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第13课 解直角三角形=========⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=∠=∠=∠000000000000060tan ;45tan ;30tan 60cos ;45cos ;30cos 60sin ;45sin ;30sin :)900()900(tan ,cos ,sin 特殊三角函数值平方关系：正切：余弦：正弦：：取值范围越大，正切值正切：越大，余弦值余弦：越大，正弦值正弦：：增减性αααααA A A中考真题练习1.在Rt △ABC 中，∠C=900，若sinA=513,则cosA 的值为（ ） A.512B.813C.23D.12132.式子2000)160(tan 45tan 30cos 2---的值是（ ） A.232-B.0C.32D.23.在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（）A.34B.43C.35 D.455.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3,m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是错误！未找到引用源。
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的值是( )A.45 B.错误！未找到引用源。
C.35D.错误！未找到引用源。
6.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） A.23B.32C.21313 D.31313第6题图 第7题图 第8题图7.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l 为( )A.h sina B.h tana C.h cosaD.h ·sina 8.如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交成的锐角为α,若AC=a ，BD=b ，则□ABCD 的面积是（ ） A.αsin 21ab B.αsin ab C.αcos ab D.αcos 21ab 9.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=10.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为 米．第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成750角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为300，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．12.如图,在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．第13题图第14题图14.如图，点E（0,4），O（0,0），C（5,0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=________．16.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．第16题图第17题图第18题图17.如图,某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=300,∠ACD=600，则直径AD= 米.18.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=1200，则四边形ABCD 的面积为．（结果保留根号）19.如图,是一张宽m的矩形台球桌ABCD,一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的P点.如果MC n=，CMNα∠=.那么P点与B点的距离为 .第19题图第20题图20.如图,正方向ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°，M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．21.已知α是锐角,且sin(α+150)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离.24.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB 的长； （2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．25.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为600．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为450，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米,AE=15米．（3:1=i 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比） （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．26.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．27.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？28.如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,23 DB DCDP DO==．（1）求证:直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．29.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．30.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（1）如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启,则AC开启至A/C/的位置时,A/C/的长为m；（2）如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=540，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=730，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．32.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)第13课解直角三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A.1,2,3B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,32.在Rt△ACB中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.53.