下载文档原格式
第3课时力与曲线运动专题一 力与运动栏目索引考点1 曲线运动的性质和特点考点2 平抛运动规律的应用考点3 圆周运动问题考点4 万有引力定律的理解和应用1.条件F 合与v 的方向不在同一直线上，或_______方向与速度方向不共线.2.性质(1)F 合恒定：做匀变速曲线运动.(2)F 合不恒定：做_________曲线运动.3.速度方向沿轨迹_____方向4.合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与_____方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧.加速度非匀变速切线合力5.合运动与分运动物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成.6.合运动的性质根据合外力(或合加速度)与合初速度的方向关系判断合运动的性质.7.运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵循平行四边形定则.8.绳(杆)关联物体的速度(1)若由绳(杆)连接的两运动物体的运动方向沿绳(杆)方向，则两物体速度大小相等.(2)若物体运动方向不沿绳(杆)方向，将其速度分解到沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向，再参考上一条.例1 (2019·江西宜春市上学期期末)如图1所示是物体在相互垂直的x 方向和y 方向运动的v －t 图象.以下判断正确的是图1A.在0～1 s 内，物体做匀速直线运动B.在0～1 s 内，物体做匀变速直线运动C.在1～2 s 内，物体做匀变速直线运动D.在1～2 s 内，物体做匀变速曲线运动√解析 在0～1 s内，水平方向为匀速运动，竖直方向为匀加速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：a x＝4 m/s2竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：a y＝3 m/s2根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误.变式训练1.(2019·江苏南通市通州区、海门、启东期末)质量不同的两个小球A 、B 从同一位置水平抛出，运动过程中两小球受到的水平风力恒定且相等，运动轨迹如图2所示，则图2A.B 的初速度一定大B.B 的加速度一定大C.A 的质量一定小D.A 水平方向的平均速度一定小√解析 小球在竖直方向只受重力，所以竖直方向做自由落体运动，由题图可知，A小球水平位移小于B小球水平位移，水平方向上两小球做匀减速直线运动，所以A水平方向的平均速度一定比B的小，由于无法知道两小球落地时的水平速度大小，所以无法判断两球的初速度大小和加速度大小，则无法判断两球的质量关系.2.(2019·山东济南市3月模拟)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件，如图3所示，连杆下端连接活塞Q ，上端连接曲轴P .在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P 做线速度大小为v 0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是图3A.当OP 与OQ 垂直时，活塞运动的速度等于v 0B.当OP 与OQ 垂直时，活塞运动的速度大于v 0C.当OPQ 在同一直线时，活塞运动的速度等于v 0D.当OPQ 在同一直线时，活塞运动的速度大于v 0√当OPQ在同一直线时，P点沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误.1.位移关系：x ＝v 0ty ＝_____2.速度关系：v x ＝v 0v y ＝____gt 2tan α分清题目条件是位移(方向)关系，还是速度(方向)关系，选择合适的关系式解题.3.基本思路处理平抛(或类平抛)运动时，一般将合运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动.4.两个突破口(1)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值.(2)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值.例2 (多选)(2019·黑龙江齐齐哈尔市联谊校期末)如图4所示，D 点为固定斜面AC 的中点.在A 点和D 点分别以初速度v 01和v 02水平抛出一个小球，结果两球均落在斜面的底端C .空气阻力不计.设两球在空中运动的时间分别为t 1和t 2，落到C 点前瞬间的速度大小分别为v 1和v 2，落到C 点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则下列关系式正确的是图4√√设斜面的倾角为α，小球落到C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角为θ.3.(2019·江苏泗阳县第一次统测)如图5所示，某同学由O 点先后抛出完全相同的3个小球(可将其视为质点)，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上.已知M 、N 、P 、O 四点距离水平地面高度分别为4h 、3h 、2h 、h .不计空气阻力，以下说法正确的是A.击中P 点的小球动能最小B.分别到达M 、N 、P 三点的小球的飞行时间之比为1∶2∶3C.分别到达M 、N 、P 三点的小球的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D.到达木板前小球的加速度相同√变式训练图5解析 将运动逆向看，可看成是三个平抛运动，且达到O点时水平位移相等，做平抛运动物体的加速度为重力加速度，故到达木板前小球的加速度相同，故D正确.4.(2019·广东茂名市第一次综合测试)如图6所示，有一内壁光滑的高为H ＝5 m 、宽为L ＝1 m 的直立长方形容器，可视为质点的小球在上端口边缘O 以水平初速度v 0向左抛出，正好打在E 点，若球与筒壁碰撞时无能量损失，不计空气阻力，重力加速度的大小为g ＝10 m/s 2.