概率与数理统计练习册

第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137； 第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布． 六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和 则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

第一章概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（）A．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}C．{一次正面，两次正面，没有正面}D.{先得正面，先得反面}2.设A，B为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（）A．必然事件B．A与B恰有一个发生C．不可能事件D．A与B不同时发生3．设A，B为随机事件，则下列各式中正确的是（）.A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.P(AB)=P(A-B)D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是().A.P(A－B)=P(A)－P(AB)B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A)=15.若AB≠φ，则下列各式中错误的是（）.A．P(AB)≥0 B.P(AB)≤1 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A)6.若AB≠φ,则().A.A,B为对立事件B.A=BC.AB=φD.P(A-B)≤P(A)7.若A⊂B,则下面答案错误的是().A.P(A)≤P(B)B.P(B-A)≥0n nn nB.若诸A相互独立,则P(∑n A)=1-∏(1-P(A))C.若诸A相互独立,则P(U n A)=∏P(A)na+b C.a+bD.C.B未发生A可能发生D.B发生A可能不发生8.下列关于概率的不等式,不正确的是().A.P(AB)≤min{P(A),P(B)}B.若A≠Ω,则P(A)<1.C.P(A A L A)≤P{A+A+L+A}D.P{Y A}≤∑P(A)12n12n i ii=1i=19.A(i=1,2,L,n)为一列随机事件,且P(A A L A)>0,则下列叙述中错i12n误的是().A.若诸A两两互斥,则P(∑A)=∑P(A)i i ii=1i=1ni i ii=1i=1ni i ii=1i=1D.P(X A)=P(A)P(A|A)P(A|A)ΛP(A|A)i12132n n-1i=110.袋中有a个白球,b个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是().A.12B.1a ba+b11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则()A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n个小球随机放到N(n≤N)个盒子中去,不限定盒子的容量,则C.C N⋅n!A.1-P365B.C365⋅r!365D.1-r!40B.7每个盒子中至多有１个球的概率是().A.n!N!B.n!N nnN nD.nN13.设有r个人,r≤365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r个人中至少有某两个人生日相同的概率为().r 365rr365rC.1-r!365r14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设A={第一次抽的是不合格品},A={第二次抽的是不合格品},则下列12叙述中错误的是().A.P(A)=0.05B.P(A)的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回)12C.P(A)=P(A)D.P(A A)不依赖于抽取方式121215.设A,B,C是三个相互独立的事件,且0<P(C)<1,则下列给定的四对事件中,不独立的是().A.AUB与CB.A-B与CC.AC与CD.AB与C16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为().A.2140C.0.3 D.C3⋅0.72⋅0.31017.当事件A与B同时发生时,事件C也随之发生,则().A.P(C)≤P(A)+P(B)-1B.P(C)≥P(A)+P(B)-1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(A U B)18.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,且P(A|B)+P(A B)=1,则().A.A与B不相容B.A与B相容C.A与B不独立D.A与B独立19.设事件A,B是互不相容的，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是().A.P(A|B)=0B.P(A|B)=P(A)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(B|A)>020.已知P(A)=P,P(B)=q且AB=φ,则A与B恰有一个发生的概率为().A.p+qB.1-p+qC.1+p-qD.p+q-2pq21.设在一次试验中事件A发生的概率为P,现重复进行n次独立试验则事件A至多发生一次的概率为().A.1-p nB.p nC.1-(1-p)nD.(1-p)n+np(1-p)n-122.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率为80,则袋中白球数是().81A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为().A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1,1,1,15436则密码最终能被译出的概率为().A.1B.12C.25D.2325.已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(A B)=0,P(AC)=P(B C)=1,则事件416A,B,C全不发生的概率为().19C.67120B.9120D.1013B.1945C.715D.19A.18B.38C.58D.7826.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为().A.0.5B.0.8C.0.55D.0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为().A.34B.56C.23D.61128.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是().A.531929.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为4:1,1:2,3:2,已知这三类箱子数目之比为2:3:1，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（）.A.53030.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为().A.12B.13C.57D.1731.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（）.D. C 19 + C 18A. 1100B. 99100 C. 210 1 + 210D. 21099 + 21032.玻璃杯成箱出售,每箱 20 只,假设各箱含 0,1,2 只残品的概率分别 是 0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一 箱,而顾客随机察看 1 只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回, 如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ).A.0.94B.0.14C.160/1974 4 C 420二、填空题1.E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间 Ω =.2．某商场出售电器设备，以事件 A 表示“出售 74 Cm 长虹电视机”， 以事件 B 表示“出售 74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为.3．设 A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过 A ，B ，C 表示随机事件 A发生而 B ，C 都不发生为；随机事件 A ，B ，C 不多于一个发生.4.设 P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件 A 与 B 互斥，则 P （B ）= ；若事件 A 与 B 独立，则 P （B ）=.5.已知随机事件 A 的概率 P （A ）=0.5，随机事件 B 的概率 P （B ）=0.6及条件概率 P （B|A ）=0.8，则 P （AUB ）=6.设随机事件 A 、B 及和事件 AUB 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6，则P （ AB ）=.7.设 A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则 P （ AB ）=.8.已知p(A)=p(B)=p(C)=,p(A B)=0,p(A C)=p(BC)=，则A,B,C全不p(A Y B Y C)=9，则p(A)=______.1148发生的概率为.9.已知A、B两事件满足条件P（AB）=P（AB），且P（A）=p,则P（B）=.10.设A、B是任意两个随机事件，则P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}=. 11．设两两相互独立的三事件A、B和C满足条件：ABC=φ，p(A)=p(B)=p(C)<1，且已知21612.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为.13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.14．将C、C、E、E、I、N、S这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE的概率为.15．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是.16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是.17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是. 18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是.19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为p，第1二道工序的废品率为p，第三道工序的废品率为p，则该零件的成品23e2C.1-4e2D.1-2.4B.P{X≤0}=15.设随机变量X的密度函数为f(x)=⎧⎨64D.Y~B(3,1)率为.20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p，则在第n次成功之前恰有m次失败的概率是.第二章随机变量及其分布一、选择题1.设A,B为随机事件,P(A B)=0,则().A.AB=φ.B.AB未必是不可能事件C.A与B对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则P{X>2}的值为(）.A.e-2B.1-5e23.