点M （-sin600，cosn600）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（32，12） B ．（32-，12-） C ．（32-，12） D ．（12-，32-） 4.如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ） A.513B.1213C.512D.125第4题图 第5题图 第6题图5.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52=AD ,则tan ∠CAD 的值是（ ） A.2B.2C.3D.56.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC /B /，则tanB /的值为（ ） A.12B.13C.14D.247.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米B.56米C.512米D.24米8.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（ ） A.43 B.35 C.34 D.459.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 10.若a=3-tan600，则196)121(2-+-÷--a a a a =11.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,∠B=370，BC=32,则AC= ．（sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75）第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_____13.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．2,则AB的长为．14.如图,在△ABC中,∠A=300,∠B=450,AC=315.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）16.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．17.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD 方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．。
中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析附答案解析一、直角三角形的边角关系1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ， ∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCDS 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.9．关于三角函数有如下的公式： sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan （α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如： tan105°=tan （45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： 如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α=60°，底端C 点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42m ，求建筑物CD 的高．【答案】建筑物CD 的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.10．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，∴△ABF ∽△ACE ．（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，∴BE ＝EB ，∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，∴HC ＝EH ，∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2，∵BC 2+1，∴x+x 2+1，∴x ＝1，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝ 1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝2， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝22+ •（2﹣1）＝2， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．11．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km ）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ， ∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=383BE x DE x ==+ ，解得x=4+43 ， ∴AB=BE+4=（8+43 ）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。
中考数学直角三角形的边角关系的综合复习附详细答案一、直角三角形的边角关系1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，'30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，∴AB=sin 30AC︒=6012=120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，∴33∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.3．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH33，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=50350503+=3+33≈8.1（秒）， 即车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