则小球的初速度v 0的大小可能是A.2 m /sB.4 m/sC.6 m /sD.9 m/s 图6√解析 根据平抛运动的分析可知，(2n ＋1)L ＝v 0t ，n ＝0,1,2,3…，解得v 0＝(2n ＋1)L ，n ＝0,1,2,3…，所以v 0的可能值为1 m/s,3 m/s,5 m/s,7 m/s,9 m/s …故D 正确，A 、B 、C 错误.1.物理量间的关系2.两种传动方式(1)齿轮传动(皮带传动、摩擦传动)：两轮边缘_______大小相等.(2)同轴转动：轮上各点_______相等.3.基本思路(1)受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径.线速度角速度4.技巧方法竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度通常利用动能定理来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析.5.两种模型(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是 .(2)杆球模型：小球能到达最高点的条件是v≥0.例3 (2019·北京市东城区上学期期末)如图7所示，长度为L 的轻绳一端固定于O 点，另一端系一个质量为m 的小球，将轻绳拉直到水平状态时无初速度释放小球.重力加速度为g，问：图7(1)小球经过最低点时，轻绳受到的拉力大小；答案 3mg 联立解得F T ＝3mg结合牛顿第三定律可知，小球在最低点时，轻绳受到的拉力大小为3mg .后能够绕钉子做一个完整的圆周运动(忽略钉子的直径)，钉子A的位置到悬点O的距离至少为多大？答案 0.6L 解析 设钉子A的位置到悬点O的距离为x，小球在细绳与钉子相碰后做圆周运动的轨道半径为r小球恰能通过最高点时，由牛顿第二定律可得：解得：x＝0.6L.(3)经验告诉我们，当轻绳与钉子相碰时，钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断.请你通过推导计算解释这一现象.(推导过程中需要用到的物理量，自己设定)答案 见解析解析 设小球在最低点时到钉子的距离为R，可见小球在最低点时到钉子的距离越小，轻绳拉力越大，绳就越容易断.小球摆到最低点过程中，由机械能守恒定律可得：变式训练5.(多选)(2019·江苏南京市、盐城市一模)乘坐列车时，在车厢内研究列车的运动情况，小明在车厢顶部用细线悬挂一个小球.当列车以恒定速率通过一段圆弧形弯道时，小明发现悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，则下列判断正确的是A.细线对小球的拉力等于小球的重力B.外侧轨道与轮缘间没有侧向挤压作用C.小球不在悬点的正下方，偏向弯道的内侧D.放在桌面上的茶杯所受支持力垂直于桌面，但并非竖直向上√√由于悬挂小球的细线与车厢侧壁平行，绳子的拉力与重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则小球一定不在悬点的正下方，故C错误；在弯道处火车内轨与外轨之间存在高度差，所以火车的桌面不是水平的，根据弹力方向的特点可知，放在桌面上的茶杯所受支持力垂直于桌面，但并非竖直向上，故D正确.6.(2019·四川乐山市第一次调查研究)如图8所示，在半径为R 的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m 的小球在距碗顶高度为h 的水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则小球做匀速圆周运动的角速度为图8√解析 根据受力分析和向心力公式可得：mg tan θ＝mrω2，小球做匀速圆周运动的轨道半径为：r ＝R sin θ；(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.2.天体质量和密度(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .3.变轨问题(1)同一卫星在不同轨道上运行时机械能和周期不同，轨道半径越大，机械能越大，周期越长.(2)卫星经过不同轨道相交的同一点时，加速度相等且外轨道的速度大于内轨道的速度.例4 (2019·贵州安顺市上学期质量监测)如图9所示，A 为地球表面赤道上的物体，B 为一轨道在赤道平面内的实验卫星，C 为在赤道上空的地球同步卫星，地球同步卫星C 和实验卫星B 的轨道半径之比为3∶1，两卫星的环绕方向相同，那么关于A 、B 、C的说法正确的是图9A.B 、C 两颗卫星所受地球万有引力之比为1∶9B.B 卫星的公转角速度大于地面上随地球自转的物体A 的角速度C.同一物体在B 卫星中对支持物的压力比在C 卫星中小D.B 卫星中的宇航员一天内可看到9次日出√解析 根据万有引力定律知，物体间的引力与两个物体的质量及两者之间的距离均有关，由于B、C两卫星的质量关系未知，所以B、C两颗卫星所受地球引力之比不一定为1∶9，故A错误；C卫星的轨道半径比B卫星的轨道半径大，由开普勒第三定律知，B卫星的公转周期小于C卫星的公转周期，而C卫星的公转周期等于地球自转周期，所以B卫星的公转周期小于随地球自转的物体的运动周期，因此B卫星的公转角速度大于地面上随地球自转的物体A的角速度，故B正确；物体在B、C卫星中均处于完全失重状态，物体对支持物的压力均为零，故C错误；变式训练7.(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆.在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是√解析 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律可知，随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.8.(多选)(2019·江西上饶市重点中学六校第一次联考)A 、B 两个半径相同的天体各有一个卫星a 、b 环绕它们做匀速圆周运动，两个卫星的环绕周期之比为4∶1，A 、B 各自表面重力加速度之比为4∶1(忽略天体的自转)，则A.a 、b 轨道半径之比为4∶1B.A 、B 密度之比为4∶1C.a 、b 与天体的连线扫过相同面积所需时间之比为1∶16D.a 、b 所受向心力之比为1∶16√√两卫星a、b的质量不确定，无法比较向心力的大小关系，选项D错误.