设X服从[1,5]上的均匀分布,则().A.P{a≤X≤b}=b-a4 C.P{0<X<4}=1B.P{3<X<6}=34 D.P{-1<X≤3}=124.设X~N(μ,4),则().A.X-μ~N(0,1)2C.P{X-μ>2}=1-Φ(1)D.μ≥02x,0<x<1⎩0,其他，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1}出现的次数，则（）.2A．由于X是连续型随机变量，则其函数Y也必是连续型的B．Y是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C．P{y=2}=926.设X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X≥1}=5,则P{Y≥1}=().9A.1927B.19C.13D.8277.设随机变量X的概率密度函数为f(x),则Y=-2X+3的密度函数为X().A.-1f(-y-3)2X2 C.-1f(-y+3)2X2B.1f(-y-3)2X2D.1f(-y+3)2X28.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件().A.0≤f(x)≤1B.f(x)为偶函数C.f(x)单调不减D.⎰+∞f(x)dx=1-∞9.若X~N(1,1),记其密度函数为f(x)，分布函数为F(x),则().A.P{X≤0}=P{X≥0}B.F(x)=1-F(-x)C.P{X≤1}=P{X≥1}D.f(x)=f(-x)10.设X~N(μ,42),Y~N(μ,52),记P=P{X≤μ-4},P=P{Y≥μ+5},则12().A.P=P12B.P<P12C.P>P12D.P,P大小无法确定1211.设X~N(μ,σ2),则随着σ的增大,P{|X-μ|<σ}将().A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X的概率密度函数为f(x),f(x)=f(-x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a有().A.F(-a)=1-⎰a f(x)dxB.F(-a)=1-⎰a f(x)dx020C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-113.设 X 的密度函数为 f ( x ) = ⎪⎨ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 ，则 P { X > 1} 为().⎪⎩0, 其他2D.28B.⎰ +∞ 3xdx2 C.1-⎰ 43xdxA. 733D. ⎰ 9 e - 9 dxA. F ( x ) = ⎨1 - e , x > 0σ 2⎧ 3 41 1 -∞ 414.设 X ~ N (1,4), Φ(0.5) = 0.6915, Φ(1.5) = 0.9332 , 则P{| X |> 2} 为().A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设 X 服从参数为 1 的指数分布,则 P{3 < X < 9} = ( ).9A. F ( 9 ) - F ( 3 )B. 1 ( 1 - 1 )999e eC. 1 - 13 e e3x16.设 X 服从参数 λ 的指数分布,则下列叙述中错误的是().⎧ -λx ⎩0,x ≤ 0B.对任意的 x > 0, 有P {X > x } = e -λxC.对任意的 s > 0, t > 0, 有P { X > s + t | X > s } = P { X > t }D. λ 为任意实数17.设 X ~ N (μ,σ 2 ), 则下列叙述中错误的是().A. X - μ ~ N (0,1)B. F ( x ) = Φ( x -μ )σC. P {X ∈ (a, b )} = Φ( a - μ ) - Φ( b - μ )D. P{| X - μ |≤ k σ } = 2Φ(k ) - 1, (k > 0)σσ18.设随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程 x 2 + Xx + 1 = 0 有实根的概率是().A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设 X ~ N (2,σ 2 ), P{2 < X < 4} = 0.3, 则P { X < 0} = （）.2c 4c 8c 16c ，则 c=次是 1 1 1 13k = 1,2,Λp i 1 15. 已 知X的 概 率 分 布 为⎛ - 1 1 ⎫  ⎪⎪ ⎪ 3 , ⎧1 f ( x ) = ⎨ , x ∈[3, 6] ，若 k 使得 p {X ≥ k }= ⎩A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820. 设随机 变量Ｘ服 从正态分 布 N (μ,σ 2) ，则 随 σ 的增大 ，概率P{| X - μ |< σ } （）.Ａ．单调增大Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 是事件的概率.2．已知随机变量 X 只能取-1，0，1，2 四个数值，其相应的概率依, , ,3．当 a 的值为时， ( X = k ) = a( 2 ) k ,才能成为随机变量 X 的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造 3 个相同的零件，第 i 个零件不合格的概率 pi = + (i = 1,2,3) ，以 X表示 3 个零件中合格品的个数，则 p ( X = 2) = ________ .F ( x ) =.⎝ 0.6 0.4 ⎭， 则X 的 分 布 函 数6. 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为为.λ的泊松分布，则 X 的分布列7．设随机变量 X 的概率密度为 ⎪⎪ 2 ⎪ 9x ∈[0,1]23 ⎪ ⎪0,其它则 k 的取值范围是.⎪ 3 - a, 1 ≤ x < 2σ ，则 Y 的分布密度 f ( y) =X 的分布列为 ， 则 Y = 2 X + 1 的 分 布 列  0.50.5⎪⎭8．设离散型随机变量 X 的分布函数为：⎧0, x < -1⎪a , - 1 ≤ x < 1 ⎪⎪F ( x ) = ⎨ 2⎪⎪⎩a + b , x ≥ 2且 p ( X = 2) = 1 ，则 a = _______, b = ________ .29．设 X ~ U [1,5] ，当 x < 1 < x < 5 时， p ( x < X < x ) = .1 21210．设随机变量 X~ N (μ , σ 2 ) ，则 X 的分布密度 f ( x ) = .若 Y = X - μ.11．设 X ~ N (3,4) ，则 p {- 2 < X < 7}=.12．若随机变量 X ~ N (2, σ 2) ，且 p (2 < X ≤ 4) = 0.30 ，则 p ( X ≤ 0) = _________ .13．设 X ~ N (3,2 2 ) ，若 p ( X < c) = p ( X ≥ c) ，则 c =.14. 设 某 批 电 子 元 件 的 寿 命X ~ N (μ , σ 2 )，若μ = 160 ，欲使p (120 < X ≤ 200) = 0.80 ，允许最大的 σ= .15. 若 随 机 变 量 ⎛ - 1 1 ⎫ ⎝为.16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ ≥ １｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥ １｝＝.17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝X 2在（０，４）内的概率密度为 f ( y) ＝.Y18. 设 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 N (μ,σ 2 )(σ > 0) ， 且 二 次 方 程y 2 + 4 y + X = 0 无实根的概率为１／２，则 μ =.4.设随机变量X的分布为X~ 111⎪(i=1,2)且P{X1X2=0}=1,则第三章多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是().A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X－Y2.设X,Y独立同分布,P{X=-1}=P{Y=-1}=1,P{X=1}=P{Y=1}=1,则22（）.A.X=YB.P{X=Y}=0C.P{X=Y}=12D.P{X=Y}=13.设F(x)与F(x)分别是随机变量X与Y的分布函数,为使12aF(x)-bF(x)是某个随机变量的分布函数,则a,b的值可取为().12A.a=3,b=-255B.a=2,b=233C.a=-1,b=322D.a=1,b=-322P{X=X}=( ).12⎛-10i i⎝421⎫⎪4⎭A.0B.14C.12D.15.下列叙述中错误的是().A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布6.设随机变量(X,Y)的联合分布为:XY1211/61/321/9a31/18b.9.设(X,Y)的联合概率密度函数为 f ( x , y) = ⎨6 x y , 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 ,则 ⎩0，11.设(X,Y)的联合概率密度为 f ( x , y) = ⎧⎨⎩0,A ． a + b = 1B. a + b = 13C. a + b = 23精品文档D. a = 1 , b = - 32 27．接上题，若 X ，Y 相互独立，则（）.A. a = 2 , b = 19 9B. a = 1 , b = 29 9C. a = 1 , b = 1 3 3D. a = - 2 , b = 13 38.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以 X,Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数,则().A. P {X = i, Y = j } = 1 , i , j = 1,2,L 6B. P {X = Y } = 1 3636 C. P {X ≠ Y } = 1D. P {X ≤ Y } =122⎧ 2 其他下面错误的是().A. P {X ≥ 0} = 1B. P {X ≤ 0} = 0C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在 D = {( x , y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} 内的概率为 110.接上题,设 G 为一平面区域,则下列结论中错误的是().A. P{( X , Y ) ∈ G } = ⎰⎰ f ( x , y)dxdyB. P{( X , Y ) ∈ G } = ⎰⎰ 6 x 2 ydxdyGGC. P {X ≥ Y } = ⎰ 1 dx ⎰ x 6 x 2 ydyD. P{( X ≥ Y )} = ⎰⎰ f ( x , y)dxdyx ≥ yh( x , y) ≠ 0,( x, y) ∈ D 其他,若G = {( x , y) | y ≥ 2 x } 为一平面区域,则下列叙述错误的是().A. P {X , Y ) ∈ G = ⎰⎰ f ( x , y)dxdyB. P {Y - 2 X ≤ 0} = 1 - ⎰⎰ f ( x , y)dxdyGGC. P {Y - 2 X ≥ 0} = ⎰⎰ h( x , y)dxdyD. P {Y ≥ 2 X } = ⎰⎰ h( x , y)dxdyGG I D12.设(X,Y)服从平面区域 G 上的均匀分布,若 D 也是平面上某个区域,并以 S 与 S 分别表示区域 G 和 D 的面积,则下列叙述中错误的是GD().匀分布.记U = ⎧⎨ ;V = ⎨ . 