解直角三角形过关自测卷(90分钟 100分)一、选择题（每题3分，共30分）1．图1，P 是角α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12,5），则tan α等于（ ） A.135 B.1312 C.125 D.512图1 图2 图32．在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值（ ）A.都扩大为原来的2倍B.都缩小为原来的21 C.都不变 D.无法确定3．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =BC ，点D 在AC 上，∠CBD =30°，则DCAD 的值为（ ）A.3B.22C. 3－1D.不能确定 4．1，则菱形的四个角分别为（ ）A.30°、150°、30°、150°B.45°、135°、45°、135°C.60°、120°、60°、120°D.不能确定5．如图2，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m6．已知∠A，∠B是Rt△ABC的两个锐角，则方程tan A·x²－2x+tan B=0( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定7．如图3，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶20 n mile到达C地，则A，C两地相距（）A.30 n mileB.40 n mileC.203n mileD.103n mile 8．（2012，四川广安,有改动）如图4，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i=1BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100 mB.1003mC.150 mD.503m图4 图5 图69．如图5所示，学校的保管室里，有一架5 m长的梯子OC斜靠在墙上，此时梯子OC与地面所成的角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端C靠到对面墙上的C′点，此时梯子OC′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为（）A.25（2+1）mB.25（3+2）mC.32mD.25（3+1）m10．（2013,广州）如图6所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tan B 等于（ ）A ．23 B.22 C.411D.55二、填空题（每题3分，共24分）11．（2012，湖北孝感）计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________. 12．在△ABC 中，∠A ,∠B 都是锐角，且(cos A －21)²+|1－tan B |=0,则∠C =__________. 13．若tan α=5,则ααααcos 3sin 2cos -sin +=__________.14．如图7，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），AB =80 m ，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是________m.图7 图8 图9 图10 15．（2014，厦门莲花中学模拟）如图8，△ABC 中，∠B =30°， ∠A =15°，若BC 边上的高为2，则BC =__________.16．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sin A =21,tan B =3,AB =10,则△ABC 的面积为___________.17．全市动员修海堤抗台风，某海堤的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度i=1∶1.2，堤顶宽DC 为3 m，堤高DF为10 m，则堤底宽AB约为________m.（精确到0.1 m)18．(2013，荆门)如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A=53，则DE=________.三、解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）19．（1）计算：121-⎪⎭⎫⎝⎛+8+|1－2|0－2sin60°·tan60°；(2)计算：sin²30°+cos²45°+2sin60°·tan45°.20．（2013，昭通）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）图1121．小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD=2，求AC的长.图1222．（2013,贵阳）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE 的高度，如图13，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E 的仰角为50°．（人的身高忽略不计）（1）求AC的距离；（结果保留根号）图13（2）求塔高AE．（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，3≈1.73，2≈1.41，结果保留整数）23．如图14，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离.（2≈1.4, 3≈1.7,结果保留整数）图1424．某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面CD 的坡度i=1∶3，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45.（1）求过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB.（结果精确到0.01 m）图1525．阅读下列材料，并解决后面的问题.如图16所示，在锐角三角形ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b ,c .过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则sin B =c AD ,sin C =b AD，即AD =c ·sin B ,AD =b ·sin C .于是c ·sin B =b ·sin C ,即CcB b sin sin =,同理有,sin sin sin sin B b BAC a BAC a C c =∠∠=，所以CcB b BAC a sin sin sin ==∠. 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.图16（1）在锐角三角形中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知三个元素，a ，b ，∠A ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B ，∠C .请你按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由a ，b ，∠A −−−→−用关系式__________求出∠B ； 第二步：由∠A ，∠B −−−→−用关系式__________求出∠C ； 第三步：由__________−−−→−用关系式__________求出c ；（2）一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile/h 的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h 后到达B 处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔A的距离AB.（结果精确到0.1 n mile，参考数据：sin40°≈0.643,sin65°≈0.906,sin70°≈0.940,sin75°≈0.966)图17参考答案及点拨一、1．