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四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。
1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。
2019—2020学年新人教A版必修一函数的单调性与最值教案函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛,是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有:1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小．3．解函数不等式．4．求参数的取值范围或值．探究一求函数的值域或最值1．（2015·高考浙江卷)已知函数f(x)＝错误!则f(f（－3)）＝________,f(x)的最小值是________．解析：由题知,f(－3)＝1，f(1）＝0，即f（f(－3))＝0。
又f(x)在（－∞,0)上单调递减,在（0，1)上单调递增,在(1,错误!)上单调递减，在（错误!，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝min{f（0)，f（2)}＝22－3。
答案:02错误!－3探究二比较两个函数值或两自变量的大小2．已知函数f（x）＝log2x＋错误!，若x1∈（1,2），x2∈(2，＋∞)，则（）A．f（x1)<0，f（x2)〈0 B．f（x1）〈0,f(x2)〉0C．f(x1)〉0，f（x2)<0 D．f（x1）〉0，f(x2）〉0解析：∵函数f(x）＝log2x＋错误!在(1，＋∞)上为增函数，且f(2）＝0，∴当x1∈(1,2）时，f(x1）〈f（2)＝0，当x2∈(2，＋∞）时,f(x2）〉f（2)＝0，即f（x1)<0，f（x2）〉0.答案:B探究三解函数不等式3．（2015·西安一模）已知函数f(x)＝错误!若f（2－x2）>f(x)，则实数x的取值范围是() A．（－∞，－1)∪(2，＋∞)B．（－∞,－2）∪（1，＋∞）C．（－1,2)D．(－2,1)解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时,函数f（x）＝x3为增函数，当x>0时,f(x)＝ln(x＋1）也是增函数,且当x1<0,x2>0时，f(x1）<f(x2)，∴函数f(x）是定义在R上的增函数．因此，不等式f（2－x2)〉f（x）等价于2－x2〉x，即x2＋x－2<0，解得－2<x〈1，故选D。
1.3.1单调性与最大（小）值 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 假如生活是一条河流，愿你是一叶执著向前的小舟；假如生活是一叶小舟，愿你是个风雨无阻的水手。
【学习目标】 1．理解函数的单调性及其几何意义. 2．能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增(减)函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性.
3．理解函数的最大值、最小值的概念. 4．会根据函数的单调性求函数的最大值和最小值. 5．掌握函数的最值在实际中的应用. 【学习重点】 1．函数的最大(小)值及其几何意义 2．利用定义函数的单调性的步骤 3．函数单调性的有关概念的理解 【学习难点】 1．利用函数的单调性求函数的最大(小)值 2．利用定义判断函数的单调性的步骤 3．函数单调性的有关概念的理解 【自主学习】 1．函数的单调性与单调区间
(1)单调性：如果函数在区间上是 ，那么说函数在这一区间具有(严格的)单调性. (2)单调区间：指的是 . 2．函数单调性的定义 条件 结论
增函数 设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的两个自变量的值，，当时 都有 ，则函数在区间上是增函数
减函数 都有 ，则函数在区间上是减函数
3．函数的最大值和最小值 最大值 最小值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 (1)对任意，都有 ； (2)存在，使得 (1)对任意，都有 ；
(2)存在，使得
结论 ___________是函数的最大值 ___________是函数的小值 【预习评价】 1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是
A. B.
C. D. 2．若函数，则其在上是 (填“增函数”或“减函数”). 3．已知函数，则与的大小关系为 . 4．函数，，则的最大值为 A.-1 B.0 C.3 D.-2 5．若函数在[1，2]上的最大值与最小值的差是2，则 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
6．函数，，则的最大值为 ；最小值为 . 知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1．函数单调性的定义与单调区间 根据下面的图象探究下列问题.
(1)图①中任取，，当时与的大小关系如何？图②昵？ (2)图①，图②分别反映了函数的什么性质？ (3)如果在函数中有，能否得到函数为增函数？ (4)若函数在上是增函数，，则在上是什么函数？ 2．函数单调性的定义与单调区间 根据函数单调性的定义，思考下列问题：
(1)在函数单调性的定义中能否将“任取，”改为“任取，”？
(2)在函数增减性的定义中，的符号与的符号之间有什么关系？
3．函数的最大(小)值 根据提示完成下面的问题，明确函数的单调性与最值的关系：
(1)若函数在区间上是单调递增的，则函数的最大值是 ；最小值是 .
(2)若函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则函数在区间上的最小值是 ；最大值是 . 4．函数的最大(小)值 请根据函数最大(小)值的定义探究下面的问题：
(l)定义中的应满足什么条件？
(2)该定义中若只满足第一条，是不是函数的最大(小)值？ 【教师点拨】 1．对函数单调性和单调区间的三点说明
(1)任意性；“任取，”中的“任取”二字不能去掉，更不能用两个特殊值替换.