例5 (2019·河南驻马店市上学期期终)天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计.根据一对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(k<1)，究其原因，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中可能均匀分布着暗物质.若此暗物质确定存在，其质量应为√根据观测结果，星体的运动周期T＝kT0<T0，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同，例6 (2019·山东临沂市2月质检)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图10所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是A.沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道ⅡB.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C.沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D.在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大√图10解析 沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，选项A错误；因轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项B正确；根据可知，沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，选项D错误.。
第1讲物体的曲线运动(建议用时:40分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分.第1～5题只有一项符合题目要求,第6～8题有多项符合题目要求)1.(2020·辽宁大连模拟)一只船在静水中的速度为4 m/s,它要渡过一条宽度为200 m的河,河水的流速为3 m/s.下列说法正确的是( B )A.船不可能渡过河B.船有可能垂直到达对岸C.船不能垂直到达对岸D.船到达对岸所需时间都是50 s解析:当船头指向始终垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间为t min== s=50 s;当船头指向与河岸不垂直时,船垂直于河岸方向的分速度变小,渡河时间变长,选项A,D错误;由于船相对于水的速度大于水流速度,根据平行四边形定则可知,它的合速度,即船实际的速度可以与河岸垂直,船可以垂直于河岸行驶,最终到达对岸,最小位移等于200 m,选项B正确,C错误.2. (2020·全国Ⅱ卷,14)如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环,小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力( A )A.一直不做功B.一直做正功C.始终指向大圆环圆心D.始终背离大圆环圆心解析:大圆环光滑,对小环只有弹力F N,弹力始终沿径向,与速度垂直,不做功,选项A正确,B错误;小环位于圆心上方某处时,F N沿半径向外,小环位于圆心以下某处时,F N沿半径向里,选项C,D错误.3. (2020·河南中原名校联考)如图所示,细线一端固定在天花板上的O点,另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球,橡胶球静止时,竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘.现将CD光盘按在桌面上,并沿桌面边缘以速度v匀速移动,移动过程中,CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边缘,当悬线与竖直方向的夹角为θ时,小球上升的速度大小为( A )A.vsin θB.vcos θC.vtan θD.解析: 如图,将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度,而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等,故可得v球=vsin θ,选项A正确.4. (2020·江西重点中学盟校联考)如图所示,固定的半圆形竖直轨道,AB为水平直径,O为圆心,同时从A 点水平抛出甲、乙两个小球,速度分别为v1,v2,分别落在C,D两点,OC,OD与竖直方向的夹角均为37°(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),则( D )A.甲、乙两球下落到轨道上的时间不相等B.甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同C.v1∶v2=1∶3D.v1∶v2=1∶4解析:由图可知,两个小球下落的高度是相等的,根据h=gt2可知,甲、乙两球下落到轨道上的时间相等,速度变化量Δv=gt相同,选项A,B错误;设圆形轨道的半径为R,则A,C两点间的水平位移为x1=R-Rsin37°=0.4R,A,D两点间的水平位移为x2=R+Rsin 37°=1.6 R,则x2=4x1,由h=gt2,可知t相同,又由v=可知,v2=4v1,选项C错误,D正确.5. (2020·山西晋中一模)如图所示为一个做匀变速曲线运动的物块的轨迹示意图,运动至A点时速度大小为v0,经一段时间后物块运动至B点,速度大小仍为v0,但相对于A点时的速度方向改变了90°,则在此过程中( D )A.物块的运动轨迹AB可能是某个圆的一段圆弧B.物块的动能可能先增大后减小C.