则 P {U = V } = ().A. P{( X , Y ) ∈ D } = S DSGC. P{( X , Y ) ∉ D } = 1 -SG I D SGB. P{( X , Y ) ∉ G } = 0D. P{( X , Y ) ∈ G } = 113.设系统 π 是由两个相互独立的子系统π与 π 连接而成的 ;连接方12式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统 π 损坏时,系1统 π 开始工作，令 X , X 分别表示 π 和π 的寿命，令 X , X , X 分别表21212123示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是().A. Y = X + X 1 1C. Y = X + X312 2B. Y = max{ X , X } 2 1 2D. Y = min{ X , X }1 12 14.设二维随机变量 (X,Y)在矩形 G = {( x , y) | 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1} 上服从均0, X ≤ Y ⎧0, X ≤ 2Y ⎩1, X > Y⎩1, X > 2YA.0B. 14C. 12D. 3415. 设 (X,Y) 服从二维正态分布 N (μ ,μ ,σ 2 ,σ 2 , ρ ) , 则以下错误的是 1212().A. X ~ N (μ ,σ 2 )B X ~ N (μ ,σ 2 )C.若 ρ = 0 ,则 X,Y 独立1 112D. 若随机变量 S ~ N (μ ,σ 2 ), T ~ N (μ ,σ 2 ) 则 (S , T ) 不一定服从二维正态 1 122分布16.若 X ~ N (μ ,σ 2 ), Y ~ N (μ ,σ 2 ) ,且 X,Y 相互独立,则( ).1 122A. X + Y ~ N (μ + μ , (σ + σ ) 2 )B. X - Y ~ N (μ - μ ,σ 2 - σ 2 ) 1 2121212C. X - 2Y ~ N (μ - 2μ ,σ 2 + 4σ 2 )D. 2 X - Y ~ N (2μ - μ ,2σ 2 + σ 2 )1 212121217．设 X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布N (0,1) ，令Z = X 2 + Y 2 ,则 Z 服从的分布是（）.⎪C sin( x + y), 0 ≤ x, y ≤ , ⎩⎪x+ xy , 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 ,则 ⎩22. 为使 f ( x , y) = ⎨ Ae A ．N （0，2）分布B.单位圆上的均匀分布C.参数为 1 的瑞利分布D.N (0,1)分布18.设随机变量 X , X , X , X 独立同分布, P {X = 0} = 0.6, P { X = 1} = 0.41 234ii(i = 1,2,3,4) ，记 D = X 1 XX X 324,则 P {D = 0} = （ ）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.383019.已知 X ~ N (-3,1) ， Y ~ N (2,1) ，且 X , Y 相互独立,记 Z = X - 2Y + 7,则Z ~ ().A. N (0,5)B. N (0,12)C. N (0,54)D. N (-1,2)⎧π 20.已知 ( X , Y ) ~ f ( x , y) = ⎨ 4 则 C 的值为( ).⎪0, 其他A. 12B. 2C. 2 - 1D. 2 + 1 2⎧ 2 1 21.设 ( X , Y ) ~ f ( x , y) = ⎨ 3P {X + Y ≥ 1} =( ) ⎪0, 其他A. 65B. 7C. 1D. 7172727272⎧ ⎩0,-(2 x +3 y ) , x, y ≥ 0 其他为二维随机向量 (X,Y)的联合密度 ,则 A 必为().A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量 X,Y 相互独立,则它们的连续函数 g ( X ) 和 h (Y ) 所确定的随机变量().A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立28. 设 ( X , Y ) ~ f ( x , y) = ⎪⎨ 2 xy , 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1 , 则 (X,Y) 在 以⎧ 3 ⎩, Y ≥ λ 24.在长为 a 的线段上随机地选取两点 ,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为().A. 12B. 13C. 14D. 1525.设 X 服从 0—1 分布, p = 0.6 ,Y 服从 λ = 2 的泊松分布,且 X,Y 独立，则 X + Y ().A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为 0 的概率为 026.设相互独立的随机变量 X,Y 均服从 [0,1] 上的均匀分布,令 Z = X + Y ,则().A.Z 也服从 [0,1] 上的均匀分布B. P {X = Y } = 0C.Z 服从 [0,2] 上的均匀分布D. Z ~ N (0,1)27.设 X,Y 独立,且 X 服从 [0,2] 上的均匀分布,Y 服从 λ = 2 的指数分布,则 P {X ≤ Y } = ().A. 1 (1 - e -4 )B. 1 e -4C. 1 e -4 + 34444D. 122⎪0, 其他(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为(). A. 0.4 B.0.5 C.0.6D.0.829. 随机变量 X,Y 独立 , 且分别服从参数为λ 1 和 λ 2 的指数分布 , 则P { X ≥ λ 1-1-1 2} = ( ).A. e -1B. e -2C.1 - e -1D.1 - e -230.设 ( X ,Y ) ~ f ( x , y) = Ae -[( x +5)2 +8( x +5)( y -3)+25( y -3)2 ] ,则 A 为().n n33.设 ( X , Y ) ~ f ( x , y) = ⎧⎨ ,D 为一平面区域,记 G,D 的面GA. π3B. 3πC. 2πD.π231.设某经理到达办公室的时间均匀分布在 8 点 12 点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7 点到 9 点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率为().A. 1B. 1482C. 112D. 12432.设 X , X ,L , X 相独立且都服从 N (μ,σ 2 ) ,则( ).1 2nA. X = X = L = X12nB. 1 ( X + X + L + X ) ~ N (μ, σ 2 )1 2 nC. 2 X + 3 ~ N (2μ + 3,4σ 2 + 3)D. X - X ~ N (0,σ 2 - σ 2 )11212g ( x , y) ≠ 0,( x, y) ∈ G ⎩0, 其它积为 S , S , ,则 P{( x , y) ∈ D } =( ).G DA. S DB.SD I G C. ⎰⎰ f ( x , y)dxdyD. ⎰⎰ g ( x , y)dxdySSGDD二、填空题1． ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，用 ( X , Y ) 的联合分布函数 F (x, y) 表示下列概率：（1） p (a ≤ X ≤ b , Y < c) = ____________________;（2） p ( X < a, Y < b ) = ____________________;（3） p (0 < Y ≤ a) = ____________________;（4） p ( X ≥ a, Y < b ) = ____________________ .2．随机变量 ( X ,Y ) 的分布率如下表，则 α , β 应满足的条件是.(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)1⎫，则⎪⎪XY11231/61/91/1821/2αβ3．设平面区域D由曲线y=1及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变x量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)的联合分布密度函数为.4．设ρ=.，则X,Y相互独立当且仅当5.设相互独立的随机变量X、Y具有同一分布律，且X的分布律为P（X=0）=1/2，P（X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为.6．设随机变量X1,X2,X3相互独立且服从两点分布⎛⎝0.80.2⎭3X=∑Xi=1i 服从分布.7.设X和Y是两个随机变量，且P{X≥0，Y≥0}=3/7，P{X≥0}=P{Y≥0}=4/7,则P{max（X，Y）≥0}=.8.设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率为；二为随机变量（X，Y）的概率分布为.9.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数.10.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）=；P（X+Y=0）=；P（XY=1）=.第四章随机变量的数字特征一、选择题1．X为随机变量，E(X)=-1,D(X)=3，则E[3(X2)+20]=（）.A.18B.9C.30D.322.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为⎧e-(x+y),0<x<+∞,0<y<+∞f(x,y)=⎨⎩0,其它，则E(XY)=().A.0B.1/2C.2D.13.(X,Y)是二维随机向量,与Cov(X,Y)=0不等价的是().A.E(X Y)=EX⋅EYB.D(X+Y)=DX+DYC.D(X-Y)=DX+DYD.X与Y独立4.X,Y独立,且方差均存在,则D(2X-3Y)=().A.2DX-3DYB.4DX-9DYC.4DX+9DYD.2DX+3DY5.若X,Y独立,则().A.D(X-3Y)=DX-9DYB.D(XY)=DX⋅DYC.E{[X-EX][Y-EY]}=0D.P{Y=aX+b}=16.若Cov(X,Y)=0,则下列结论中正确的是().A.X,Y独立B.D(X Y)=DX⋅DYC.D(X+Y)=DX+DYD.D(X-Y)=DX-DY7.X,Y为两个随机变量,且E[(X-EX)(Y-EY)]=0,则X,Y().A.独立B.不独立C.相关D.不相关8.设D(X+Y)=DX+DY,则以下结论正确的是().A.X,Y不相关B.X,Y独立C.ρxy =1 D.ρxy=-19.下式中恒成立的是().A.E(X Y)=EX⋅EYB.D(X-Y)=DX+DYC.Cov(X,aX+b)=aDXD.D(X+1)=DX+110.下式中错误的是().A.D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)B.Cov(X,Y)=E(XY)-EX⋅EYC.Cov(X,Y)=1[D(X+Y)-DX-DY]2D.D(2X-3Y)=4DX+9DY-6Cov(X,Y)11.下式中错误的是().A.EX2=DX+(E X)2B.D(2X+3)=2DXC.E(3Y+b)=3EY+bD.D(E X)=012.设X服从二项分布,EX=2.4,DX=1.44,则二项分布的参数为().A.n=6,p=0.4B.n=6,p=0.1C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.113.设X是一随机变量,EX=μ,DX=σ2,σ>0,则对任何常数c,必有().A.E(X-c)2=EX2-C2B.E(X-c)2=E(X-μ)2C.E(X-c)2<DXD.E(X-c)2≥σ214.X~B(n,p),则D(X)=().E(X)A.nB.1-pC.pD.11-p16. 