <0不合题意.综上可知，实数k 的取值范围是1,4 .16.(2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试)ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，则实数a 的取值范围是_________ .【答案】1,+∞【解析】由ax 2-2x +1≥0,∀x >0恒成立，可得，a ≥2x -1x2对∀x >0恒成立，令y =2x -1x2，则y =1-1x -1 2,1x >0 当1x=1时，y max =1，所以a ≥y max =1.17.(2021·全国·高三专题练习)若不等式x 2-2>mx 对满足m ≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________【答案】x <-2或x >2【解析】因为x 2-2>mx ，所以mx -x 2+2<0令f m =mx -x 2+2，即f m <0在m ≤1恒成立，即-1≤m ≤1时f m <0恒成立，公众号：高中数学最新试题所以f1 <0f-1<0，即x-x2+2<0-x-x2+2<0，解x-x2+2<0得x>2或x<-1；解-x-x2+2<0得x>1或x<-2，所以原不等式组的解集为x∈-∞,-2∪2,+∞18.(2023·全国·高三专题练习)若不等式-x2+t2-2at+1≥0对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，则实数t的取值范围是__________．【答案】-∞,-2∪0 ∪2,+∞【解析】由题意得t2-2at+1≥x2对任意x∈-1,1及a∈-1,1恒成立，所以t2-2at+1≥1对任意a∈-1,1恒成立，即t2-2at≥0对a∈-1,1恒成立，令g a =t2-2at=-2at+t2，则g a 是关于a的一次函数，所以只需g1 ≥0g-1≥0，即t2-2t≥0t2+2t≥0，解得t≥2或t≤-2或t=0，所以实数t的取值范围是-∞,-2∪0 ∪2,+∞。
考点11 一元二次不等式一、考纲要求1、掌握一元二次不等式的解法2、了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系3、掌握三个二次的关系二、近五年江苏高考一元二次不等式在江苏考纲中为C级要求，是必考的知识点，但是直接考查的不多，往往与其它知识点结合考查，多以简单的题目为主，它多与导数、函数、解析几何等相关知识结合。
体现函数方程的思想。
三、考点总结：①掌握三个“一元二次”的关系② 解不等式恒成立问题的技巧:1. 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2. 解恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.四、近几年江苏高考题1、（2019年江苏卷）.函数y =_____. 【答案】[1,7]-.【解析】由已知得2760x x +-≥， 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.2、(2017年江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－1，12 思路分析 先容易判断f (x )是奇函数，再确定f (x )的单调性． 因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又因为f (x )是奇函数， 所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (2a 2)≤f (1－a )⇔2a 2≤1－a . 即2a 2＋a －1≤0， 解得－1≤a ≤12.3、（2015年江苏卷）不等式224x x-<的解集为________.答案： (－1，2)解析： 因为2x 2－x <4＝22， 所以x 2－x <2， 解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．4、（2014年江苏卷） 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案：－22<m <0. 解析：由条件有⎩⎪⎨⎪⎧f m <0，f m ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ·m －1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m 2<12，2m 2＋3m <0，解得⎩⎨⎧－22<m <22，－32<m <0，所以－22<m <0.五、三年模拟题型一 一元二次不等式的解法1、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．【答案】(20)(2)-+∞，，【解析】若0x ≥，则22()2,()2f x x x f x x x =--=-+， 由()()f x f x >-得：22222x x x x x ->-+⇒>，故2x >.若0x <，则22()2,()2f x x x f x x x =---=+， 由()()f x f x >-得：222220x x x x x -->+⇒-<<，故20x -<<. 综上，不等式()()f x f x >-的解集为(20)(2)-+∞，，.2、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，（x －1）2，x>1，函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．【答案】 [－2，2]思路分析 先写出函数f(－x)的解析式，再根据x 的不同取值得到函数g(x)的解析式，最后解不等式g(x)≤2即可．由题意得f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|－x ＋1|，x≥－1，（x ＋1）2，x<－1，从而g(x)＝f(x)＋f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－（x －1）＋2，x>1，2，－1≤x≤1，（x ＋1）2＋（x ＋1）＋2，x<－1，当x>1时，不等式g(x)≤2可化为(x －1)2－(x －1)＋2≤2，解得1<x≤2； 当－1≤x≤1时，g(x)＝2，所以不等式g(x)≤2恒成立；当x<－1时，不等式g(x)≤2可化为(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2≤2，解得－2≤x<－1. 综上所述，不等式g(x)≤2的解集是[－2，2]．解后反思 对于分段函数问题，解题的关键是根据自变量x 的不同取值确定函数f(x)的解析式，另外在解不等式g(x)≤2时，运用整体思想，将x －1和x ＋1作为整体求解较为简便．3、(2017南通一调）已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)思路分析 作出函数f (x )＝|x |＋|x －4|的图像，通过函数的图像并结合单调性，得出关于x 的不等式组，解得x 的取值范围．函数f (x )的图像如图，知图像关于直线x ＝2对称． 因为x 2＋2＞0且f (x 2＋2)＞f (x )，则必有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＞4，x 2＋2＞x ，4＜x 2＋＋x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＞2，x 2－x ＋2＞0，x 2＋x －2＞0，解得x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识，考查数形结合、分类讨论等思想及运算求解能力．4、(2017镇江期末） 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集为________．【答案】 (－5，0)∪(5，＋∞)解法1 不等式f (x )＞x 的解集，即为函数y ＝f (x )图像在函数y ＝x 图像上方部分x 的取值范围．因为函数f (x )和y ＝x 都是R 上的奇函数，且方程f (x )＝x 的根为±5，0，由图像知，不等式f (x )＞x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．