物块的速度大小可能为D.B点的加速度方向与速度方向的夹角小于90°解析: 物块做匀变速曲线运动,则加速度的大小与方向都不变,所以运动的轨迹是一段抛物线,不是圆弧,选项A错误;由题意,物块运动到B点时速度方向相对A点时的速度方向改变了90°,速度沿B点轨迹的切线方向,则知加速度方向垂直于AB的连线向下,合外力也向下,质点做匀变速曲线运动,质点由A到B过程中,合外力先做负功,后做正功,由动能定理可得,物块的动能先减小后增大,选项B错误;物块的加速度方向垂直于AB的连线向下,根据题意可知速度方向改变90°,则A点的速度方向与AB连线方向夹角为45°,如图所示,所以在物块运动过程中的最小速度为v0,选项C错误;物块在B点速度方向沿B点轨迹的切线方向,而加速度方向垂直于AB的连线向下,可知二者之间的夹角小于90°,选项D正确.6. 如图所示,半径可变的四分之一光滑圆弧轨道置于竖直平面内,轨道的末端B处切线水平,现将一小物体从轨道顶端A处由静止释放.若保持圆心的位置不变,改变圆弧轨道的半径(不超过圆心离地的高度).半径越大,小物体( BD )A.落地时的速度越大B.平抛的水平位移先增大后减小C.到圆弧轨道最低点时加速度越大D.落地时的速度与竖直方向的夹角越大解析:根据动能定理知mgH=mv2,总高度不变,末速度大小不变,选项A错误;根据平抛运动规律知h=gt2,x=v0t,mgR=m,得x=·=2,平抛运动的水平位移随R的增大先增大后减小,选项B正确;到圆弧轨道最低点时加速度a==2g,故加速度大小与R无关,选项C错误;小物体落地时竖直分速度v y=gt,设落地时速度与水平方向的夹角为θ,有tan θ===,R越大,落地时的速度与竖直方向的夹角越大,选项D正确.7. (2020·湖南长沙模拟)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时,烧断细线,两个物体的运动情况是( BD )A.两物体沿切线方向滑动B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动D.物体A发生滑动,离圆盘圆心越来越远解析:两物体随圆盘一起做匀速圆周运动的角速度相同,由F=mω2r可知,在质量相同的情况下,A需要的向心力较大,当两个物体刚好还未发生滑动时,其摩擦力达到最大静摩擦力,A需要的向心力大于最大静摩擦力,而B需要的向心力小于最大静摩擦力,此时细线对A有拉力.烧断细线,细线对A的拉力消失,由于A需要的向心力大于最大静摩擦力,所以A将做离心运动;而B需要的向心力小于最大静摩擦力,所以B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,选项B,D正确.8.(2020·吉林实验中学二模) 如图所示,水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动,从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中,下列说法正确的是( BC )A.木块A处于超重状态B.木块A处于失重状态C.B对A的摩擦力越来越小D.B对A的摩擦力越来越大解析:A,B一起做匀速圆周运动.当由水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中,加速度大小不变,方向指向圆心.在竖直方向有竖直向下的分加速度,因此A,B都处于失重状态;对木块A,在a点时B对A的摩擦力提供向心力,但在b点重力及B对A的支持力的合力提供向心力,摩擦力为零,即从a到b摩擦力越来越小.二、非选择题(本大题共2小题,共36分)9.(18分)滑板运动员在U形槽中的运动可以简化成一个物块在半径为R的半圆弧槽中的运动,半圆弧槽始终静止不动,若物块从A点滑下在半圆弧槽最低点B的速度为v0,物块的质量为m,物块与半圆弧槽的动摩擦因数为μ,求:(1)物块在最低点对半圆弧槽的压力;(2)物块在半圆弧槽最低点的加速度大小;(3)若物块在C点对半圆弧槽的压力大小等于mg,则物块从C点抛出后经多长时间还能回到C点?解析:(1)物块在半圆弧槽底部时受到重力、槽底对物块向上的支持力F和向左的滑动摩擦力,由牛顿第二定律得F N -mg=m即F N=mg+m根据牛顿第三定律,物块对槽底的压力F N′=F N=mg+m,方向竖直向下.(2)物块在半圆弧槽最低点时的向心加速度大小为a1=切向加速度大小为a2==μ(g+)因此物块在半圆弧槽最低点的加速度大小为a==.(3)若物块在C点对半圆弧槽的压力大小等于mg,设物块在C点的速度为v,则mg=mv=物块从C点抛出后做竖直上抛运动,再回到C点的时间t=2·=2.答案:(1)mg+m方向竖直向下(2)(3)210.(18分)(2020·辽宁大连模拟)如图所示,半径R=0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内,半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A.一质量m=0.10 kg的小球,以初速度v0=7.0 m/s 在水平地面上向左做加速度a=3.0 m/s2的匀减速直线运动,运动s=4.0 m后,冲上竖直半圆环,最后小球落在C点,(取重力加速度g=10 m/s2)求:(1)小球运动到A点时的速度大小;(2)小球经过B点时对轨道的压力大小;(3)A,C间的距离.解析:(1)小球向左运动的过程中小球做匀减速直线运动,有-=-2as解得v A==5 m/s.(2)如果小球能够到达B点,设在B点的最小速度为v min,有mg=m解得v min=2 m/s.而小球从A到B的过程中根据机械能守恒,有mg·2R+m=m解得v B=3 m/s.由于v B>v min,故小球能够到达B点,且从B点做平抛运动,由牛顿第二定律可知F+mg=m,解得F=1.25 N,由牛顿第三定律可知,小球对轨道的压力大小为1.25 N.(3)在竖直方向有2R=gt2,在水平方向有s AC=v B t,解得s AC=0.6 m故A,C间的距离为0.6 m.答案:(1)5 m/s (2)1.25 N (3)0.6 m高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