随机变量 X ~ f ( x ) = ⎪⎨10 e 10 , x > 0 ,则 E (2 X + 1) =( ).⎩ A. f ( x , y) = 1 e -( 2x + y 2B. f ( x , y) = 1 e - 2( x + y )e -( 2 )15.随机变量 X 的概率分布律为 P {X = k } = 1 , k = 1,2,L , n , 则D( X ) =n().A. 1 (n 2 + 1)B. 1 (n 2 - 1)C. 12(n + 1) 2D. 1 (n - 1) 2121212⎧ 1 - x⎪0,x ≤ 0A. 4 + 1B. 4 ⨯10 + 14C. 21D. 201017.设 X 与 Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为 0，方差为 1，则（X ，Y ）的概率密度为（）.2π2)2π2 2C. f ( x , y) =1 2πx + y 2D. f ( x , y) = 1 2πe - x 2 + y 2418.X 服从 [0,2] 上的均匀分布,则 DX=().A. 12B. 13C. 16D. 11219. X ~ N (0,1), Y = X 3, 则 EY=().A. 2B. 3 nC. 0D. 2 n4320. 若 Y = X + X , X ~ N (0,1), i = 1,2, 则( ).1 2iA. EY=0B. DY=2C.Y ~ N (0,1)D. Y ~ N (0,2)21. 设 X : b (n, p ), Y : N (μ,σ 2 ) ，则( ).A. D( X + Y ) = np (1- p ) + σ 2B. E ( X + Y ) = np + μC. E ( X 2 + Y 2 ) = n 2 p 2 + μ 2D. D( XY ) = np (1- p )σ 222.将 n 只球放入到 M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设 X 表示有球的盒子数,则 EX 值为().MB.nA. M [1 - (1 - 1 ) n ]B. M [1 - ( 1 ) n ]D. A. P { ∑ X - 1 < ε} ≥ 1 - ε -2B. P { ∑ X - 1 < ε} ≥ 1 - ε -2C. P { ∑ X - 10 < ε} ≥ 1 - 20ε -2D. P { ∑ X - 10 < ε} ≤ 1 - 20ε -2dx =( ).n !MMM n23. 已知 X 服从参数为 λ ` 的泊松分布,且 E[( X - 1)(X - 2)] = 1 ,则 λ 为().A. 1B.-2C. 12D. 1424. 设 X ， X ， X 相互独立,其中 X 服从 [0,6] 上的均匀分布, X 服 1 2312从正态分布 N (0,2 2 ) , X 服从参数为 3 的泊松分布,记 Y = X - 2 X + 3 X ,3 123则 DY=().A. 14B.46C.20D. 925. 设 X 服从参数为 1 的指数分布,则 E ( X + e -2 X ) =().A. 1B.0C. 13D. 4326. 设 X 为随机变量, EX = μ, DX = σ 2, 则P{| X - μ |≥ 3σ } 满足().A. ≤ 19B. ≤ 13C. ≥ 19D. ≥ 1327. 设 X,Y 独立同分布,记U = X - Y ,V = X + Y , 则 U 与 V 满足().A. 不独立B. 独立C.相关系数不为 0D. 相关系数为 028. 设随机变量 X , X ,L X 相互独立,且 EX = 1, D X = 2(i = 1,2,L ,10) ， 1 210ii则下列不等式正确的是（）.1010ii i =110ii =110ii =1 i =129. 利用正态分布有关结论, ⎰ +∞-∞1 2π( x 2 - 4 x + 4)e - ( x -2)22A. 1B.0C.2D. -130.设(X,Y )服从区域 D = {( x , y) : 0 ≤ x, y ≤ a } 上的均匀分布,则 E | X - Y |⎪1, X > 0⎨ 3e36. 设 X ~ f ( x ) = ⎧⎨,以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中 ⎩0,的值为().A. 0B. 1 aC. 1 aD. 1 a23431. 下列叙述中正确的是( ).A. D( X - EX ) = 1B. X - EX ~ N (0,1)DXDXC. EX 2 = ( E X ) 2D. EX 2 = DX + ( E X )232.某班有 n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设 X表示恰好领到自己学生证的人数,则 EX 为().A. 1B. n2C. n (n + 1)D. n - 12 n⎧-1, X < 033.设 X 服从区间 [-1,2] 上的均匀分布, Y = ⎪0, X = 0,则DY = ( ) .⎩A. 2 3B. 1 3C. 8 9D. 134.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有 1 个疵点,若规定疵点数不超过 1 的为一等品,价值 10 元;疵点数大于 1 不多于3 的为二等品 ,价值 8 元;3 个以上者为废品 ,则产品的废品率为 ( ).A. 8B. 1 - 8C. 1 - 5D. 5 3e2e2e35. 接上题,任取一件产品,设其价值为 X, 则 EX 为( ).A. 76B. 163e3eC. 9D. 62 x , 0 < x < 1 其他“ X ≤ 1 ”出现的次数，则 DY=（ ）.2 A ． 9 B. 16 C.3 D.4 16 9 4 3XX Yσ，则Y的概率密度f(y)=37.设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为f(x,y),两个边缘概率密度分别为f(x)与f(y),则下式中错误的是().X YA.EX=⎰+∞xf(x)dxB.EX=⎰+∞⎰+∞x f(x,y)dx dy-∞-∞-∞C.EY2=⎰+∞⎰+∞y2f(x,y)dx dyD.E(XY)=⎰+∞⎰+∞xyf(x)f(y)dxdy-∞-∞-∞-∞二、填空题1．随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且D(X)=2，则p{X=1}=.2．已知离散型随机变量X可能取到的值为：-1，0，1，且E(X)=0.1,E(X2)=0.9，则X的概率密度是.3．设随机变量X~N(μ,σ2)，则X的概率密度f(x)=EX=；DX=.若Y=X-μEY=；DY=.4.随机变量X~N(μ,4)，且E(X2)=5，则X的概率密度函数p(2<X<4)=0.3,为.5.若随机变量X服从均值为3，方差为σ2的正态分布，且P(2<X<4)=0.3,则P(X<2)=.6．已知随机变量X的分布律为：X01234p1/31/61/61/121/4则E(X)=，D(X)=，E(-2X+1)=.7．设DX=4,DY=9,ρXY=0.5,则D(2X-3Y)=_____________.8．抛掷n颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为.9．设随机变量X和Y独立，并分别服从正态分布N(2,25)和N(3,49)，求随机变量Z=4X-3Y+5的概率密度函数为.10.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E（X2）=.11.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E（Z）=.1. 已知的 X 密度为 f ( x )(i = 1,2,L ,100) , 且它们相互独立 , 则对任何实数 x , 概率P {∑ X ≤ x } 的值为(⎰ [C f ( x )]dx L dx ∑ x i ≤ xA. P { ∑ X - 1 < ε} ≥ 1 - ε-2B.P { ∑ X - 1 < ε} ≥ 1 - ε-2C. P { ∑ X - 10 < ε} ≥ 1 - 20ε-2D.P { ∑ X - 10 < ε} ≤ 1 - 20ε -2A. ∑ X ∑ X - n μ第五章大数定理及中心极限定理一、选择题ii100 ii =1A. 无法计算).B.100 ⎰L 100 i =1i 1 100i =1C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设 X 为随机变量, EX = μ, DX = σ 2 , 则P{| X - μ |≥ 3σ } 满足().A. ≤ 1 1 1 1B. ≤C. ≥D. ≥9 3 9 33. 设随机变量 X , X ,L , X 相互独立,且 EX = 1, D X = 2(i = 1,2,L ,10) ，则（ ）1210ii10 i =1i10 i =1i10 i =1i10 i =1i4. 设对目标独立地发射 400 发炮弹,已知每发炮弹的命中率为 0.2 由中心极限定理,则命中 60 发～100 发的概率可近似为( ).A. Φ(2.5)B.2Φ(1.5) - 1C. 2Φ(2.5) - 1D. 1 - Φ(2.5)5. 设 X , X ,L , X 独立同分布, EX = μ, DX = σ 2 , i = 1,2,L , n, 当 n ≥ 30 时,下列结12nii论中错误的是().n i =1i近似服从 N (n μ, n σ2) 分布n B.i =1in σ近似服从 N (0,1) 分布C. X + X 服从 N (2μ,2σ 2 ) 分布1 2D. ∑ X 不近似服从N (0,1) 分布⎧ ∑ X - n≤ x ⎬ = Φ (x ); n ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ∑ 2 X - n ≤ x ⎬ = Φ (x ); n ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ∑ X - 2≤ x ⎬ = Φ (x ); ⎩ ⎭ ⎧ ∑ X - 2≤ x ⎬ = Φ (x ); 2n ⎪ ⎪ ⎩ ⎭任意区间 [a, b ] 有 lim P ⎨a <n ≤ b ⎬ ＝ .则对于任意的 ε > 0 ，均有 lim P ⎨| n - p |> ε ⎬ =.⎪ ⎪ ⎩ ⎭nii =16. 设 X , X ,L 为相互独立具有相同分布的随机变量序列 ,且 X (i = 1,2, L ) 服从参数为1 2i2 的指数分布,则下面的哪一正确? ()n ⎫⎪ i⎪ A. lim P ⎨ i =1n →∞⎪ ⎪n ⎫⎪ i⎪ B. lim P ⎨ i =1n →∞⎪ ⎪n ⎫⎪ i⎪ C. lim P ⎨ i =1n →∞ ⎪ 2 n ⎪⎪ ⎪n ⎫⎪ i⎪ D. lim P ⎨ i =1n →∞⎪ ⎪其中 Φ (x )是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设 μ n 是 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数， P( A) = p , q = 1 - p ，则对⎧ μ - np ⎫ n →∞ ⎪ npq ⎪2、设 μ n 是 n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，⎧ μ ⎫ n →∞ ⎩ n ⎭3、一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p (10 < X < 18) =.4、已知生男孩的概率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率=.A. ∑ ( X - X )2= ∑ X2 - n ( X )2B. X 与S 2 相互独立∑ ( Xˆ ˆ ˆ ∑ ( X - μ)2 6． 设 X , S 2 表示来自总体 N (μ ,σ 2 ) 的容量为 n 的样本均值和样本方差 (i = 1,2) ，且( X 1 - X 2 ) - (μ - μ ) σ 2 S 2 2 σ 2 σ 2+1 精品文档第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设 X , X ,L , X 是来自总体 X 的简单随机样本,则 X , X ,L , X 必然满足( )1 2n12nA.