(2)确定性：，有大小之分且属于同一个单调区间，通常规定. (3)区间表示：函数的单调区间是函数定义域的子区间，两个单调区间要用“，”或“和”连接，而不能用“”连接.
2．对函数最大值、最小值的四点说明 (1)最值中一定是一个函数值，是值域中的一个元素.
(2)最值定义中的两条缺一不可，必须同时满足时，是函数的最值. (3)求函数的最值一般是先判断函数的单调性，然后再求最值. (4)几何意义：如图函数图象最高点的纵坐标即为函数的最大值，函数图象的最低点的纵坐标即为函数的最小值.
【交流展示】 1．已知的图象如图所示,则的增区间是 ,减区间是 .
2．作出函数的图象,并指出函数的单调区间. 3．函数有如下性质：若常数,则函数在上是减函数,在上是增函数.已知函数(为常数),当时,若对任意,都有,则实数的取值范围是 . 4．已知函数. (1)若的单调减区间为,求的取值范围. (2)若在区间上为减函数,求的取值范围. 5．如图为函数，的图象，则它的最大值为 ；最小值为 .
6．求函数的最小值. 7．函数在区间()上有最大值9，最小值-7，则 , .
8．设函数，，为常数，求的最小值的解析式.
【学习小结】 1．求单调区间的三个注意点 注意点一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域； 注意点二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用；
注意点三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接.
2．利用定义证明函数单调性的变形技巧和步骤 (1)变形技巧： ①因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解. ②通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解. ③分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化. (2)四个步骤：
提醒：利用定义证明函数单调性，作差变形要“彻底”，也就是说要转化为几个因式相乘的形式，且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.
3．由单调性求参数取值范围的两种方法
(1)定义法：借助函数的定义，根据结合函数单调性的定义，建立与
的关系. (2)图象法：借助函数图象的特征，例如二次函数的图象被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给的单调区间的位置求参数的取值范围.
提醒：求函数中参数的取值范围问题中，将函数单调性的大小关系转化为参数大小关系的同时注意函数的定义域.
4．求函数最值的三种方法 (1)观察法：对于简单的初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数，可以依据定义域求出值域，观察得出. (2)图象法：对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助于图象直观求出. (3)单调性法：对于较复杂的函数，可利用单调性的判断方法，判断出函数的单调性，然后
求最值. 提醒：利用单调性求最值时，一定要先确定函数的定义域. 5．求二次函数在指定区间上最值的方法及三点注意 (1)常用方法：利用二次函数的单调性结合对称轴与区间的位置关系.分三种情况： ①对称轴在区间左侧；②对称轴在区间内；③对称轴在区间右侧. (2)求二次函数最值的三点注意：
①注意开口方向，即与0的关系；
②注意对称轴，的位置； ③注意所给定的区间，即对称轴与区间的关系. 【当堂检测】
1．已知函数在上是减函数,则实数的取值范围为 A.[2,3) B.(1,3) C.(2,3) D.[1,3]
2．已知函数(l). (2).(3).上述函数中在 区间上为增函数的有 . 3．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不出的报纸以每份0.05元的价格退回报社.一个月按30天算，其中有18天每天可以卖出400份，12天每天只能卖出180份，摊主每天从报社买进 份，才能使每月获得最大的利润.
4．作出函数的图象,并写出其单调区间. 答案 课前预习 · 预习案 【自主学习】 1．(1)增函数或减函数 (2)区间D 2．任意 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 3．(1)≤ (2)＝ (1)≥ (2)＝ M M 【预习评价】 1．B 2．增函数 3．＞ 4．C 5．C
6．1 知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1．(1)由图①可知函数y＝f(x)图象随x的增大而“上升”，即x1＜x2时，f(x1)＜f(x2).图②中函数y＝f(x)图象随x的增大而“下降”，即x1＜x2时，f(x1)＞f(x2).
(2)图①②反映了函数的单调性，其中图①对应的函数为增函数；图②对应的函数为减函数. (3)不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)为增函数，而1和2只是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，所以由f(1)＜f(2)得不到函数为增函数.
(4)增函数. 2．(1)当函数在定义域上单调时，是可以的，当函数在定义域上有增有减时不可以. (2)当函数是增函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同；当函数是减函数时，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相反.
3．(1)f(b) f(a) (2)f(b) f(a)或f(c) 4．(1)M是一个函数值，即存在一个元素x0，使M＝f(x0). (2)M不一定是最大(小)值，如函数f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函数的最大值，因为不存在x0∈R，使f(x0)＝1.
【交流展示】 1．[-1.5,3),[5,6) [－4,－1.5),[3,5),[6,7]
2．图象如图所示,可得(－∞,－3]为递减区间,(3,＋∞)为递增区间,而f(x)在(－3,3]为常函数.
3．[12,20] 4．(1)由题意知得. (2)由f(x)在区间(－∞,4)上为减函数,说明(－∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a＝0时,f(x)＝－2x＋2在(－∞,4)上单调递减,故成立.
当a≠0时,由,得.