第三讲 力与物体的曲线运动[知识建构][高考调研]1.常规知识仍是热点，稳中略微变化：2017年全国卷Ⅰ对平抛运动的考查趋于基础；全国卷Ⅱ第17题将平抛与圆周结合在一起考查；第19题有别于往年圆形轨道的分析，考查了椭圆轨道的分析和计算．全国卷Ⅲ天体运动往年常考查不同轨道相关量的比较，今年则主要考查同一轨道质量变化下相关量的比较．2.注重对学科能力的考查：《考试说明》中对各种能力进行了细化和例证，在该专题中体现也较为明显.2017年全国卷Ⅰ第15题试题较基础，主要考查对平抛运动规律的理解能力；2017年全国卷Ⅱ第17题涉及二次函数求极值，考查了应用数学处理物理问题的能力等．3.常用的思想方法：运动的合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题的方法、建立类平抛运动模型方法、等效代替的思想方法等.[答案] (1)x ＝v 0t 、y ＝2gt 2、v x ＝v 0、v y ＝gt(2)合力与速度不共线 (3)运动的合成与分解 (4)线速度v ＝ΔL Δt 、角速度ω＝ΔθΔt 、周期T ＝2πω、频率f ＝1T、向心加速度a ＝ω2r ＝v 2r 、向心力F ＝mω2r ＝m v 2r考向一 运动的合成与分解[归纳提炼]解决运动的合成与分解的一般思路1．明确合运动或分运动的运动性质．2．确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解．3．找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)． 4．运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．(2017·河北六校联考)如图所示，AB 杆以恒定角速度ω绕A 点在竖直平面内顺时针转动，并带动套在固定水平杆OC 上的小环M 运动，AO 间距离为h .运动开始时AB 杆在竖直位置，则经过时间t (小环仍套在AB 和OC 杆上)，OM 杆水平，此时小环M 的速度大小为( )A.ωh cos 2ωt B.ωhcos ωtC ．ωhD ．ωh tan ωt[解析] 经过时间t ，∠OAB ＝ωt ，则AM 的长度为hcos ωt ，则AB 杆上与小环M 的接触点绕A 点的线速度v ＝hωcos ωt ，将小环M 的速度沿AB 杆方向和垂直于AB 杆方向分解，垂直于AB 杆方向的分速度等于速度v ，则小环M 的速度v ′＝v cos ωt ＝ωhcos 2ωt，故A 正确．[答案] A(1)常见关联速度分解模型及方法(2)速度投影定理：两个物体在不可伸长的绳(或杆)的连接下沿不同方向运动，则两物体沿绳(或杆)方向的分速度相等．[熟练强化]1．(2017·衡水中学月考)如图所示，A、B、C三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体A、B的速度向下，大小均为v，则物体C的速度大小为( )A．2v cosθB．v cosθC.2v cosθD.v cosθ[解析] 将物体C的速度分解，沿左边绳子方向速度大小等于物体A的速度大小，而沿右边绳子方向的速度大小等于物体B的速度大小，且绳子在竖直方向的分速度相等，根据平行四边形定则，则有v C ＝vcos θ，故选项D 正确． [答案] D2．(2017·山西大学附中期末)如图所示，悬线一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边缘，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球移动的速度大小为( )A ．v 1＋sin 2θ B ．v sin θC ．v tan θ D.vtan θ[解析] 小球在水平方向以速度v 匀速移动，在竖直方向向上运动的速度等于悬线的下半部分收缩的速度．易知悬线收缩的速度为v 线＝v sin θ，故小球运动的速度为v 1＋sin 2θ，A 正确．[答案] A考向二 平抛运动和类平抛运动[归纳提炼]研究平抛运动的常用方法 1．分解速度设平抛运动的初速度为v 0，在空中运动时间为t ，则平抛运动在水平方向的速度为：v x＝v 0，在竖直方向的速度为：v y ＝gt ，合速度为：v ＝v 2x ＋v 2y ，合速度与水平方向夹角θ满足tan θ＝v yv x.2．分解位移平抛运动在水平方向的位移为：x ＝v 0t ，在竖直方向的位移为：y ＝12gt 2，相对抛出点的位移(合位移)为：s ＝x 2＋y 2，合位移与水平方向夹角φ满足tan φ＝y x.3．分解加速度对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系，把重力加速度g 正交分解为g x 、g y ，把初速度v 0正交分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解，可以避繁就简，化难为易．如图所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v 0沿x轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1，B 沿光滑斜面(已知斜面倾角为θ)运动，落地点为P 2，P 1和P 2在同一水平面上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 两质点的运动时间相同 B ．A 、B 两质点在x 轴方向上的位移相同C ．A 、B 两质点在运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 两质点落地时的速度大小相同[思路点拨] (1)B 质点做类平抛运动，加速度大小不是g . (2)落地速度应为水平速度与竖直速度的合成．[解析] 对A 、B 两质点的运动进行分解，由牛顿第二定律可知，A 质点在运动过程中的加速度大小a 1＝g ，B 质点在运动过程中的加速度大小a 2＝g sin θ，选项C 错误；设O 点与水平面之间的高度差为h ，A 质点的运动时间为t 1，B 质点的运动时间为t 2，则由h ＝12gt 21可得t 1＝2hg ；由h sin θ＝12g sin θ·t 22可得t 2＝1sin θ2hg，故t 1<t 2，选项A 错误；设A质点在x 轴方向上的位移为x 1，B 质点在x 轴方向上的位移为x 2，则有x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，因t 1<t 2，故x 1<x 2，选项B 错误；设A 质点落地时的速度大小为v A ，B 质点落地时的速度大小为v B ，则有v A ＝v 20＋a 1t 12，v B ＝v 20＋a 2t 22，代入数据可解得v A ＝v 20＋2gh ，v B＝v20＋2gh，所以v A＝v B，故选项D正确．