C 2．C 3．C4．C 点拨：设较大内角为α，则tan2α =3,所以2α=60°,所以α=120°.5．A 6．B 点拨：因为b 2－4ac =（－2）2－4·tan A ·tan B =4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根.7．C 8．A 9．A10．B 点拨：过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，如答图1，易知四边形ABFD 是平行四边形，∴BF =AD =6，DF =AB =4，∵AB ⊥AC ,DF ∥AB ，∴DF ⊥AC ，又∵CA 是∠BCD 的平分线，∴CD =CF ，∠DCA =∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴∠DAC =∠DCA .∴DC =DA =6，∴CF =6，∴BC =BF +CF =12.易求得AC =82,∴tan B =AB AC =428=22. 答图1二、11．1 点拨：cos 245°+tan30°·sin60°=222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33×23=21+21=1. 12．75°13．83 点拨：原式=3cos sin 2cos sin +-αααα=3tan 2tan +-αα=3525＋－=83.14．4015．32－2 点拨：设BC 边上的高为AD ，由题意知，AD =2，∠ACD =∠B +∠BAC =45°，∴tan 45°=CD AD =CD 2=1,∴CD =2, ∴tan B =BD AD =22－BC =33，解得BC =23－2. 16．2325 点拨：在该题中，并没有直接指明△ABC 是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题.17．32.318．415 点拨：由题易证△AED ∽△ABC ，在△ABC 中，BC =6,sin A =53，可求得AB =10，AC =8.利用相似三角形的性质可求得DE 的长. 三、19．解：（1）原式=2+22+1－2×23×3=2+22+1－3=22. （2）原式=221⎪⎭⎫ ⎝⎛+222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2×23×1=41+21+26=43+26. 20．解：过P 作PC ⊥AB 于C ，如答图2，在Rt △APC 中，AP =200 m ，∠ACP =︒90，∠P AC =60°.∴PC =200×sin60°=200×23=1003（m ）.∵在Rt △PBC 中，sin ︒37=PB PC ,∴PB =︒37sin PC ≈6.073.1100⨯≈288（m ）. 答：这时小亮与妈妈相距约288 m.答图221．解：在Rt △BCD 中，∠BCD =45°，CD =2，cos ∠BCD =BC CD ,∴BC =BCD CD ∠cos =︒45cos 2=22.在Rt △ABC 中，∠BAC =60°，sin ∠BAC =AC BC ,∴AC =BAC BC ∠sin =︒60sin 22=2322=364.∴AC 的长为364. 点拨：△ABC 和△BCD 都是有特殊锐角的直角三角形，所以利用特殊角的三角函数值便可求得AC 的长.22．解：（1）在Rt △ABC 中，AB =4 m ，∠BCA =30°，由tan ∠BCA =ACAB ,得AC =BCA AB ∠tan =︒30tan 4=334=43（m ）. ∴AC 的距离为43 m.（2）设AE=x m ，在Rt △AED 中，由tan50°=ADx ，得AD =︒tan50x ≈1.2x （m ）， ∵CD =AD －AC =5，∴1.2x －43≈5,解得x ≈14， ∴塔高AE 约为14m.23．解：由题意知：∠BAC =53°－23°=30°，∠C =23°+22°=45°.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ,则CD =BD .∵BC =10 n mile ，∴CD =BD =BC ·cos45°=10×22=52 (n mile)，∴AD =325332530tan ⨯==︒BD ≈5×1.4×1.7=11.9(n mile).∴AC =AD +CD ≈11.9+25≈11.9+7.0=18.9≈19（n mile ）.答：此时小船与码头之间的距离约为19 n mile.24．解：（1）在Rt △AGB 中,∠ABG =45°,所以AG =BG .所以AB 的坡度为AG ∶BG =1∶1.（2）在Rt △DEC 中,tan C =33=EC DE ,所以∠C =30°.又因为CD =10 m, 所以DE =CD ·sin30°=5 m.（3）由（1）（2）知,AG =BG =DE =5 m,在Rt △AFG 中,∠AFG =30°,tan ∠AFG =FGAG ,即5533-=FB .所以FB =35－5≈3.66 （m ）. 答：此改建需占路面的宽度FB 约为3.66 m.25．解：（1）Bb A a sin sin =;∠A +∠B +∠C =180°；a ,∠A ，∠C ；Cc A a sin sin = （2）根据题意，得∠ABC =180°－45°－70°=65°，∠A =180°－（30°+45°+65°）=40°，BC =0.5×28.4=14.2（n mile ）.因为︒=︒40sin 2.1475sin AB ，所以AB ≈643.0966.02.14⨯≈21.3（n mile ），所以此时货轮到灯塔A 的距离AB 约为21.3 n mile.图形的相似过关自测卷(90分钟100分)一、选择题(每题3分,共24分)1．已知：a=0.2，b=1.6，c=4，d=1，则下列各式中正确的是（）2A.a∶b=c∶dB.a∶c=d∶bC.a∶b=d∶cD.a∶d=c∶b 2．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似，正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.43．如图1，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为（）A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm 4．如图2，已知△ABC的BC边上有两点D、E，且△ADE是正三角形，则下列条件不一定能使△ABD与△AEC相似的是（）A.∠BAC=120°B.AC²=EC·EBC.DE²=BD·ECD.∠EAC+∠B=60°图1 图2 图35．如图3，AD是△ABC的高，EF⊥BC，F为垂足，E是AB边的中点，DC=1BF，若BC=10，则DC的长是（）2A.310B.25C.2D. 45 6．如图4，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线BF 与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对图4 图5 图67．如图5，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8 m ，与旗杆相距22 m ，则旗杆的高为（ ）A.12 mB.10 mC.8 mD.7 m8．（2013，新疆）如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC = 60°，BC =2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5二、填空题(每题3分,共24分)9．