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立;C 独立同分布;D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.A ．统计量为随机变量B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为 μ ,方差为 σ 2 , n 为样本容量,下式中错误的是( ).A. E ( X - μ ) = 0B. D( X - μ) =σ 2n C. E ( S 2 σ 2 ) = 1 D. X - μ σ / n~ N (0,1)4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是().ni =1in i =1iC. E (θ- θ ) 2 = D(θ ) + [ E (θ ) - θ ]2 D. E[ ni- μ)2 ] = n σ 2i =15. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）.A. 若 F ~ F (n , n ),则1 2 1F~ F (n , n ) 2 1B ．若 T ~ t (n ), 则T 2 ~ F (1,n )C ．若 X ~ N (0,1), 则X 2 ~ x 2 (1)nD ．在正态总体下 i =1iσ 2~ x 2 (n - 1)ii ii i两总体相互独立，则下列不正确的是（）.A. σ 2 S 22 1 ~ F (n - 1,n - 1) B. 1 21 2 1 2 nn 1 2~ N (0,1)C.X 1 - μ 1S / n1 1~ t (n ) D.1(n - 1)S 22 2σ 2 2~ x 2 (n - 1)2.A. E X = θB. DX =θ(X ) = (n +1)θ( ) =D. E X1∑ ∑ X12. 给定一组样本观测值 X , X ,L , X 且得 ∑ X = 45,∑ X 2 = 285, 则样本方差14． 设 X , X ,L ，X 是来自总体 N (0,1) 的简单随机样本，则∑ ( X - X ) 2服从分7. 设总体服从参数为().1θ精品文档的指数分布,若 X 为样本均值, n 为样本容量,则下式中错误的是2nC.E2n2 21θ 28. 设 X , X ,L , X 是来自总体的样本,则12nn - 1n i =1( X - X )2 是( ).iA.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量9. X , X ,L , X 是来自正态总体 N (0,1) 的样本, X , S 2分别为样本均值与样本方差,则 1 2n().A. X ~ N (0,1)B. nX ~ N (0,1)C.n i =12 i~ x 2 (n ) D.XS~ t (n - 1)10. 在总体 X ~ N (12,4) 中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X , X , X , X , X , 则1 2345P{max( X , X , X , X , X ) > 15} 为().1 2345A. 1 - Φ(1.5)B. [1 - Φ(1.5)]5C. 1 - [Φ(1.5)]5D. [Φ(1.5)]511.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A. 2Φ(0.5) - 1B. 2Φ(5 5) - 1 C. 2Φ( ) - 1 D. 2Φ(2.5) - 1 2 499129iii =1 i =1 S 2 的观测值为 ().A. 7.5B.60C.20 65D.3 213. 设 X 服从 t (n ) 分布, P{| X |> λ } = a ，则 P {X < -λ } 为().1 1 1 A.a B. 2aC.+ aD. 1 -a222n 12nii =1布为（ ）. 1A ． x 2 (n )B. x 2 (n - 1)C. N (0, n 2 )D. N (0, )n15. 设 x , x ,L , x 是来自正态总体 N (0, 22 ) 的简单随机样本，若1 2n.A. 1 1 ∑ X∑ Yn P ⎨∑ X 2 ≥ 1.44⎬ = .⎩ i =1 ⎭Y = a( X + 2 X ) 2 + b ( X + X + X ) 2 + c( X + X + X + X ) 2 服 从 x 2 分 布 ， 则1 23456789a, b , c 的值分别为（）.1 1 1 11 1 1 1 1 1 , ,B., , C. , ,D. , ,8 12 1620 12 16 3 3 3 2 3 416. 在天平上重复称量一重为 a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从N (a,0.2 2 ) 分布,以 X n 表示 n 次称量结果的算术平均,则为了使 P { X n - a < 0.1} ≥ 0.95, n值最小应取作().A. 20B. 17C. 15D. 1617. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从正态分布 N (0,3 2 ) ,设 X , X ,Λ , X 和1 2 9 Y , Y ,Λ , Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U =1299 i =1 9 i i2 服从分布是( ). i =1A. t (9)B. t (8)C.N (0,81) D. N (0,9)二、填空题1．在数理统计中，称为样本.2 ． 我 们 通 常 所 说 的 样 本 称 为 简 单 随 机 样 本 ， 它 具 有 的 两 个 特 点是.3 ． 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 ,Λ , X n 相 互 独 立 且 服 从 相 同 的 分 布 ， EX = μ, DX = σ 2 ， 令X =1 ∑ni =1X i ，则 EX =； DX = .4．设 X 1 , X 2 ,Λ , X n 是来自总体的一个样本，样本均值 X = _______________ ，则样本标准 差 S = ___________ ； 样 本 方 差 S 2 = _________________ ； 样 本 的 k 阶 原 点 矩为；样本的 k 阶中心矩为.5. ( X , X ,Λ , X ) 是 来 自 总 体 X ~ N (0, 0.32 ) 的 一 个 样 本 ， 则1 210⎧ 10 ⎫ i6．设 X 1 , X 2 ,Λ , X n 是来自（0—1）分布 (P {X = 0} = 1 - p , P {X = 1} = p ) 的简单随机样本，X是样本均值，则 E ( X ) =. D( X ) = ..。

第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。

2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。

3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。

A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

院（系） 班 姓名 学号第一章 概率论的基本概念 练习1.1 随机试验与随机事件一、填空题1.样本空间是 .2.样本空间中各个基本事件之间是 关系.3.对立事件____ 不相容事件；不相容事件 对立事件.(填一定是，不是，不一定是)4.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.5.设随机事件A 与B ，若AB ＝A B ，则A 与B 的关系为___________6.设A ，B 为任意两个随机事件，请把下列事件化为最简式： （1）(A B)(A B)(A B)(A B)=______； （2）ABAB AB A B AB=______－；二、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。

三、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多有两人考取；3.恰好有两人落榜。

四、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。

五、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？六、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是女生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是会弹钢琴”。

（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。

浙江林学院《概率论与数理统计》活页练习册班级姓名学号200 -200 学年第学期班级 姓名 学号§1.1 随机事件习题1．在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张，设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片，事件B 为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C 为“抽得一张标号为能被3整除的卡片”.（1） 试写出试验的样本空间Ω=｛ ｝；（2） 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？（a ） AB=｛ ｝；（b ）A B ⋃=｛ ｝；（c ） B =｛ ｝；（d ） A -B=｛ ｝；（e ）BC =｛ ｝；（f ）B C ⋃=｛ ｝；2．一工人生产了三件产品,以i A 表示他生产的第i 件产品是正品(1,2,3)i =,试用事件i A (1,2,3)i =的运算关系表示下列事件:（1）没有一件产品是次品;（2）至少有一件产品是正品;（3）恰有一件产品是次品;（4）至少有两件产品是次品;（5）至多有一件产品是次品.3．指出下列命题正确的有（ ）（１）()A B AB B ⋃=⋃ (2) ()()A AB AB =⋃（3）()()AB AB φ⋂= (4） 若B A ⊂，则Ａ＝ＡＢ（5） 若ＡＢ＝φ，则≠B A φ （6） 若ＡＢ＝φ，则B A ＝φ4．对飞机进行两次射击,每次射一弹,设事件A ={第一次击中飞机},B ={第二次击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D ={至少有一弹击中飞机},F ={两弹都击中飞机}.（1）试用,A B 的运算关系表示事件,,;C D F（2）C E 与是互逆事件吗?为什么?班级 姓名 学号§1.2 概率习题1． 已知P(A ∪B)=0.8，P(A)=0.5，P(B)=0.6，求P(AB)，P(B A )和P(B A ).2. 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.4, 两类问题都能答出的概率为0.3. 求小王(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率;(2) 至少有一类问题能答出的概率;(3) 两类问题都答不出的概率.3. 已知,B A ⊂()0.2,P A =()0.8,P B = 求(),(),(),()().P A P A B P AB P A B P A B - 和4. 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙两种报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.5.设,A B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7. 