[答案] D类平抛运动是平抛运动的变形形式，同样具有合外力恒定且合外力垂直于初速度的特征.此类问题的解题思路仍然是平抛运动的解题思路，即将物体的运动分解为沿初速度方向上的匀速直线运动和垂直于初速度方向上的初速度为零的匀变速直线运动，然后运用相关物理规律进行处理.类平抛运动模型在带电粒子在匀强电场中的偏转问题中最为常见.[熟练强化]迁移一平抛运动与斜面组合1．(2017·广东华南三校联考)横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示．它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是( )A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快D．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直[解析] 图中三个小球均做平抛运动，可以看出a、b和c三个小球下落的高度关系为h a>h b>h c，由t＝2hg，得t a>t b>t c，又Δv＝gt，则知Δv a>Δv b>Δv c，A、B项错误．速度变化快慢由加速度决定，因为a a＝a b＝a c＝g，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误．由题给条件可以确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v0时，其落到斜面上的瞬时速度v与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，则v x＝v0，v y＝gt，且需满足v xv y＝v0gt＝tanθ(θ为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tan θ＝12，则v 0＝12gt ，而竖直位移y ＝12gt 2，水平位移x ＝v 0t ＝12gt 2，可以看出x ＝y ，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D 项正确．[答案] D迁移二 平抛运动与圆面组合2．(2017·河北六校联考)如图所示，AB 为竖直放置的半圆环ACB 的水平直径，O 为半圆环圆心，C 为环上的最低点，环半径为R ，两个质量相同的小球分别从A 点和B 点以初速度v 1和v 2水平相向抛出，初速度为v 1的小球落到a 点所用时间为t 1，初速度为v 2的小球落到B 点所用时间为t 2，a 点高度大于b 点高度，不计空气阻力．则下列判断正确的是( )A ．两小球的初速度一定有v 1<v 2B ．两小球落到圆环上所用的时间满足t 1>t 2C ．不论v 1和v 2满足什么关系，两小球都不会垂直打在圆环上D ．若两小球同时水平抛出，不论v 1和v 2满足什么关系，两小球都能在空中相遇 [解析] 两小球平抛，由图可知落在a 点的小球的水平位移大于落在b 点的小球的水平位移，落在a 点的小球的竖直位移小于落在b 点的小球的竖直位移，由x ＝vt ，h ＝12gt 2，得t 1<t 2，v 1>v 2，选项A 、B 错误；从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线必过水平位移的中点，由此可知落在a 、b 点的小球的速度反向延长线不会过圆心，选项C 正确；若速度过小，初速度为v 1的小球落到C 点左侧，初速度为v 2的小球落到C 点右侧，两球一定不会相遇，选项D 错误．[答案] C迁移三 平抛运动与竖直面组合3．如图所示为一同学制作的研究平抛运动的装置，其中水平台AO 长s ＝0.70 m ，长方体薄壁槽紧贴O 点竖直放置，槽宽d ＝0.10 m ，高h ＝1.25 m ，现有一弹性小球从平台上A 点水平射出，已知小球与平台间的阻力为其重力的0.1倍，重力加速度取g ＝10 m/s 2.(1)若小球不碰槽壁且恰好落到槽底上的P 点，求小球在平台上运动的时间； (2)若小球碰壁后能立即原速率反弹，为使小球能击中O 点正下方槽壁上的B 点，B 点和O 点的距离h B ＝0.8 m ，求小球从O 点出射速度的所有可能值．[解析] (1)小球恰好落到P 点，设小球在O 点抛出时的速度为v 0，做平抛运动的时间为t 1，则有水平方向：d ＝v 0t 1竖直方向：h ＝12gt 21解得v 0＝0.2 m/s设小球在平台上运动时加速度大小为a ，则0.1mg ＝ma 解得a ＝1 m/s 2设小球在A 点出射时的速度为v A ，在平台上运动的时间为t 2，则从A 到O ，由运动学公式得v 2A －v 20＝2as ，v A －v 0＝at 2解得t 2＝1 s.(2)水平方向：2nd ＝v 0t (n ＝1,2,3…) 竖直方向：h B ＝12gt 2解得v 0＝0.5n m/s(n ＝1,2,3…)．[答案] (1)1 s (2)0.5n m/s(n ＝1,2,3…)考向三 圆周运动[归纳提炼]1．解决圆周运动力学问题的关键(1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．(2)列出正确的动力学方程F ＝m v 2r ＝mrω2＝mωv ＝mr 4π2T 2.结合v ＝ωr 、T ＝2πω＝2πr v等基本公式进行求解．2．抓住“两类模型”是解决问题的突破点(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．(多选)如图甲所示，轻杆一端与质量为1 kg 、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，经最高点开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v 随时间t 的变化关系如图乙所示，A 、B 、C 三点分别是图线与纵轴、横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，该三点的纵坐标分别是1、0、－5.g 取10 m/s 2，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )A ．