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________.10．如图7，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，BDAD =2，则ADE S △︰ABC S △=_________．图7 图8 图9 图1011．如图8，△ABC 中，点D 在AB 上，请填上一个你认为适合的条件_______________，使得△ACD ∽△ABC ．12．（2013，淄博）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图9，∠A =36°，AB =AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有___________条．13．如图10，光源P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，已知AB =2 m ，CD =6 m ，点P 到CD 的距离是2.7 m ，那么AB 与CD 间的距离是__________.14．如图11，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AD =4，AB =5，BC =6，点P 是AB 上一个动点，当PC +PD 的和最小时，PB 的长为____________．图11 图12 图1315．（2013，南通）如图12，在□ABCD中，AB=6 cm，AD=9 cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂cm，则EF+CF的长为_________cm．足为G，BG16．（2013，苏州）如图13，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为___________．三、解答题(23题10分,其余每题7分，共52分)17．如图14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB∶BC的值．图1418．（2013，怀化）如图15，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°．求证：△ABC∽△DEF．图1519．如图16，已知△ADE∽△ABC，∠A=70°，∠B=45°，AE=3cm，EB=4cm，AD=4cm，求∠AED的度数及AC的长．图1620．（2013，滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正视图如图17所示，其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm，过B点作BH⊥AD，分别交EF，AD于M，H，过C点作CG⊥AD，分别交EF，AD于N，G．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．图1721．如图18，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）BH=CG；图18（2）FC ²=BF ·GF ；（3）22AB FC =GB GF ．22．如图19，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上． （1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与 △OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）；图19（2）求出线段11B A 所在直线对应的函数关系式．23．（2013，遵义）如图20，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？．图20（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由参考答案及点拨一、1．C 点拨：∵a =0.2，b =1.6，c =4，d =21，且0.2×4=1.6×21，∴ac=bd ,∴a ∶b =d ∶c ,故选C ．2．B 点拨：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形两对对应角相等，故此选项正确；③在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然小梯形与原梯形不相似，故此选项错误；④所有的正方形的四个角都是直角，对应边成比例，所以所有的正方形都相似，此选项正确，故正确的有2个，故选B ． 3．B 点拨：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，三角尺的一边长为8 cm ，∴投影三角形的对应边长为：8÷52=20（cm ），故选B ．4．B 点拨：本题在根据各选项中条件判定△ABD 与△AEC 相似时，易不理解判定定理2中“两边成比例且夹角相等”这一条件而出错. 5．C 点拨：∵AD 是△ABC 的高，EF ⊥BC ，F 为垂足，E 是AB 边的中点,∴EF ∥AD ，∴BF=DF ,∵DC =21BF ，BC =10,∴25BF =10,∴BF =4,∴DC =2．故选C ．6．B 点拨：题图中相似三角形有△ABC ∽△CDA ，△AGE ∽△ABC ，△AFE ∽△CB E ，△BGE ∽△BAF ，△AGE ∽△CDA 共5对，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=CD ，∠D =∠ABC ，∴△ABC ≌△CDA ，即△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，∴△AGE ∽△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，AD ∥BC ，∴GE ∥AD ，∴△BGE ∽△BAF ，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，故选B ． 7．A 点拨：如答图1，∵ED ⊥AD ，BC ⊥AC ，∴ED ∥BC ，∴△AED∽△ABC ，∴BCED =AC AD，而AD =8 m ，AC=AD+CD =8+22=30（m ），ED =3.2 m ，∴BC=AD AC ED ∙ =8302.3⨯=12（m ），∴旗杆的高为12 m ，故选A ．答图18．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =2 cm ，∴AB =2BC =4 cm ，∵BC =2 cm ，D 为BC 的中点，动点E 以1 cm/s 的速度从A 点出发，∴BD =21BC =1 cm ，BE=AB －AE ，若∠BED =90°，当A →B 时，∵∠ABC =60°，∴∠BDE =30°，∴BE =21BD =12cm ，∴t =3.5，当B →A 时，t =4+0.5=4.5．若∠BDE =90°，当A →B 时，∵∠ABC=60°，∴∠BED =30°，∴BE=2BD =2 cm ，∴t =4－2=2，当B →A 时，t =4+2=6（舍去）．综上可得：t 的值为2或3.5或4.5，故选D ．二、9．28 点拨：设另一个多边形的周长是x ，依题意，有x ∶（1+2+3+4+5+6）=8∶6，解得x =28，故另一个多边形的周长是28． 