第二章(1)点、直线 wl

§1 参数方程的概念 §2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点)3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量，但不能是没有实际意义的变数.( )(2)参数与变量x ，y 间存在函数关系.( ) (3)点M (2,1)在曲线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 2＋1(t 为参数)上.( ) 【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量，也可以是没有实际意义的变数.(2)√ 在参数方程中，参数与x ，y 存在函数关系.(3)× x ＝2时，2＝2×t 得t ＝1，而y ＝1时t ＝0≠1，故点(2,1)不在曲线上. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 直线的参数方程1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).① 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM →的数量来表示.2.经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1).其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP .当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0时，且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合. 填空：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.(2)参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________.【解析】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数) (2)20°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]与圆交于M 1，和过A 点的切线交于点B ，MM 1⊥OA ，MB ∥OA ，MM 1与MB 交于点M ，与OA 交于点C ，以O 为原点，OA 为x 轴的正半轴，求动点M 轨迹的参数方程.图2-2-1【精彩点拨】 引入弦OM 1与x 轴的夹角θ为参数，由解三角形知识将动点M (x ，y )的坐标x ，y 分别用角θ表示，从而得到轨迹的参数方程.【自主解答】 设点M 的坐标为M (x ，y )，弦OM 1与x 轴的夹角是θ，取θ为参数，连结AM 1，则有AM 1⊥OM 1，OC ＝2a cos θ·cos θ＝2a cos 2 θ，AB ＝2a tan θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2 θ，y ＝2a tan θ(θ为参数)， 这就是所求的点M 的参数方程.求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数(如角度、斜率、距离、比值等)，使变量x ，y 之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程.[再练一题]1.过抛物线y 2＝4px (p ＞0)的顶点作互相垂直的两弦OA ，OB ，求AB 中点P 的轨迹方程.【解】 设OA 的斜率为k (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4px ，y ＝kx ，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k .由⎩⎨⎧y ＝－1k x ，y 2＝4px ，解得B 点坐标为(4pk 2，－4pk ).设AB 的中点为P (x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝4p k 2＋4pk 22＝2p⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2，y ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k (k 为参数)，消去k 得中点P 的轨迹方程为y 2＝2p (x －4p )(p ＞0).(1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点.【精彩点拨】 根据直线过点(3,4)，且直线的倾斜角θ＝120°.代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，得该直线的参数方程.然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点. 【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t(t 为参数).(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0. 把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两直线的交点为(3,4).求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)求；若已知两个定点，利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1)求.[再练一题]2.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0.把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.[探究共研型]探究1 直线参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义怎样理解？【提示】 直线参数方程中参数t 表示直线上以定点P 为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段PM →的数量，当点M 在点P 上方时，t ＞0；当点M 在P 的下方时，t ＜0；当点M 与P 重合时，t ＝0.我们也可以把参数t 理解为以P 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.探究2 直线参数方程的形式不同，参数的意义一样吗？直线过点(x 0，y 0)，斜率为ba 时的直线参数方程怎样？【提示】 直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点P (x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(a ，b 为常数，t 为参数).当a 2＋b 2＝1时，参数方程为标准形式，|t |的几何意义是有向线段PM →的长度；当a 2＋b 2≠1时，参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2(a 2＋b 2t )，y ＝y 0＋ba 2＋b 2(a 2＋b 2t )，其中a 2＋b 2t 具有标准参数方程中参数的几何意义.探究3 当直线与圆锥曲线相交时，能否使用直线参数方程求弦长？【提示】 在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求解，比利用直线l 的普通方程来解决更为方便.如图2-2-2所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图2-2-2(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标； (3)线段AB 的长|AB |.【精彩点拨】 先求得直线l 的参数方程的标准形式，然后代入抛物线方程，得到关于参数t 的一元二次方程，再利用参数t 的几何意义，逐个求解.【自主解答】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45， ∴直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数).(*)∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. (2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516， 将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34.(3)|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5873.在求直线l 与曲线C ：f (x ，y )＝0的交点间的距离时，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α代入f (x ，y )＝0，可以得到一个关于t 的方程f (x 0＋t cos α，y 0＋t sin α)＝0.假设该方程的解为t 1，t 2，对应的直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，那么由参数t 的几何意义可得|AB |＝|t 1－t 2|.(1)弦AB 的长|AB |＝|t 1－t 2|.(2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22(解题时可以作为基本结论使用).[再练一题]3.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆ρ＝2相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积. 【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数).(2)圆ρ＝2的普通方程为x 2＋y 2＝4. 把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4.整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，点P 到A ，B 的距离之积为|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2.[构建·体系]1.直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°. 【答案】 D2.曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )【导学号：12990021】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(0，－4)，(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59，(8,0) 【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12，可得x ＝－2＋5t ＝12，∴曲线与坐标轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 【答案】 B3.过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________. 【解析】 ∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6， 所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 2.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4－32t ，y ＝t 24.已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t ，得x －y ＋1＝0.∴圆心C(－1,0)，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴r＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【答案】(x＋1)2＋y2＝25.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A，B两点，求这两点的距离.【解】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设过焦点F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1－22t，y＝22t(t为参数)，将此代入y2＝4x，得t2＋42t－8＝0，设这个方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝(－42)2＋32＝64＝8.∴A，B两点间的距离是8.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

P · α L β DC B A α 第二章直线与平面的位置关系 1.平面含义：平面是无限延展的2. 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 . 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 4. 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

5.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

6.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补7.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

直线与直线的方程（一）第一部分：【知识回顾】1．倾斜角 (1)定义在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角. 当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角相同的直线是一组平行线．确定一条直线的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不可． 2．斜率 (1)定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即．倾斜角是90°的直线的斜率不存在． (2)符号当倾斜角00900<≤α时，斜率k 是非负的（α=0时，k =0），倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角018090<<α时，斜率k 是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大。

(3)公式给定两点，，且，则经过P 1P 2的直线的斜率．注意：当直线P 1P 2与x 轴平行或重合时，k=0；当直线P 1P 2与y 轴平行或重合时，斜率不存在，则公式在此种情况下不适用． 3．直线的方程 (1)点斜式方程直线l 经过点，斜率为k ，则可得直线l 的方程为．注意：因为垂直于x 轴的直线斜率不存在，故凡是垂直于x 轴的直线，其方程都不能用点斜式来表示． (2)斜截式方程直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为（0，b ），则直线l 的方程为y=kx ＋b ． 直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．注意：“截距”并不是“距离”，即截距并不一定是直线与坐标轴的交点与原点的距离．而是直线与x 轴交点的横坐标或y 轴交点的纵坐标． 斜截式不能表示与x 轴垂直的直线. (3)两点式方程直线l 经过两点（其中），那么直线l 的方程为．注意：两点式方程既不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线． (4)截距式方程直线l 与x 轴的交点为(a ，0)，与y 轴的交点为(0，b)，那么直线l 的方程为．(5)一般式方程二元一次方程Ax ＋By ＋C=0（A ，B 不同时为0）称为直线的一般式方程． 注意：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线． 4．两条直线平行（1）两条直线平行的判定如图所示，斜率相等的两条不重合直线1l 与2l 的倾斜角相等，这两条直线的位置关系是相互平行的；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相等，若倾斜角不为90°，由αtan =k 知它们的斜率相等，于是得到以下结论：Ⅰ. 两条不重合直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=)(22b b ≠，若1l ∥2l ，则21k k =；反之，若21k k =，则1l ∥2l 。