解法2 令x ＜0，则－x ＞0，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )]＝－x 2－4x .要使f (x )＞x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2－4x ＞x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0＞x ，解得－5＜x ＜0或x ＞5，所以不等式f (x )＞x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．5、(2017苏北四市摸底） 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________. 【答案】(0，1)∪(4，＋∞) 【解析】因为f (x )＝－x 2＋2x ，所以不等式f (log 2x )<f (2)可化为f (log 2x )<0， 于是log 2x <0或log 2x >2， 解得x ∈(0，1)∪(4，＋∞)．6、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________． 【答案】(1，2)【解析】：：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≥0，x ＋1－x ＋1， x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1＋2－x ＋1， x <0，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <3x －4，x 2－2x <0.解得1<x <2.7、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x <0，则不等式 f (f (x ))≤3的解集为________．【答案】(－∞，3]思路分析 一般地，对于不等式f (f (x ))≤3，需要先换元令t ＝f (x )，将原不等式化为f (t )≤3，解此不等式并根据参数t 的范围求出x 的范围，即得原不等式的解集．令t ＝f (x )，则原不等式化为f (t )≤3，因为函数f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2， t ≥0，t 2＋2t ， t <0，所以当t ≥0时，不等式f (t )≤3恒成立；当t <0时，解t 2＋2t ≤3得－3≤t <1，此时－3≤t <0，于是不等式f (t )≤3的解集为[－3，＋∞)，原不等式也就转化为f (x )≥－3.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x <0，所以当x ≥0时，－x 2≥－3，解得－3≤x ≤3，0≤x ≤3；当x <0时，x 2＋2x ≥－3恒成立，综上所述，原不等式的解集为(－∞，3]．8、（2017苏州期末）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ．【答案】 （-1，2）【解析】 22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，且是单调递增的，f （3）=12，所以原不等式等价于213x x -+<，解得－1＜x ＜2，即不等式2(1)12f x x -+<的解集是（－1，2）．9、（2017苏北四市期末）已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f -≤的解集为 ． .【答案】：),1[+∞-【解析】：222,(2)()|2|2,(2)x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，其图像如图所示，显然，当2≥x 时，令)1()(0f x f =，即12020=-x x ，解之得，210+=x （210-=x 舍），从而不等式)(1)f x f ≤等价于212+≤-x ，解之得，1-≥x ，即不等式)(1)f x f -≤的解集为),1[+∞-．题型二 一元二次不等式中含参问题1、(2018镇江期末） 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________． 【答案】.4解法1(对称轴分类讨论) 函数f(x)的图像开口向上，对称轴为x ＝k 2，若k2∈[1，3]，即k ∈[2，6]时，不等式f(x)≥0 恒成立等价于f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫k 2＝4－k 24≥0 ，解得k ∈[2，4]，若k2∉[1，3]，即k<2(由于求k 的最大值，故不舍去)或k>6时，不等式f(x)≥0 恒成立等价于f(x)min ＝f(3)＝13－3k≥0，不成立．综上，所求k 的最大值为4.解法2(分离参数) 不等式f(x)≥0 恒成立等价于k≤x ＋4x ，易知x ＋4x 在[1，3]上的最小值为4，所以k 的最大值为4.解后反思 解法1是将对称轴分类讨论，通过求f(x)min ≥0来解决问题的；而解法2是将参数分离出来进行求解的，这是处理含参数的恒成立问题的两种基本方法．2、(2016徐州、连云港、宿迁三检） 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，174 思路分析 不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0的构造比较特殊，可以化为关于x ＋y 的不等式，再根据不等式及x ＋y ＋4＝2xy 求出x ＋y 的范围即可．对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得()2422x y x y xy +≤＋＋＝，解得x ＋y ≥4，不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤174.易错警示 在求函数u (t )＝t ＋1t (t ≥4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u (t )min ＝2，没有注意到t ≥4的限制，从而得到错误的答案a ≤2.3、（2017苏州期末）若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】 12m <-【解析】 因为m ≠ 0，所以分两种情况讨论： （1）m ＞0，不等式的解集是211(,)m m -，显然不适合题意； （2）m ＜0，（i ）当m ＝－1时，不等式化为－1＜0，对于x ≠1均成立；（ii ）当－1＜m ＜0时，不等式的解集是211(,),m m-+∞－∪(∞)，要使不等式2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，必须1m 2＜4，结合－1＜m ＜0，解得－1＜m ＜－12；（iii ）当m ＜－1时，不等式的解集是211(,),m m -+∞∪(－∞)，所以1m-≤4恒成立． 综上，实数m 的取值范围是m ＜－12．4、（2016宿迁调研）若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ． 【答案】1【解法1】显然x >0，若x ≤0，则mx －1＜0，而当m 充分大时，3m 2－( x + 1)m －1＞0，与题设矛盾．而当x ＞0时，要使(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0，对(0)m ∈+∞，恒成立．则关于m 的方程，mx －1＝0，与3m 2－( x + 1)m －1=0在(0，+∞)内有相同的根．所以3(1x )2－( x + 1)1x －1＝0，解之得：x =1， x =－32(舍去)．【解法2】（图像法）设函数2121,3(1)1y xm y m x m =-=-+-，要使不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则必有0x >，作出两个函数图象，则有两个函数图象交于点1(,0)x ，即1m x=是方程23(1)1m x m -+-=0的根，则有3(1x )2－( x + 1)1x －1＝0，解之得：x =1， x =－32(舍去).。
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