10．4∶9 点拨：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵AD ∶DB =2∶1，∴AD ∶AB =2∶3，∴S △ADE ∶S △ABC =4∶9．11．∠2=∠ACB 点拨：要使△ACD ∽△ABC ，已知有一对公共角，则可添加∠2=∠ACB 或∠1=∠B ，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，答案不唯一．12．3 点拨：如答图2，过P 点作PD ∥BC 交AC 于D ，过P 点作PE ∥AC ，交BC 于E ，当PD ∥BC 时，△APD ∽△ABC ；当PE ∥AC 时，△BPE ∽△BAC ；连接PC ，∵∠A =36°，AB=AC ，点P 在AC 的垂直平分线上，∴AP=PC ，∠ABC=∠ACB =72°，∴∠ACP =∠P AC =36°，∴∠PCB =36°，∴∠B =∠B ，∠PCB =∠A ，∴△CPB ∽△ACB ，故过点P 的△ABC 的相似线最多有3条，故答案为3．答图213．1.8 m 点拨：∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，设CD 到AB 距离为x m ，则7.27.2x －=CD AB ，又∵AB =2 m ，CD =6 m ，∴7.27.2x －=31，∴x =1.8，故答案为1.8 m ．14．3 点拨：延长CB 到E ，使EB =CB ，连接DE 交AB 于P ．则DE 就是PC+PD 的和的最小值，如答图3．∵AD ∥BE ，∴∠A =∠PBE ，∠ADP =∠E ，∴△ADP ∽△BEP ，∴AP ∶BP =AD ∶BE =4∶6=2∶3，∴PB =23P A ，又∵P A+PB=AB =5，∴PB =53AB =3．答图315．5 点拨：∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ；又∵AD ∥BC ，∴∠BEA =∠DAE =∠BAE ，∴AB=BE=6 cm ，∴EC =9－6=3（cm ），∵BG ⊥AE ，垂足为G ，∴AE =2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB =90°，AB =6 cm ，BG =42 cm ，∴AG =2BG ＡＢ—２ =2 cm ，∴AE =2AG =4 cm ；∵EC ∥AD ，∴EF AE EF + =AD EC =CD FC FC + =93=31，∴4+EF EF =31，6+FC FC =31,解得：EF =2 cm ，FC =3 cm ，∴EF+CF 的长为5 cm ，故答案为5．16．（2，4－22） 点拨：∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴OA=OC =2，OB =22，∵QO=OC ，∴BQ=OB －OQ =22－2，∵AB ∥OC ，∴△BPQ ∽△OCQ ，∴OC BP =OQBQ，即2BP =2222—，解得BP =22－2，∴AP=AB －BP =2－（22－2）=4－22，∴点P 的坐标为（2，4－22），故答案为（2，4－22）．三、17．解：如答图4，过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，∠BA C=120°，∴∠B =∠C =30°，BC =2BD ，设AD=x ，则AB =2AD =2x ，根据勾股定理，BD =22AD AB — =()222x x — =3x ，∴BC =23x ，∴AB ∶BC =2x ∶23x =1∶3．答图418．证明：在△DEF 中，∠D =180°－∠E －∠F =180°－79°－54°=47°，∵∠C =∠F =54°，∠A =∠D =47°，∴△ABC ∽△DEF . 19．解：∵∠A =70°，∠B =45°，∴∠C =180°－∠A －∠B =180°－70°－45°=65°，∵△ADE ∽△ABC ，∴∠AED =∠C =65°；AE ∶AC=AD ∶AB ，而AE =3 cm ，EB =4 cm ，AD =4 cm ，∴AB=AE+EB =4+3=7（cm ）,∴AC =473 =421（cm ）．∴∠AED 的度数为65°，AC 的长为421cm ． 20．解：由题意得，MH =8 cm ，BH =40 cm ，则BM =32 cm ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，AD =50 cm ，BC =20 cm ，∴AH =21（AD －BC ）=15 cm ．∵EF ∥AD ，∴△BEM ∽△BAH ，∴AH EM =BHBM ，即15EM =4032，解得：EM =12 cm ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，且EF ∥AD ，∴EF=EM+NF+BC =2EM+BC =44 cm ． 答：横梁EF 应为44 cm ．21．证明：（1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∵在正方形ABCD 中，∠ABH +∠CBG =90°，∠CBG +∠BCG =90°，∠BAH +∠ABH =90°，∴∠BAH =∠CBG ，∠ABH =∠BCG ，AB=BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴BH=CG .（2）∵∠BFC =∠CFG ，∠BCF =∠CGF=90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴BF FC =FCGF，即FC 2=BF ·GF ； （3）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∴∠CBG+∠BCG =90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD =90°，∴∠CBG +∠BFC =90°，∴∠BCG =∠BFC ,∵∠CBG =∠FBC ,∴△BCG ∽△BFC ，∴BFBC=ＢＣＢＧ,BC 2=BG ·BF ，∵AB =BC ，∴AB 2=BG ·BF ，∴22AB FC =BF BG BF FG ⋅⋅，即22ABFC =GB GF．22．解：（1）如答图5，△OA 1B 1为所求作的三角形．答图5（2）由（1）可得点A 1、B 1的坐标分别为A 1（4，0）、B 1（2，－4），故设线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）， ∴⎩⎨⎧+=+=,24,40b k b k － 解得⎩⎨⎧==.82－，b k故线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为：y =2x －8． 23．解：∵如答图6，答图6在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4 cm ，BC =3 cm ．∴根据勾股定理，得AB =22BC AC — =5 cm ．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AB AM =AC AP ，即54t —=425t —，解得t =23；②当△APM ∽△ABC 时，AC AM =AB AP ，即44t —=525t—，解得t =0（不合题意，舍去），综上所述，当t =23时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似.（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如答图6，过点P作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴△BPH ∽△BAC ，∴AC PH =BABP，即4PH =52t ，∴PH =58t cm ，∴S =S △ABC －S △BPN =21×3×4－21×（3－t ）·58t =54(t －23)2+521（0＜t ＜2.5）．∵54＞0，∴S 有最小值．当t =23时，S 最小值=521．答：当t =23时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是521cm 2.。