问(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?6.设P（A）>0，P（B）>0,将下列四个数：P(A), P(AB), P(A∪B), P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号≤联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立?班级姓名学号§1.3 古典概型习题1．电话号码由六个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率.2．袋中有白球5只, 黑球7只,依次取出3只(不放回),求顺序为黑白黑的概率.3．两封信随机地向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄，求(1) 前两个邮筒中各有一封信的概率；(2) 第二个邮筒恰好被投入一封信的概率．4．在1~100共一百个数中任取一个数，求这个数能被3或5整除的概率.5．袋内放有2个伍分的钱币，3个贰分的钱币，5个壹分的钱币.任取其中5个，求总数超过一角的概率.班级姓名学号§1.4 乘法公式与全概率公式习题1．一家大型工厂的雇员中,有80%具有本科文凭,有12%是管理人员,有8%既具有本科文凭又是管理人员.求:(1) 已知某雇员有本科文凭,那么他是管理人员的概率是多少?(2) 已知某雇员不具有本科文凭,那么他是管理人员的概率是多少?2．设袋中有5个白球与4个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不放回去.求（1）第二次才取得白球的概率;（2）两次取得的球为白、黑各一的概率;（3）第二次取得白球的概率.3. 10个考签中有4个难签,甲、乙、丙三人依次参加抽签（不放回）．求甲、乙都抽到难签,甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率．4．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.（1）求任意取出的零件是合格品的概率;（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.5.有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球.(1) 求此球是红球的概率？(2) 若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？6．一批电子元件中，甲类的占80%，乙类的占12%，丙类的占8%.三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9,0.8和0.7.今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率.班级 姓名 学号§1.5 事件的独立性习题1. 甲、乙两人打靶,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.85,两人同时射击同一目标,各打一枪.求 (1) 目标被击中的概率; (2) 恰有一人击中目标的概率.2．设一袋中有6只白球，3只红球，1只黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一只，求下列事件的概率：(1) 3只全是白球;(2) 3只颜色全相同;(3) 3只颜色全不相同.3．一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8,第三台等于0.7，求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率.4． 甲，乙，丙三人同时独立地破译一份密码，已知三人能译出的概率分别是514131和，，求密码能被译出的概率.A 与C独立；5．（1）设A与C独立，B与C独立，A与B互斥，证明B（2）证明：若)PBP ，则事件A与B独立.AA(B|(|)6．甲，乙，丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4、0.5和0.7.如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6; 如果三人都击中，则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.班级姓名学号第1章随机事件及其概率复习题一单项选择题1．设事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则一定有（）（A）P(A)=1-P(B)；（B）P(A|B)=P(A);（C）1(=|BAP.)P；（D）1|(=BA)2．设事件A与B相互独立，且P(A)＞0，P(B)＞0，则一定有（）（A）)BAP-P=；（B）P(A|B)=0;(1)|(A（C）P(A)=1-P(B)；（D）P(A|B)=P(B).3．设事件A，B满足P(A)＞，P(B)＞0，事件A与B一定独立的条件为（）.（A）)APPABP=；（B）()()()((B)()；=P A B P A P B （C）P(A|B)=P(B)；（D）)ABP=.P)(|(A4．设事件A满足0＜P(A)＜1，事件B满足P(B)＞0，且)PABP=，则必有（）B(A(||)（A）)|)((BAP≠；BPA||)P=；（B）)|(B(AABP（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）P(AB)≠P(A)P(B).5．设事件A和B有关系AB⊂，则下列等式中正确的是( ) （A）P(AB)=P(A)；（B）P(A⋃B)=P(A);（C）P(B|A)=P(B)；（D）P(B-A)=P(B)-P(A).6．设A与B是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中正确的是（）（A）A与B互不相容；（B）A与B相容；（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）P(A-B)=P(A).7．设A、B为两个对立事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，则下面关系成立的是（）（A）P(A⋃B)=P(A)+P(B)；（B）()()()；P A B P A P B≠+（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）)PBAAP=.(())(BP8．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A、B两事件相互独立，则必有（）（A）A与B互斥事件；（B）A与B不互斥；（C）A与B为对立事件；（D）P(AUB)=P(A)+P(B).9．对于任意两个事件A与B，P(A-B)等于（）（A）P(A)-P(B); （B）P(A)-P(B)+P(AB);（C）P(A)-P(AB); （D）)PB+.PP-A)()((BA10. 设A 、B 为两随机事件，下列命题不正确的是 （ ）(A) 如果A 与B 互不相容，那么A 与B 也互不相容；(B) 如果A 与B 相互独立，那么A 与B 也相互独立；(C) 如果A 与B 相互独立，那么P(B|A)=P(B)；(D) 如果)()()(B P A P B A P =，那么A 与B 相互独立.二 填空题1．若B A ⊃，C A ⊃，P(A)=0.9，()0.8P B C = ，则P(A -BC)=__________.2．若在n 次独立试验中，A 至少出现一次的概率为p ，则在一次试验中A 出现的概率为____________.3．设P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(A|B)=0.5，则P(B|A)=_________，P(B|A ⋃B)= .4．已知161)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，则事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率__________________.5．一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_____________.6．设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是8165，则A 在1次试验中出现的概率为__________. 7．设事件A ，B 的概率分别为61)(,31)(==B P A P . （1）若A 与B 相互独立，则()P A B = _________；（2）若A 与B 互不相容，则=)(B A P ___________.9．设一仓库中有12箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱，三厂产品的废品率依次为0.1，0.15和0.18.从这12箱产品中任取一箱，再从这箱中任取一件，则取得合格品的概率是__________；已知取得一件合格品，则此产品为甲厂生产的概率是__________.10．两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标没被击中的概率为___________.11．已知A 、B 两事件满足条件)()(B A P AB P =，且P(A)=0.25，则P(B)=__________.三 计算题与证明题1．从1，2…，10这10个数字中任取1个，然后放回，先后取出6个数字，求下列各事件的概率: A={6个数字全不相同} B={6个数字不含10和1}.2．寝室中有四个人，求：（1）至少有2个的生日同在12月的概率；（2）至少有2人的生日在同一月的概率；（3）至少有2人的生日同在星期一的概率.3．已知41)()()(===C P B P A P ，P(AB)=0，161)()(==BC P AC P ，求下列事件的概率：（1）A ，B ，C 全不发生；（2）A ，B ，C 至少发生一个.4．一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%.（1）从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；（2）从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率.5．假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中18一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率.6．设,,A B C 相互独立，证明B A 与C 独立.班级 姓名 学号§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题1．设随机变量X 具有分布律X 0 1 2 3k p 91 ）（θθ-12 91 θ21- 试确定常数θ.2．10件产品中有8件合格品和2件不合格品,从中任取3次,每次取1件,分别依照(1)有放回;(2)不放回方式抽取,求取得的不合格品数的分布律.3. 5张卡片上分别写有号码5,4,3,2,1.现从中随机地取出3只,设随机变量X 表示取出的3张卡片上的最大号码,求X 的分布律.4. 设袋中有5个球，其中有2个白球和3个黑球,现每次从中任取1个球(不放回)，直至取到白球为止,求取球次数的概率分布.5. 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,…,X中任取一个数,记为Y,求P(Y=2).§2.2 0-1分布和二项分布习题1．一条自动生产线上产品的一级品率为6.0,随机检查10件,求至少有两件一级品的概率.2.设从学校乘汽车到火车站的途中有5个十字路口,每个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都等于6.0,以X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律.3. 某种灯泡使用时数在1500小时以上的概率为7.0,求4个灯泡中至少有3个能使用1500小时以上的概率..0,任取其中5粒,求以下概率4．