轻杆的长度为0.5 mB ．小球经最高点时，杆对它的作用力方向竖直向上C ．B 点对应时刻小球的速度为3 m/sD ．曲线AB 段与坐标轴所围图形的面积为0.6 m [思路路线][解析] 由题可知，A 、B 、C 三点分别对应圆周运动的最高点、最右边的点和最低点．设杆的长度为L ，小球从A 到C 机械能守恒，有12mv 2A ＋2mgL ＝12mv 2C ，所以L ＝v 2C －v 2A 4g ＝－52－1240m ＝0.6 m ，选项A 错误；若小球在A 点恰好对杆的作用力为0，则m v 20L＝mg ，临界速度v 0＝gL＝6.0 m/s>v A ＝1 m/s.由于小球在A 点的速度小于临界速度，所以小球在最高点时受杆竖直向上的支持力，选项B 正确；小球从A 点到B 点有12mv 2A ＋mgL ＝12mv 2B ，得v B ＝v 2A ＋2gL ＝13m/s ，选项C 错误；由于y 轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线AB 段与坐标轴所围图形的面积表示小球从A 点到B 点在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即0.6 m ，选项D 正确．[答案] BD竖直面内的圆周运动问题的解题思路(1)定模型：首先判断是轻绳模型、轻杆模型还是外轨模型；(2)过最高点的条件：轻绳模型中物体在最高点的速度v ≥gR ，轻杆模型中物体在最高点的速度v ≥0，外轨模型中物体在最高点的速度v ≤gR ；(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况； (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合＝F 向；(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列出方程． [熟练强化]迁移一 水平面内的圆周运动1．(多选)(2017·河北六校联考)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分别位于圆心两侧、与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，两物体与圆盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好未发生滑动时，下列说法正确的是( )A．此时细线张力大小为3μmgB．此时圆盘的角速度为2μg rC．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D．此时烧断细线，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动[解析] 由题意可知，两物体刚好未发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg.设此时细线的张力为T，圆盘转动的角速度为ω，由牛顿第二定律，对物体A有：T－μmg＝mω2r，对物体B有：T＋μmg＝mω2·2r，两式联立可解得T＝3μmg，ω＝2μgr，选项A、B、C正确；烧断细线时，A所需向心力大小为F＝mω2r＝2μmg>f m，所以物体A将相对圆盘发生滑动，选项D错误．[答案]ABC迁移二竖直面内圆周运动的“杆模型”2．(2017·河北保定一模)如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则( )A ．小球在管顶部时速度大小为2gRB ．小球运动到管底部时速度大小可能为2gRC ．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mgD ．小球运动到管底部时对管壁的压力为7mg[解析] 小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力．如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg ＝m v 2R，可得v ＝2gR ，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有12mv 21＝2mgR ＋12mv 2，可以解出v 1＝6gR ，小球在底部时，由牛顿第二定律有F N1－mg ＝m v 21R，解得F N1＝7mg .如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有12mv 22＝2mgR ，解得v 2＝4gR ，小球在底部时，由牛顿第二定律有F N2－mg ＝m v 22R，解得F N2＝5mg .C 对，A 、B 、D 错．[答案] C迁移三 竖直面内圆周运动的“绳模型”3．(2017·广东汕头二模)如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v ，此时绳子的拉力大小为T ，拉力T 与速度v 的关系如图乙所示，图象中的数据a 和b 包括重力加速度g 都为已知量，以下说法正确的是( )A ．数据a 与小球的质量有关B ．数据b 与圆周轨道半径有关C ．比值b a只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D ．利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径[解析] 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有T ＋mg ＝m v 2R ，可得图线的函数表达式为T ＝m v 2R －mg ，图乙中横轴截距为a ，则有0＝m a R －mg ，得g ＝aR，则a ＝gR ；图线过点(2a ，b )，则b ＝m 2a R －mg ，可得b ＝mg ，则b a ＝m R ，A 、B 、C 错．由b ＝mg 得m ＝bg，由a ＝gR得R ＝a g，则D 正确．