查补重难点08.解直角三角形及其应用考点一：解直角三角形及其性质1.锐角三角函数的性质当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大；cos A随∠A的增大而减小；tan A随∠A的增大而增大。
2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
3.在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=ac，cosA=sinB=bc，tanA=ab；4）sin2A+cos2A=1。
4.三角函数特殊值（熟记）：sin30°=12；sin45°=22；sin60°=32；cos30°=32；cos45°=22；cos60°=12；tan30°=33；tan45°=1；tan60°=3题型1.求锐角三角函数值在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比，但最重要的还是要以记清三角函数特殊角的函数值为前提。
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。
例1．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD =，13AD BD =，则tan B =．变式1．（2022·江苏扬州·中考真题）在ABC ∆中，90C ∠=︒，a b c 、、分别为A B C ∠∠∠、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为．变式2．（2023·江苏盐城·模拟预测）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD 中(其中点E ，F ，G ，H 都在矩形边上)，若:7:6AB BC =，则AGF ∠的正切值为．题型2.网格图与锐角三角函数在网格中求锐角三角形函数值，关键是利用锐角边上的格点找到直角三角形或构造直角三角形来进行求解。
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
绝密★启用前寒假分类复习攻略冀教版九年级第一学期数学 ----图形的相似、解直角三角形、圆及投影与视图一、单选题（计40分）1．（本题4分）如果C 是线段AB 一点，并且AC ＞CB ，AB=1，那么AC 的长度为（ ）时，点C 是线段AB 的黄金分割点．A ．0.618B ．C ．D ．2．（本题4分）如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB=2m ，CD=5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则点P 到AB 的距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．56m D ．35m 3．（本题4分）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似 的是（ ）A ．∠C=∠AEDB ．∠B=∠DC ．AD AB =DE BC D ．AD AB =AEAC4．（本题4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝257，则tanB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．6．（本题4分）如图，中，弦与直径相交于点，且，，，则的半径为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．67．（本题4分）如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠ACB 度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．（本题4分）下面四幅图是小刚一天之中在学校观察到的旗杆的影子，请将它们按时间先后顺序进行排列（ ）A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(1)(4)C ．(2)(1)(3)(4)D ．(4)(1)(3)(2)9．（本题4分）如图，有一圆心角为120°、半径长为6cm 的扇形OAB ，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是 cm.10．（本题4分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）A ．3，．2，．3，2 D ．2，3 二、填空题（计20分）11．（本题5分）如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm ，幻灯片到屏幕的距离为30cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为__________．12．（本题5分）如图，在中，是边上的中线，是边上一点．射线交于点，且，则等于________．13．（本题5分）如图，要测量山上石油钻井的井架高BC ，先从山脚A 处测得AC=48米，塔顶B 的仰角α=45°，已知山坡的坡角β=30°，则井架高BC 为______米（精确到114．（本题5分）如图，半圆O 的直径AB=7，两弦AC 、BD 相交于点E ，弦CD=27，且BD=5，则DE=_____．三、解答题（计90分）15．（本题8分）计算：（1）sin 260°•tan45°﹣tan30°．（2）．16．（本题8分）如图，点，在上，且，．求证：．17．（本题8分）在△ABC 中，AB=6，AC=8，D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，设BD=x （0＜x ＜6），CE=y （0＜y ＜8）．（1）当x=2，y=5时，求证：△AED ∽△ABC ； （2）若△ADE 和△ABC 相似，求y 与x 的函数表达式．18．（本题8分）在小岛南偏西的方向上，有一艘渔船正在追赶鱼群，渔船所在处与小岛的距离为海里，已知在小岛为中心，周围海里有暗礁，如果渔船继续向东追赶鱼群，有触礁的危险吗？19．（本题10分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连结PE ，PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．20．（本题10分）如图，开发区为提高某段海堤的防潮能力，将长的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形）的堤面加宽，将原来的背水坡度（坡比）改成现在的背水坡（坡比），已知，求完成这一工程所需的土方．