一批种子发芽率为98(1)恰有3粒种子能发芽; (2) 至少有4粒种子能发芽.§2.3 泊松分布习题1．设某本书中每页印刷错误的个数X 服从泊松分布)2.0(π,求一页上至多有一个印刷错误的概率.2．设某电话总机5分钟内接到电话呼叫的次数X 服从泊松分布)2(π，（1）计算该总机5分钟内共接到k 个电话（6,5,4,3,2,1,0=k ）的概率；（2）求5分钟内至多接到3个电话的概率.3．某医院在长度为t 的时间间隔内收治的急诊病人数X 服从参数为2t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时记).(1) 求某一天中午12时至下午3时没有急诊病人的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少有2个急诊病人的概率.§2.4 随机变量的分布函数习题1．设随机变量X 具有分布律 X 0 1 2p 31 61 21 （1）求X 的分布函数)(x F ；（2）计算)23(≤X P ,)41(≤<X P 和)41(≤≤X P .2．设从学校乘汽车到火车站的途中有5个十字路口,每个十字路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都等于6.0,以X 表示途中遇到红灯的次数,求X 的分布律和分布函数.3. 设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=4,142,9.02x 0 6,.001,2.010)(x x x x x F ， 求X 的分布律.班级 姓名 学号§2.5 连续型随机变量习题1． 设连续型随机变量X 的密度函数为2,01;()0,cx x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.(1) 确定常数c ；(2) 求X 的分布函数)(x F ; (3) 求11();42P X ≤≤ 2().3P X >2． 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=2121121100)(22x x x Cx x Bx x A x F ， ，　， ， (1) 求常数C B A ,,; (2) 求X 的密度函数)(x f ; (3) 计算)21(>X P .3． 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，　其他，　0102)(x x x f . 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2A X =≤出现的次数，求（1）随机变量Y 的概率分布；（2）对X 的三次独立重复观测中事件A 至多出现两次的概率.4. 设某河流每年的最高洪水位具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x x x f .今要修建能防御百年一遇洪水（即遇到的概率不超过01.0）的河堤，问河堤至少要修多少高？§2.6 均匀分布和指数分布习题1． 设随机变量X ~)5,2(U ,现对X 进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.2． 设随机变量K ~)5,0(U ,求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率.3． 设随机变量X 的密度函数为30()00x ke x f x x -⎧>=⎨≤⎩，　， (1) 确定常数k ; (2) 计算)25.1(≤≤X P .4． 设某种仪器装了3只独立工作的同型号元件,其寿命X (小时)服从密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006001)(600x x e x f x ， ，　的指数分布,求仪器在最初200小时内至少有1只元件出故障的概率.§2.7 正态分布习题1. 设X ~)1,0(N ,求 (1) )33.202.0(<<X P ; (2) )04.085.1(<<-X P .2. 设X ~)3,10(2N ,求 (1) )167(<<X P ; (2)(|10|2);P X -< (3) 求常数α,使9.0)(=<αX P .3. 某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数06.005.10==σμ，的正态分布,规定长度在范围12.005.10±内为合格品.求该机器生产的螺栓的合格率.4. 测量某一目标的距离时,产生的随机误差X (cm)服从正态分布2(0,20).N 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm 的概率.§2.8 随机变量函数的分布习题1．设离散型随机变量X 具有分布律X 2- 1- 0 1 2 3 k p161 162 164 165 163 161 (1) 求26X Y -=的分布律;(2) 求),2max(2X X Z +=的分布律.2．设随机变量X ~)1,0(U ,求随机变量21Y X =+的密度函数.3．设随机变量X ~),(2σμN ,求σμ-=X Y 的密度函数.第2章 随机变量及其分布复习题一 选择题1. 常数b= 时,),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布.（A ） 2 （B ） 1 （C ）21（D ） 3 2. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 . （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ） 1)(2)(-=-a F a F 3. 下列命题不正确的是( A) 设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ,则一定有1)(=⎰+∞∞-dx x f ; ( B) 随机变量X 的分布函数()F x 必有0()1F x ≤≤； ( C) 随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率 ; ( D) 设X 为连续型随机变量，则P(X =任一确定值)=0. 4. 下列4个函数中 能作为某个随机变量的分布函数.（A ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<≤<=4,142,2.020,1.00,0)(1x x x x x F （B ） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=0,102,sin 2,0)(2x x x x x F ππ （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>++=0,00,1)1ln()(3x x x x x F （D ） ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,8.00,5.0)(4x x x e x F x5. 随机变量X ~),(2a a N ,且b aX Y +=~)1,0(N ,则b a ,应取下列各组中的 .（A ）22-==b a ， （B ）12-=-=b a ， （C ）11-==b a ， （D ） 11=-=b a ， 二 填空题1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则其概率分布为 ; (1)P X >= .2. 设随机变量~(2,),~(3,),X B p Y B p 若已知5(1),9P X ≥=则(1)P Y ≥= .3. 已知随机变量X 的分布函数x B A x F arctan )(+=，则=A ，=B ，=<)1(X P ，概率密度=)(x f . 4. 设离散型随机变量X 具有分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F 且21)2(==X P ,则=a =b ,X 的分布律为 . 三 解答题1．3个不同的球,随机投入编号为4321，，，的盒子中,X 表示有球盒子的最小号码,求X 的分布律.2． 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ,生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的分布律.3．进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p ,失败的概率为p q -=1)10(<<p . （1） 将试验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律（此时称X 服从参数为p 的几何分布）.（2） 将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律（此时称Y 服从参数为p 的巴斯卡分布）.4． 试卷中共有5道选择题,每道选择题都有4个答案,其中只有一个答案是正确的.如果每题都是随机选一个答案,求答对题数X 的概率分布及至少答对两题的概率.5. 已知每天到某炼油厂的油船数X ~)2(π,而港口的设备一天只能为三艘油船服务,如果一天中到达的油船数超过三艘,超出的油船必须转向另一港口.求 (1) 这一天中必须有油船转走的概率;(2) 设备增加到多少才能使每天到达港口的油船有%90可以得到服务?6. 设X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=， 其他，　010)(x b ax x f , 又已知)31()31(>=<X P X P ，试求常数a 和b .7. 设成年男子身高X ~)36,170(N .(1) 问应如何选择公共汽车车门的高度h ,才能使男乘客与车门碰头的机会小于01.0? (2) 若车门高182cm,求100个男子中与车门碰头人数不多于2个的概率.8. 设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x e x f x,21)(, (1) 求X 的分布函数. （2）设⎩⎨⎧≤->=0,10,1X X Y ,求Y 的概率分布和分布函数.班级 姓名 学号§3.1 二维离散型随机变量习题1. 盒中有4个红球1个白球,从盒中任取两次,每次取一球.令1,1,;.0,0,X Y ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩第一次取到红球第二次取到红球第一次取到白球第二次取到白球求 (1) 在有放回抽样情形下,(,)X Y 的联合分布律; (2) 在不放回抽样情形下,(,)X Y 的联合分布律.2. 设(,)X Y 的联合分布律为求 (1)a ; (2) ();P X Y > (3) X 和Y 的边缘分布；（4）判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?3. 甲、乙两人独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数.试求X和Y的联合概率分布.X Y的联合分布律如下表所示,问表中,a b取何值时,X与Y相互独立?4. 设(,)班级 姓名 学号§3.2 二维连续性随机变量习题1. 设(,)X Y 的联合分布函数(,)(arctan )(arctan ),F x y A B x C y x y =++-∞<<+∞.求 (1) 常数,,A B C ; (2) (,)X Y 的联合密度函数; (3) 求关于X Y 及的边缘分布函数.2. 设(,)X Y 的联合密度函数(32),0,0(,).0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它 求 (1) 常数k ; (2) ()P X Y ≤; (3) 判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?3. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,020,10),31(),(2y x x x A y x f 求：(1) 系数A ； (2) X 的边缘概率密度函数； （3）)2(<+Y X P ; (4) 判别X Y 与是否相互独立(要求说明理由)?4. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 在区间[0，2]上服从均匀分布，Y 服从2λ=的指数分布，求 （1） 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度； （2） .)(X Y P ≤班级 姓名 学号§3.6 两个随机变量函数的分布习题1.设(,)X Y 的联合分布律表为求: (1) 1Z X Y =+; (2) 2Z XY =; (3) 3max{,}Z X Y =; (4) 4min{,}Z X Y =的分布律.2. 设X 与Y 相互独立,(1) 则下列正确是( ).(A) X Y = (B) ()1P X Y == (C) 1()2P X Y ==(D) 1()4P X Y == (2) 求X Y +的概率分布.3. 12X X 与相互独立,且都服从[0,1]上的均匀分布,记12max(,),Y X X =12min(,),Z X X =分别求,Y Z 的概率密度函数.4. 设X 、Y 的密度函数分别为323020(),()0x y X Y e x e y f x f y --⎧⎧>>==⎨⎨⎩⎩其它其它,且X 与Y 相互独立,求Z X Y =+的分布.班级 姓名 学号第3章 多维随机变量及其分布复习题1. 设X 与Y 相互独立，其概率分布如下表求：（1）X 与Y 的联合概率分布； （2）)3(≠+Y X P .2. 设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件｛Ｘ＝０｝与｛Ｘ＋Ｙ＝１｝相互独立，求 a 和b 的值．3. 设,A B 为两个随机事件,且111(),(),()4612P A P B P AB ===,令11;.00A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩发生发生不发生不发生求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律.4. 设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布,随机变量0,,(1,2)1,k Y kX k Y k≤⎧==⎨>⎩, 求12(,)X X 的联合分布律.5. 设二维连续型随机变量（X ，Y ）在曲线2y x y x ==，所围成的区域G 内服从均匀分布，求 (1) 联合分布密度; (2)边缘分布密度; （3）X 与Y 是否相互独立？说明理由6. 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1,01,02;(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求：（1）边缘概率密度；（２）11(,).22P X Y <<班级 姓名 学号§4.1--§4.2 数学期望习题1. 设随机变量X 的分布律为求：（1）()E X ; （2）(31);E X + （3）2().E X2. 设随机变量X 的密度函数为2,11()10,其他⎧-≤≤⎪=+⎨⎪⎩Ax f x x ，求（1）常数A ；（2）E(X).3. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ， ,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨⎩<用数学期望的性质求(23)().E X Y E XY -+和4. 设(X,Y)的联合分布律为：已知.2422E(X +Y )=，求 a 、b 之值.班级 姓名 学号§4.3 方差习题1. 一批零件中有9个合格品与3个废品.安装机器时从这批零件中任取1个.如果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望与方差.2. 设随机变量X 的密度函数为1,10()1,010,x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它 ，求（1）E(X)；（2）D(X).3. 设随机变量X 的数学期望与方差均存在且>D(X)0，称*X =为X 的标准化的随机变量，证明：()0,() 1.E X D X **==4. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立同分布, 记11.ni i X X n ==∑2(),(),1,2,,.i i E X D X i n μσ=== 求()E X 与().D X5. 已知~(3,1),~(2,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,确定2Z X Y =-服从的分布并写出其概率分布密度.6. 设随机变量X Y 与相互独立，且(0,2),(0,2)X N Y U ，求2(3),(3)[()].E X Y D X Y E X Y --+和§4.4-§4.5- 协方差与相关系数习题1. 设X 与Y 为随机变量，D(X)=25，D(Y)=36，0.4=XY ρ，求()+D X Y ，()-D X Y .2．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律如下，求：X Y1 2 3 ⋅i p (1) )3(=+Y X P ； 0 0.05 0.20 0.15 （2）X 和Y 的边缘分布； 1 0.10 0.20 0.10 （3）X 与Y 的相关系数XY ρ； 2 0.05 0.10 0.05 （4）X 与Y 是否相互独立？ j p ⋅ （要求写出判别理由）第4章 随机变量的数字特征复习题一 选择题1.已知随机变量 X B(n,p)，且E(X)=2.4,D(X)=1.44，则参数n,p 为（ ）（A ）n =4,p =0.6 （B ）n=6,p =0.4 （C ）n=8,p =0.3 （D ）n =24,p =0.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X -2Y)=（ ）（A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）443. 对于任意两个随机变量X 与Y ，若⋅E(XY)=E(X)E(Y)，则 （ ）（A ）⋅D(XY)=D(X)D(Y) （B ）D(X -Y)=D(X)D(Y)+（C ）X 与Y 独立 （D ）X 与Y 不独立4. 在我校二年级本科生中随机抽10个学生,设其中有X 个是女生,Y 个是男生,则X 与Y 的相关系数为 ( )(A) 0 (B) 0.5 (C) 1 (D) 1-5. 设X 与Y 相互独立同分布，~X ),(2σμN ,则正确的是 （ ）(A) )2,2(~22σμN X (B) )3,3(~22σμN Y X + (C) )5,(~22σμN Y X - (D) )5,3(~22σμN Y X - 二 填空题1. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中目标的概率为0.4，则2E(X )= .2. 设随机变量πλ X ()，且E[(X -1)(X -2)]=1，则λ= .3. 设随机变量 X U(-1,2)，1,X 0Y =0,X 0-1,X 0>⎧⎪=⎨⎪<⎩，则D(Y)= .4. 设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若Z =X -0.4，则=YZ ρ .5. 设随机变量X 与Y 的相关系数为0.5，E(X)=E(Y)=0，22E(X )=E(Y )=2，则]=2E[(X +Y ) .常用分布及其数学期望与方差(必须熟记)三 计算题1. 设随机变量X 的密度函数为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他，已知E(X)=2，3<<3)=4P(1X ，求a 、b 、c 之值.2. 设X 与Y 为随机变量，12=XY E(X)=1,D(X)=1,E(Y)=2,D(Y)=4,ρ，记3+X YZ =2，求E(Z),D(Z),Cov(X,Z).班级 姓名 学号§5.1--§5.2 大数定律与中心极限定理习题1. 设随机变量X 的数学期望为)(X E ，已知方差009.0)(=X D ，若用切比雪夫不等式可估计出()9.0)(≥<-εX E X P ，试问ε的最小值是多少？2. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，相关系数为5.0-，试根据切比雪夫不等式求()6≥+Y X P 的近似值.3. 已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20,标准差是15,求在该品种的100个麦穗中,麦粒总数在1800到2200之间的概率.4. 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数.求(1) X的分布律; (2) 利用中心极限定理,求被盗索赔户数不小于14户且不多于30户的概率.5. 从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽查1000粒,试求这1000粒种子的发芽率与0.9之差的绝对值小于0.02的概率.班级 姓名 学号第6章 数理统计基础习题1. 已知样本观察值为：15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.8 17.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6 计算样本均值、样本标准差、样本方差.2. 设总体2(,)X N μσ ，抽取样本12,,,n X X X ，样本均值为X ，样本方差为2S .则(1) X ~ ;~X ; (3)212()~nii Xμσ=-∑ ; (4)22122()(1)~nii XX n S σσ=--=∑ .3. 设,,21X X , 16X 是来自总体(2,1)N 的样本，而1621(2)ii Y X==-∑，则 （1）Y ；（2）若Z )1,0(N; (3) 216Z Y. 4. 设总体X )4,12(N ，有5=n 的样本,,21X X , 5X ，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率.5. 总体()250,N σ中随机抽取一容量为16的样本，在下列两种情况下分别求概率)01.529.47(≤≤X P . (1)已知225.5=σ；（2）未知2σ，而样本方差362=s .6. 在总体N (μ,)2σ中随机抽取一容量为10的样本，若μ和2σ均未知，求)88.1(22≤σS P ，其中2S 为样本方差.7.设,,21X X ,6X 是来自总体~(0X N 的样本，22123456()(),Y X X X X X X =+++++试确定常数c ,使得随机变量cY 服从2χ分布,并确定具体的分布及自由度.班级 姓名 学号§7.1 参数的点估计习题1． 设（),,,21n X X X 是来自二项分布),(p m B 总体的一个样本，),,,(21n x x x 为其样本观测值，其中m 是正整数且已知，p (10<<p )是未知参数，求未知参数p 的矩估计量和极大似然估计量.2． 设总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他10),(1x x x f θθθ, 其中θ未知，（),,,21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 为其样本观测值，求未知参数θ的矩估计值和极大似然估计值.。

2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137； 第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布． 六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和 则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。