[答案] D高考答题规范——平抛运动与圆周运动的组合[考点归纳]处理平抛运动与圆周运动组合问题应做好以下两个分析1．临界点分析：对于物体在临界点相关的多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口．2．运动过程分析：对于物体参与的多个运动过程，要仔细分析每个运动过程做何种运动．若为圆周运动，应明确是水平面的匀速圆周运动，还是竖直平面的变速圆周运动，机械能是否守恒；若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是哪个力．[典题示例](20分)(2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示．物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动．重力加速度大小为g .(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围．[审题指导]第一步 读题干—提信息题干信息1)当弹簧被压缩到最短时说明此时物体速度为零．2)将弹簧压缩至长度l说明此时弹性势能与弹簧竖直放置时(弹簧长度也为l )相等．3)光滑半圆轨道属于“绳模型”，最高点时速度v D 满足v D ≥gr .4)它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离离开圆轨道后做平抛运动.⎭⎪⎬⎪⎫1弹簧竖直放置与水平放置压缩量一样⇒E p 相同 由压缩量最大到B 点过程能量守恒⎭⎪⎬⎪⎫⇒v B由B 点到D 点过程机械能守恒⎭⎪⎬⎪⎫⇒v DD 点抛出至落地，是平抛运动⇒落回到AB 上的位置与B 点之间的距离.⎭⎪⎬⎪⎫2能滑上圆轨道⇒到达B 点时速度不能小于零，仍能 沿轨道滑回⇒P 在圆轨道上上升高度不超过C 点位置⇒P 的质量取值范围．[满分答案] (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l 时的弹性势能E p ＝5mgl ①(1分)设P 的质量为M ，到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得E p ＝12Mv 2B ＋μMg ·4l ②(2分)联立①②式，取M ＝m 并代入题给数据得v B ＝6gl ③(2分)若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足mv 2l－mg ≥0④(1分)设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得 12mv 2B ＝12mv 2D ＋mg ·2l ⑤(2分) 联立③⑤式得v D ＝2gl ⑥(2分)v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出．设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦(1分)P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为s ＝v D t ⑧(1分)联立⑥⑦⑧式得s ＝22l ⑨(2分)(2)为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零．由①②式可知5mgl >μMg ·4l ⑩(2分)要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道的中点C .由机械能守恒定律有12Mv 2B ≤Mgl ⑪(2分)联立①②⑩⑪式得53m ≤M <52m ⑫(2分)[答案] (1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m必要的文字说明的目的是说明物理过程和答题依据，我们应该从以下几个方面给予考虑：1说明研究对象个体或系统，尤其是要用整体法和隔离法相结合求解的题目，一定要注意研究对象的转移和转化问题.2画出受力分析图、电路图、光路图或运动过程的示意图. 3说明所设字母的物理意义. 4说明规定的正方向、零势点面. 5说明题目中的隐含条件、临界条件.6说明所列方程的依据、名称及对应的物理过程或物理状态. 7说明所求结果的物理意义有时需要讨论分析.[满分体验] 如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v 0＝6 m/s ，将质量m ＝1 kg 的可看作质点的滑块无初速地放到传送带A 端，传送带长度为L ＝12 m ，“9”字全高H ＝0.8 m ，“9”字CDE 部分圆弧半径为R ＝0.2 m 的34圆弧，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，取重力加速度g ＝10 m/s 2.(1)求滑块从传送带A 端运动到B 端所需要的时间； (2)求滑块滑到轨道最高点D 时对轨道作用力的大小和方向；(3)若滑块从“9”形轨道F 点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，求P 、F 两点间的竖直高度h .[解析] (1)滑块在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律有μmg ＝ma 解得：a ＝μg ＝3 m/s 2加速到与传送带共速的时间t 1＝v 0a＝2 s 2 s 内滑块的位移x 1＝12at 21＝6 m之后滑块做匀速运动的位移x 2＝L －x 1＝6 m 所用时间t 2＝x 2v 0＝1 s 故t ＝t 1＋t 2＝3 s(2)滑块由B 运动到D 的过程中由动能定理得： －mgH ＝12mv 2D －12mv 2在D 点：F N ＋mg ＝m v 2DR解得：F N ＝90 N ，方向竖直向下由牛顿第三定律得：滑块对轨道的压力大小是90 N ，方向竖直向上 (3)滑块由B 运动到F 的过程中由动能定理得： －mg (H －2R )＝12mv 2F －12mv 2滑块撞击P 点时，其速度沿竖直方向的分速度为：v y ＝v Ftan θ竖直方向有：v 2y ＝2gh 解得：h ＝1.4 m.[答案] (1)3 s (2)90 N 方向竖直向上 (3)1.4 m。