21．（本题12分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 在⊙O 上，并且OC⊥AB，P 为⊙O 上的一于R ．求证：BQ=QR ．22．（本题12分）某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5 m ． （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，画出此时乙木杆的影子DF ． （2）△ABC ∽△DEF ，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.6 m 和1 m ，那么甲木杆的高度是多少？23．（本题14分）有一块两直角边长分别为AC=3cm 和BC=4cm 的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1)；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图(2).用计算说明两种情形下正方形的面积哪个大？参考答案1．C【解析】【分析】根据黄金比值是计算即可．【详解】∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，∴AC=AB=．故选C．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．2．C【解析】【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．【详解】解：设点P到AB的距离是xm∵AB∥CD∴△ABP∽△CDP∴∴x=故选：C．【点睛】此题考查相似三角形的对应高的比等于相似比,解题关键是熟练掌握性质．3．C【解析】【分析】由题意可知∠DAE=∠BAC，则再添加一个角对应相等或添加∠DAE和∠BAC的夹角边对应成比例均可证明两三角形相似.【详解】解：由题意可知∠DAE=∠BAC，若添加∠C=∠AED或∠B=∠D均可由“两角对应相等，两三角形相似”判定；若添加=，则由“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”判定；若只添加=，无法证明两三角形相似，故选择C.【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法.4．C【解析】【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长即可．【详解】如图所示：∵cos A＝，∴设AC＝7x，AB＝25x，则BC＝24x，则tan B＝．故选：C．【点睛】本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题的关键．5．B【解析】【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【详解】解：∵∠ABC=40°，∴∠ADC=∠ABC=40°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-∠ADC=50°．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．6．C【解析】【分析】根据相交弦定理得出AP×BP＝CP×DP，求出CP，求出CD即可．【详解】由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，∵PA＝4，PB＝6，PD＝2，∴CP＝12，∴DC＝12＋2＝14，∵CD是⊙O直径，∴⊙O半径是7．故选：C．【点睛】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出AP×BP＝CP×DP．7．C【解析】【分析】连接BC，根据题意PA，PB是圆的切线以及可得的度数，然后根据，可得的度数，因为是圆的直径，所以，根据三角形内角和即可求出的度数。
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。
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2017年中考数学一轮复习第20讲《解直角三角形》【考点解析】知识点一、锐角三角函数的概念.【例1】(2015浙江丽水）如图,点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．的是( ）A ．BC BDB ．AB BC C ．AC AD D ．AC CD 【分析】由图可知∠α=∠ACD ，所以cos α=cos ∠ACD ，∠α是RT △ABC 、△BCD 的内角，∠ACD 是RT △ACD 的内角,共有三种表示方法，故可做出判断．【解析】根据ACCD ACD AB BC BC BD =∠===cos cos α,所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误． 故选C ．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【点评】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．【变式】（2016•怀化）在Rt△ABC 中，∠C=90°,sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC 和AB 的比值，设出BC 、AB,然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍)，则BC=4x=8cm，故选:C．【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．知识点二、特殊角的三角函数值【例2】(2016•天津）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解:sin60°=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．【变式】（2016•玉林)sin30°=()A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：sin30°=．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．知识点三、解直角三角形【例3】1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．: D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′,根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′,∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=0.5A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．【变式】如图,将一副三角板按图中方式叠放,BC=4,那么BD=【答案】6【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°,BC=4,∴AB=BC•sin∠C=4×22．在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，2，∴BD=2226 tan303AB==︒。
